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by Dipartimento di Matematica ITAer De Pinedo Roma.

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2 by Dipartimento di Matematica ITAer De Pinedo Roma

3 COSA SIGNIFICA RISOLVERE UNA DISEQUAZIONE? Risolvere una equazione, di primo o di secondo grado, significa trovare gli zeri della funzione polinomiale f(x)=ax+b o f(x)=ax 2 +bx+c. Risolvere una equazione, di primo o di secondo grado, significa trovare gli zeri della funzione polinomiale f(x)=ax+b o f(x)=ax 2 +bx+c.

4 I SISTEMI DI DISEQUAZIONI I SISTEMI DI DISEQUAZIONI I SISTEMI DI DISEQUAZIONI Per rispondere a questa domanda affrontiamo: LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO LE DISEQUAZIONI FRATTE LE DISEQUAZIONI FRATTE LE DISEQUAZIONI FRATTE

5 Sistemi di disequazioni Tecnica di risoluzione di un sistema di due disequazioni lineari nella stessa incognita

6 Ricorda che un sistema di disequazioni è l'insieme di due o più disequazioni che devono essere verificate contemporaneamente. Pertanto la soluzione sarà rappresentata dalle soluzioni comuni alle singole disequazioni.

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14 LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Ogni disequazione di secondo grado intera si può ricondurre alla forma normale Il metodo algebrico Il metodo algebrico Il metodo algebrico Il metodo algebrico Il metodo grafico Il metodo grafico Il metodo grafico Il metodo grafico ax 2 +bx+c>o ax 2 +bx+c o ax 2 +bx+c<0 con a0 ax 2 +bx+co ax 2 +bx+c0 con a0 ax 2 +bx+co ax 2 +bx+c0 con a0 Per risolvere le disequazioni di 2° grado si possono usare due metodi :

15 METODO GRAFICO Risolvere una disequazione con il metodo grafico equivale a stabilire per quali valori della variabile x la parabola si trova: Indichiamo con y il trinomio di secondo grado: Y = ax 2 +bx+c Y = ax 2 +bx+c funzione di secondo grado la cui rappresentazione grafica è una parabola. y>0 sopra lasse x (y>0) y<0 oppure sotto di esso (y<0).

16 Si possono presentare tre casi: la parabola interseca l'asse delle ascisse in due punti distinti Segno opposto ad a all'interno dell'intervallo delle soluzioni. Segno opposto ad a all'interno dell'intervallo delle soluzioni. >0 Il trinomio di secondo grado assume : Il segno di a all'esterno dell'intervallo delle soluzioni,

17 la parabola interseca l'asse delle ascisse in due punti coincidenti tranne in x 1 =X 2 dove si annulla. tranne in x 1 =X 2 dove si annulla. =0 Il trinomio di secondo grado : assume sempre Ilsegno di a

18 la parabola non interseca l'asse delle ascisse <0 Il trinomio di secondo grado assume sempre Il segno di a.

19 Quindi Per risolvere una disequazione di secondo grado devi: 1)Risolvere lequazione associata con la formula. 2)Disegnare la parabola con la concavità verso lalto se a >0,verso il basso se a 0,verso il basso se a<0 3)Stabilire per quali valori della variabile x la parabola si trova sopra lasse x (y>0) o sotto di esso (y 0) o sotto di esso (y<0). Svolgi ora i seguenti esercizi: Esercizio 1 x2-4x-5<0 Esercizio 2 2x2-6x-80 Esercizio 3 -x2+2x-10 Esercizio 4 x2>1 soluzione

20 Esercizio 1 3)il verso della disequazione è<, di conseguenza prenderemo in considerazione quei valori della x che rendono la y<0; ossia: -10, >0, la parabola volge la concavità verso lalto e attraversa lasse x in due punti.

21 Esercizio 2 3)il verso della disequazione è, di conseguenza prenderemo in considerazione quei valori della x che rendono la y0; ossia: x -1 o x 4 2x 2 -6x-80 1) Risolviamo l'equazione associata: 2) Disegniamo la parabola: a>0, >0, la parabola volge la concavità verso lalto e attraversa lasse x in due punti.

