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Determinanti Definizione di determinante Minore complementare e complemento algebrico Calcolo del determinante Proprietà dei determinanti Matrice inversa.

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Presentazione sul tema: "Determinanti Definizione di determinante Minore complementare e complemento algebrico Calcolo del determinante Proprietà dei determinanti Matrice inversa."— Transcript della presentazione:

1 Determinanti Definizione di determinante Minore complementare e complemento algebrico Calcolo del determinante Proprietà dei determinanti Matrice inversa

2 Definizione di determinante Considerata la matrice A appartenente allinsieme delle matrici quadrate M, di ordine n qualunque, e linsieme dei numeri reali R diremo determinante di A e lo indichiamo con Det A oppure con A una funzione che associa alla matrice A un numero reale r Det: M R A M r R

3 Minore complementare Considerata la matrice A di ordine n e lelemento a ij appartenente ad essa diremo minore complementare dellelemento a ij il determinante della matrice quadrata di ordine n-1 ottenuta sopprimendo in A la iesima riga e la jesima colonna. Esempio: considerata A = Il minore complementare dellelemento a 13 è

4 Complemento algebrico Lelemento a ij A, matrice quadrata di ordine n, è detto di classe pari se i + j è un numero pari mentre a ij è di classe dispari se i + j è un numero dispari. Diremo complemento algebrico dellelemento a ij e lo indichiamo con A ij, il minore complementare di a ij preceduto dal segno + se a ij è pari dal segno – se a ij è dispari. Esempio: A = Il complemento algebrico di a 12 è: A 12 = –

5 Calcolo del determinante Per definizione il determinante di una matrice quadrata del primo ordine è uguale al numero stesso che forma la matrice. Esempio: A = [3] A = 3 Per definizione il determinante di una matrice quadrata del secondo ordine è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale meno il prodotto degli elementi della diagonale secondaria, cioè: a 11 a 12 = a 11 a 22 – a 12 a 21 a 21 a 22 Esempio: = 3 1 – (-1) 2 = = 5

6 Calcolo del determinante del terzo ordine mediante la regola di Sarrus Scritti gli elementi della matrice alla sua destra si scrivono le sue prime due colonne, si calcola il prodotto degli elementi della diagonale principale e il prodotto degli elementi delle linee ad essa parallele con tre elementi, quindi alla loro somma si sottrae la somma dei prodotti degli elementi della diagonale secondaria e dei prodotti degli elementi delle linee ad essa parallele con tre elementi. Cioè: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 2 = (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 ) – (a 13 a 22 a 31 + a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 ) Esempio: = = (– 12 – 4 + 0) – ( ) = – 16 – 11 = –

7 Calcolo del determinante di una matrice quadrata di ordine n 3 Il determinante di una matrice quadrata di ordine n 3 è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga o colonna per i rispettivi complementi algebrici. Esempi: = – = –1 (3 + 4) + 4 (–3 –2)= –7 –20= – = = = +2 [-1(1+2)+1(3+1)]=2(-3+4)=

8 Proprietà dei determinanti Il determinante di un matrice quadrata i cui elementi di una qualsiasi riga o colonna sono tutti nulli è nullo. Esempio: = Il determinante di un matrice quadrata i cui elementi di una qualsiasi riga o colonna sono eguali o proporzionali ad unaltra riga o colonna è nullo Esempi: = 0 essendo la terza colonna ottenuta moltiplicando per 2 la prima colonna Infatti: = = 2 (-10 – 6 ) + (-2 + 2) + 4 (3 + 5)=-32+32=

9 = 0 essendo la terza riga eguale alla prima infatti: = = = [3 (0+1)+1(2- 3)+2 (-1+0)] -2 [1 (0+1)+1 (4-1)+2(-2+0)]+1 [1 (2-3)-3 (4-1)+2 (6-1)]= -4 [3 1+1(-1)+2 (-1)] -2 [ (-2)]+1 [1 (-1) ]= -4 [ ] -2 [1+3-4]+1 [ ]= =0

10 Il determinante di una matrice quadrata di ordine n qualunque non cambia se ad una qualsiasi riga o colonna aggiungiamo una riga o colonna moltiplicata per una costante k0. Esempio: = dove gli elementi della prima e seconda riga del secondo determinante sono eguali a quelli del primo determinante mentre quelli della terza sono ottenuti sommando a quelli della terza riga del primo determinante gli elementi della seconda riga moltiplicati per 2 infatti = = 3(-4-1)-2(4+2)= = e = = 3(-6+1)-2(6+0)= =

11 Scambiando fra loro le righe, o le colonne, il determinante cambia segno se si fanno un numero dispari di scambi resta invariato se si fanno un numero pari di scambi. Esempio: considerate le matrici A = B = ottenuta da A scambiando la prima riga con la seconda (1 scambio) e C = ottenuta da A scambiando la prima riga con la seconda e questa con la terza (2 scambi) si ha: A = = = 3 (5 + 2)+1(-4 - 4)=3 7+1(-8)= = B = = = -2 (0 -2) -1 (15 – 4) -1 (6 – 0) = = C = = = -2 (2 – 0) -1 (4 – 15) -1(0 – 6)= =

