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Fenomenidi crescita e decrescita Fenomeni di crescita e decrescita Funzioni esponenziali.

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Presentazione sul tema: "Fenomenidi crescita e decrescita Fenomeni di crescita e decrescita Funzioni esponenziali."— Transcript della presentazione:

1 Fenomenidi crescita e decrescita Fenomeni di crescita e decrescita Funzioni esponenziali

2 Decadimento radioattivo: Tempo di dimezzamento T Per tempo di dimezzamento T di un materiale radioattivo si intende il periodo passato il quale la metà del materiale è decaduta (cioè si è trasformata). Tali valori sono generalmente riportati in tavole e possono essere molto diversi per i vari materiali radioattivi: MaterialeTempo di dimezz. T AZOTO10 minuti CARBONIO5730 anni

3 Problema: azoto tempi di dimezzamento tempo Data una certa quantità iniziale Q(0) di azoto, dopo quanti tempi di dimezzamento (e quindi dopo quanto tempo) la quantità di sostanza radioattiva si riduce… a)..a meno di 1/4, b)..a meno di 1/100, c)..a meno di 1/1000 della quantità iniziale?

4 Q 0 =Q(0) Q 0 /2 Q 0 /4 Q 0 /8 Q 0 /16 t=1Tt=2Tt=3Tt=4T……t=nT Q(1)=Q 0 /2Q(2)=Q 0 /4Q(3)=Q 0 /8 Q(4)=Q 0 /16 ……Q(n) ……..

5 a) Dalla tabella si vede che : tempi di dimezzamento Q(n)=Q 0 /4 per n=2, ossia dopo 2 tempi di dimezzamento Quindi la quantità di azoto si riduce a meno di 1/4 di quella iniziale, dopo 20 minuti. b) Il valore di n per cui Q(n) < Q 0 /100, deve essere approssimato con le successive potenze di 1/2: (1/2) 1 (1/2) 2 (1/2) 3 (1/2) 4 (1/2) 5 (1/2) 6 (1/2) 7 1/21/41/81/161/321/641/128 tempi di dimezzamento 7 tempi di dimezzamento equivalgono a 70 minuti.

6 continuità Una sostanza radioattiva però, decade con continuità e non a intervalli per cui lequazione può scriversi: Con x numero reale lequazione del decadimento Se poniamo uguale a 1 (cioè al 100%) la quantità iniziale Q 0, possiamo scrivere lequazione del decadimento nella forma: x R

7 Grafico precedente, per punti:

8 curva discreto Come si può osservare il grafico della curva contiene i punti del grafico discreto precedente.

9 azoto Con questo nuovo strumento, possiamo calcolare con precisione dopo quanto tempo la quantità di azoto radioattivo si è ridotta ad 1/100 del valore iniziale? Dobbiamo risolvere lequazione esponenziale: Prendendo i logaritmi di entrambi i membri e utilizzando la proprietà del log di una potenza, si ottiene:

10 Il risultato si può confrontare con quello ottenuto precedentemente per approssimazione, ma la risposta ora è più precisa: tempi di dimezzamento T 6,64.. tempi di dimezzamento equivalgono a : (ricordando T=10 minuti) 6,64 T = (66,4) m = 1 h (6,4) m = 1 h 6 m 24 s (anche se è dubbio che si possa calcolare il tempo in modo così esatto per un fenomeno reale). Come esercizio, calcola la risposta al quesito (c)(c) Come esercizio, calcola la risposta al quesito (c)(c)

11 Lequazione dellevoluzione modello matematico Ci proponiamo di generalizzare il problema, cercando un modello matematico in grado di descrivere il processo di decadimento radioattivo, o, analogamente, il processo di crescita delle cellule, crescita di colture batteriche o di fermenti. modello matematico Nel 1798 il religioso inglese T.J. Malthus, tentò di elaborare un modello matematico che descrivesse la crescita delle popolazioni. Linteresse per tale problema era dovuto alla veloce crescita, in quellepoca, della popolazione nelle città industriali e dalla conseguente preoccupazione per il popolamento dei paesi civilizzati.

12 processi di decrescitacrescita Nel caso di processi di decrescita (risp. di crescita), lesperienza scientifica mostra che: lavariazione è proporzionale alla quantità stessa (y) e al tempo trascorso( t): la variazione (aumento o diminuzione) della quantità di sostanza considerata è proporzionale alla quantità stessa (y) e al tempo trascorso( t): y y t reale Introducendo una costante reale K otteniamo una prima equazione dellevoluzione, nella forma: Per decrescita Per stagnazione Per crescita Questa equazione può essere ulteriormente elaborata sia nel caso discreto che nel continuo.

13 Caso discreto y j j t Se indichiamo con y j la quantità di materiale dopo j intervalli di tempo t, dallequazione: segue y j-1 Spostando y j-1 e raccogliendo a fattor comune: ……………………………………….. Con valore iniziale y 0

14 Nel modello discreto, crescita e decrescita sono descritte da progressioni geometriche. progressioni geometricheprogressioni geometriche Nellesempio trattato precedentemente, si aveva: (un tempo di dimezzamento)

15 Progressioni geometriche progressione geometrica rapporto Si definisce progressione geometrica una successione* di numeri diversi da zero tali che il rapporto tra un termine e il precedente è costante. ragioneq Questo rapporto costante è detto ragione e si indica con q. (se q = 1 la progressione ha tutti i termini uguali) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,…………..(q=2) *successione è una funzione da N R

16 Caso continuo [0;t] intervalli t, Immaginiamo lintervallo [0;t] diviso in un numero crescente di intervalli t, sempre più piccoli. n Indichiamo con n il numero di intervalli di tempo : Sostituiamo nel modello discreto: tt0 n per cui:

17 n Come si comporta questa espressione per n ? NeperoEulero ): Ricordando il numero di Nepero (o di Eulero ): Si dimostra facilmente che:dimostra

18 Poniamo : Osservando che per n risulta x 0 Ricaviamo n :e sostituiamo nel limite: c.v.d.

19 Nel modello continuo, crescita e decrescita sono descritte dallequazione: Con valore iniziale y 0 Per decrescita Per stagnazione Per crescita e

20 Azoto Ritorniamo al problema dellAzoto radioattivo. Ponendo y 0 =1, il decadimento può essere espresso dalla : Per determinare k, usiamo i dati a nostra disposizione: dopo 10 minuti la quantità di Azoto si è dimezzata t=10min y=1/2

21 Ancora una volta con i logaritmi possiamo ricavare k

22 Può sembrare strano che due equazioni diverse formalizzino lo stesso problema: tempo di decadimento x T=10min Lunità di misura è il tempo di decadimento; la x indica quanti T=10min sono passati minuto Lunità di misura è il minuto t=10x Il legame tra le due unità è: t=10x Sono equivalenti ?

23 Generalizziamo il problema Generalizziamo il problema, dalla: Possiamo scrivere: tempo di dimezzamento Dove T, indica il tempo di dimezzamento di una qualsiasi sostanza Passando ai logaritmi: Tasso di decadimento Tasso di decadimento, caratteristico di ogni sostanza

24 Lequazione dellevoluzione può essere riscritta: Mostriamo lequivalenza: Ricordando il legame: t=xT Quindi ancora una volta:

25 Scheda 1 – caso discreto Scheda 2 – caso continuo Proposte di lavoroProposte di lavoro ApprofondimentiApprofondimenti I fenomeni radioattivi I fenomeni radioattivi


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