22 Esercizio 3 3) il verso della disequazione è, di conseguenza prenderemo in considerazione quei valori della x che rendono la y0; la disequazione non è mai verificata tranne in 1 dove si annulla: -x 2 +2x-10 2) Disegniamo la parabola: a<0, =0, la parabola volge la concavità verso il basso ed è tangente allasse x nel punto di ascissa 1. 1) Lequazione ha due soluzioni coincidenti x 1 =x 2 =1. Quindi x=1 è soluzione della disequazione

23 Esercizio 4 3) il verso della disequazione è >, di conseguenza prenderemo in considerazione quei valori della x che rendono la y>0; ossia: x 2 >1 2) Disegniamo la parabola: a>0, 0, la parabola volge la concavità verso lalto e attraversa lasse x in due punti. 1)Risolviamo l'equazione associata: x 2 -1=0 è pura ed ha due soluzioni opposte : x 1 =-1; x 2 = +1. Attenzione!! scrivere x>±1 non ha senso!! x 1

24 METODO ALGEBRICO Un trinomio di secondo grado ax 2 + bx + c, per qualunque valore di x diverso dalle radici è concorde con il segno del primo coefficiente (a), tranne nel caso in cui le radici siano reali e distinte; in tal caso il trinomio è discorde dal primo coefficiente per i valori di x interni all'intervallo delle radici. Ricordando quanto studiato sulla scomposizione del trinomio di 2° grado possiamo enunciare il seguente teorema: Teorema del segno del trinomio di secondo grado

25 Quanto affermato viene riassunto nel seguente schema:

26 Esercizi sulle disequazioni metodo algebrico La disequazione è soddisfatta interno nellintervallo interno alle radici La disequazione è soddisfatta esterni negli intervalli esterni alle radici La disequazione è sempre soddisfatta tranne in x 1 =x 2

27 La disequazione non è mai soddisfatta La disequazione è sempre soddisfatta.

28 Disequazioni frazionarie C Diventerò bravissimo !

29 Una disequazione si dice frazionaria o fratta se lincognita compare anche al denominatore. C

30 Una disequazione frazionaria può essere messa nella forma C oppure

31 Per risolvere una disequazione fratta occorre: 1) Studiare il segno del numeratore; 2) Studiare il segno del denominatore ricordando che esso non può essere nullo; 3) Riportare su uno schema i risultati; 4) Stabilire il segno del rapporto in base alla regola dei segni; 5) Stabilire in quali intervalli la disequazione è soddisfatta. C

32 Facciamo ora qualche esempio: 1) Risolviamo la seguente disequazione di primo grado: C

33 Studiamo il segno del numeratore ponendo N(x)>0 otteniamo: -2-x>0 2+x 0 e otteniamo: x-3>0 x>3 C

34 Riportiamo ora su un grafico il segno: a) Disegniamo lasse reale; b) Sulla prima riga riportiamo il segno del numeratore convenendo di rappresentare con il colore rosso e il tratto continuo il segno positivo e con il tratteggio il segno negativo; c) Sulla riga successiva riportiamo il segno del denominatore avendo cura di mettere una croce nei punti in cui si annulla per ricordarci che in essi la frazione perde di significato; d) Sulla riga successiva riportiamo il segno della frazione (che si deduce in base alla regola dei segni); e) Alla fine guardiamo il segno che compare accanto alla nostra disequazione e stabiliamo quali sono gli intervalli delle soluzioni. C

35 0 N(x) -2 D(x) N(x) x C

36 La nostra disequazione è: Il segno è > per cui le soluzioni sono: -2

37 2)Risolviamo la disequazione: C

38 Studiamo il segno del numeratore : N(x) 0 x Studiamo il segno del denominatore: D(x)>0 x 2 - 5x+4>0 x 4 Riportiamo i segni sul grafico come nell esempio precedente: CC Attento:il segno della frazione lo guarderai solo alla fine per scegliere le soluzioni! v

39 N(x) D(x) xx C Poiché la frazione può essere anche nulla negli zeri del numeratore mettiamo un pallino per ricordarci che sono valori accettabili!

40 Dovendo essere la frazione negativa o nulla: Le soluzioni sono date dagli intervalli in cui il rapporto è negativo o nullo, cioè: v ora devi guardare il segno! C

41 3) Risolviamo ora la disequazione: C

42 Portiamo tutto al primo membro e riduciamo allo stesso denominatore: C

43 Otteniamo: Studiamo il segno del numeratore: N(x) 0 5x-1 0 x C

44 Studiamo il segno del denominatore : D(x)>0 x 1 riportiamo sul grafico : la parabola y=x 2 -1 volge la concavità verso lalto e incontra lasse x in -1 e 1! C

45 011/5 x x N(x) D(x) C Poiché la frazione può essere anche nulla nello specchietto mettiamo un pallino nello zero del numeratore.