12 Se si moltiplicano o dividono gli elementi di una qualsiasi riga o colonna per un numero k 0 il determinante resta moltiplicato o diviso per k. Esempio. Considerate le matrici A = B = dove la seconda colonna di B è ottenuta moltiplicando per 2 la seconda colonna di A si ha: A = = = 3 ( ) + (3 – 8) = 6 – 5 = B = = = 3 (-8 +12) + (6 – 16) = 12 – 10 = 2 =

13 La somma dei prodotti degli elementi di un riga o colonna per i complementi algebrici di unaltra riga o colonna è nulla (Teorema di Laplace), cioè considerata la matrice A di ordine n qualunque si ha per esempio: a 11 A 21 + a 12 A 22 + a 13 A 23 + …………+ a 1n A 2n = 0 Esempio: considerata A = si ha: a 11 A 12 + a 21 A 22 + a 31 A 32 = – =1(2+1) – 2 (1-4) +1 (-1-8)= = – 9 = 0

14 Considerate le matrici quadrate dello stesso ordine A e B e il loro prodotto C, il determinante di C è eguale al prodotto del determinante di A per il determinante di B (Teorema di Binet); cioè C = A B C = A B Esempio A = B = (-2) (-1) C = A B = (-2) (-1) = (-2) (-1) A = = = 1( -4-3)+2 (3+0) = = B = = = 3 ( -4 -3) +1(1-2) = = C = = = -4 (77-18) +6 (55-12) = = = 22 = -1 (-22)

15 Il determinante della matrice unitaria è eguale ad 1 esempio: I = = = 1 (1 – 0) = Il determinante della matrice scalare, di ordine n, i cui elementi della diagonale principale sono eguali ad k 0 è eguale a k n esempio: = = 2 ( ) = 2 4 = 8 = Il determinante di una matrice diagonale è eguale al prodotto degli elementi della diagonale principale esempio: = = = 3 1 [-2 (-1) – 0 0)] = Il determinante di una matrice triangolare alta o bassa è eguale al prodotto degli elementi della diagonale principale esempio: = = 2 ( ) = 24 =

16 Il determinante di due matrici quadrate di ordine n fra loro trasposte è eguale Esempio: A = A T = A = = = 2 (0 + 4) -1 (-9 +1) = 8 +8 = A T = = = 2 (0 + 4) -1 ( -9 +1) = 8 +8 =

17 Matrice inversa Considerata la matrice quadrata A di ordine n, diremo sua inversa, se esiste, la matrice quadrata A -1 di ordine n tale che A A -1 = A -1 A = I con I matrice identica di ordine n. Nel caso in cui A ammette inversa (linversa è unica) la matrice è detta invertibile. Una matrice quadrata di ordine n qualunque è detta singolare o degenere se il suo determinante è nullo;nel caso in cui il determinante è diverso da zero è detta non singolare o regolare. Esempio: poiché la matrice A = ha determinante A = = = 3( -2 -0) -1( 4 +3) = = essa è non singolare.

18 Teorema: una matrice quadrata di ordine n qualunque ammette inversa se e solo se è non singolare. Esempi: Poiché A = ha determinante A = 1 3 = -5 – 6 = essa è non singolare e quindi ammette 2 -5 inversa. Poiché B = ha determinante B = = = 2 (2+6) +4 (-3-1)= 16 – 16 = è singolare e quindi non ammette inversa.

19 Matrice aggiunta Considerata la matrice a 11 a 12 a 13 … … … … … … … … … a 1n a 21 a 22 a 23 … … … … … … … … … a 2n A = a 31 a 32 a 33 … … … … … … … … … a 3n … … … … … … … … … … … … a n1 a n2 a n3 … … … … … … … … … a nn e quindi la sua trasposta a 11 a 21 a 31 … … … … … … … … … a n1 a 12 a 22 a 32 … … … … … … … … … a n2 A T = a 13 a 23 a 33 … … … … … … … … … a n3 … … … … … … … … … … … … a 1n a 2n a 3n … … … … … … … … … a nn e detti A ki i complementi algebrici della trasposta, la matrice, che indichiamo con A +, i cui elementi sono tali complementi algebrici è detta matrice aggiunta; quindi A 11 A 21 A 31 … … … … … … … … … A n1 A 12 A 22 A 32 … … … … … … … … … A n2 A + = A 13 A 23 A 33 … … … … … … … … … A n3 … … … … … … … … … … … … A 1n A 2n A 3n … … … … … … … … … A nn è la matrice aggiunta di A

20 A 33 La matrice inversa A -1 è la matrice i cui elementi sono uguali agli elementi della matrice aggiunta A + ciascuno diviso per il determinante D della matrice A,cioè: A 11 A 21 A 31 … … … … … … … … … A n1 D D D D A 12 A 22 A 32 … … … … … … … … … A n2 D D D D A -1 = A 13 A 23 A 33 … … … … … … … … … A n3 D D D D … … … … … … … … … … … … A 1n A 2n A 3n … … … … … … … … … A nn D D D D Esempio: A = D = = = 1 (1+0)+ 2 (2-1) = 1+2 = A 11 = 1 -1 = 1 A 12 = = -2 A 13 = 0 1 = -2 A 21 = = 2 A 22 = 1 1 =1-2 = A 23 = =-4 A 31 = -2 1 =2-1 =1 A 32 =- 1 1 = 1 A 33 = 1 -2 = quindi la matrice inversa è: A -1 =

21 infatti: A A -1 = = – – 4 1 – = 0 – – – 1 = – – =


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