46 Dovendo essere la frazione positiva o nulla le soluzioni sono: v C

47 Ora puoi metterti al lavoro ed esercitarti. Esercizi Esercizi Siti utili per esercitati ed approfondire: zioni/razionali_fratte/index_razionali_fratte. asphttp://www.liceotosi.va.it/matehelp/disequa zioni/razionali_fratte/index_razionali_fratte. asp BUONA NAVIGAZIONE!

48 ESERCIZI CONSIGLIATI

49 DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO Partiamo dal problema : Un agente di commercio viene pagato circa 140 alla settimana più 13 per ogni capo venduto. Poiché deve pagare il mutuo della casa dove abita, deve provvedere alle bollette alle spese del mangiare ecc……. gli servono circa 400 alla settimana. Quanti capi deve cercare di vendere????? Decodifichiamo il problema (purtroppo molto reale) in termini matematici: Chiamiamo X in numero dei capi di abbigliamento da vendere poiché non lo conosciamo ( incognito ) X 400 mettiamo il segno di poiché lagente di commercio spera di poter guadagnare qualcosa in più dello stretto necessario per vivere. A questo punto come ricaviamo la X ???????

50 Abbiamo trovato quanti capi (almeno 20) deve vendere lagente di commercio per poter pagare le spese fisse che ha!!!!!! Cioè X 20 Porto le x prima del maggiore o uguale ed i numeri dopo il maggiore o uguale; chi salta cambia di segno 13 X 400 – X 260 Divido entrambi i membri per 13

51 Ora affrontiamo l argomento DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO in modo più teorico : Si chiama disuguaglianza ogni scrittura della forma: A>B o A

52 Risolviamo: x - 4 3x Porto le x prima del ed i numeri dopo il ; chi salta cambia di segno. x - 4 3x +2 x - 3x calcolo : -2x 6 3. Divido entrambi i membri per -2 e contemporaneamente cambio di verso la disequazione. Cambiare il verso vuol dire che diventa e viceversa -2x Semplifico e ottengo x - 3 Quindi la soluzione è l'insieme delle x minori od uguali a -3 Si può indicare anche in altri modi, lultimo dei quali è il più usato (il tondino indica che il valore terminale è compreso).

53 Esercizi sulle disequazioni di primo grado 1) x x < 5x x 2) 3x x 4x - 8 3) 10x x > 6x - 3 4) (x + 2) 2 - 2x < x 2 - 4x -2 5)

54 1) x x < 5x x Trasporto le x prima del < e i termini noti dopo <, chi salta cambia di segno x - 3x - 5x + 8x < sommo x < - 5Soluzione: 2) 3x x 4x - 8 Trasporto le x prima del minore o uguale, i termini noti dopo il minore o uguale e chi salta cambia di segno 3x - 2x - 4x sommo -3x - 10 divido per -3 e cambio di verso e semplifico SOLUZIONI e ottengo:

55 3)10x x > 6x - 3 Trasporto le x prima del maggiore, i termini noti dopo il maggiore e chi salta il maggiore cambia di segno 10x - 4x - 6x > poi sommo 0 > - 15 Sempre vero (perché 0 e' sempre superiore a -15), quindi tutto R 4) (x + 2) 2 - 2x < x 2 - 4x -2 Eseguo i calcoli:x 2 + 4x x < x 2 - 4x - 2 Trasporto le x prima del minore, i termini noti dopo il minore e chi salta cambia di segno:x 2 + 4x - 2x - x 2 + 4x < Sommo (essendo esercizi su equazioni di primo grado evidentemente i termini di secondo grado dovranno annullarsi): 6x < - 6 Divido per 6 da entrambe le parti: Risultato: x < -1

56 il minimo comune multiplo e' 6 Elimino i denominatori ed eseguo le operazioni al numeratore 3x x 8x + 6 Trasporto le x prima del maggiore o uguale, i termini noti dopo il maggiore o uguale e chi salta il maggiore o uguale cambia di segno 3x - 12x - 8x poi sommo -17x 0 cambio di segno e di verso 17x 0 Divido per 17 da entrambe le parti e otteniamo x 0 soluzione: 5)


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