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Le Partizioni dei spazii proiettivi di Sottospazii Come usare piani di traslazione per capire partizioni!

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Presentazione sul tema: "Le Partizioni dei spazii proiettivi di Sottospazii Come usare piani di traslazione per capire partizioni!"— Transcript della presentazione:

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2 Le Partizioni dei spazii proiettivi di Sottospazii Come usare piani di traslazione per capire partizioni!

3 Bruen-Thas Circa 1974, Bruen e Thas hanno dimostrato che da una partizione di un spazio proiettivo e possible costruire un piano di traslazione. Allora, una partizione di PG(2s-1,q^2) con sottospazii che sono isomorfi a PG(2s-1,q) ed anche sottospazzi isomorfi a PG(s-1,q^2) Sia possible trovare un metodo da fare direttamente dal piano di trazlazione a partizione?

4 Hirschfeld-Thas Usando le varieta di Segre, ce una altra costruzione di partizioni di PG(2s,q^2) con sottospazii isomorphi a PG(2s,q). Con un motodo dissimilare, e anche possible costruire un piano di trazlazione. Sia qui anche un metodo da fare direttamente da piano di traslazione? Si, alle due domande!

5 I Probleme Piu Generale Si piace fare una generalizazione completamente del problema di partizioni dei spazii proiettivi anche senza lipotese che i spazii sono finiti. Usando sottospazii? Questo dipende se si vuole una corrispondente completamente con piano di traslazione o forse come fibrazioni generalizzati. Perche?

6 Cominciamo con: Ritrazione di un piano di traslazione Recentamente, ho trovato un metodo andare da un piano di traslazione a una partizione. Sia un piano di traslazione dellordine q^2s che ammette un gruppo G di collineazione dellordine q^2 tale che questo gruppo containe un sottonucleo del piano isomorfo al GF(q)-{0}. Se g in G non fissa un punto non-zero, da allora le orbite delle rette hanno misure 1 o (q+1) Si puo dimostrare che G unione zero e un campo dellordine q^s e unorbita con misura (q+1) e una rete di un regolo.

7 Le Partizioni? Beh, se ci sono n orbite della misura q+1 e m orbite della misura 1, questi produrono in PG(3,q^2): n spazii isomorfi al PG(3,q), m spazii isomorfi al PG(1,q^2)---- Si chiama una partizione di typo (n,m). Questa partizione ri-produra il piano di traslazione che ammette lo stesso gruppo G. Allora, questo da il metodo di Bruen-Thas direttamente dal piano di traslazione.

8 Hirschfeld-Thas Senza Segre Sia P un piano di traslazione dellordine q^m con nucleo GF(q) tale che m e dispari ---in questo caso, abbiamo uno spazio vettoriale di dimensione 2m/GF(q), quindi q^2m vettori. Allora, sia possibile avere un gruppo dellordine q^2 che agisce come un gruppo di collineazione, ed anche contene il gruppo del nucleo (il gruppo di omologia) Se ogni elemento nontrivial che fissa solo il vettore zero allora abbiamo le orbite di componenti hanno misura solo (q+1). Questi orbite diventono regoli ----e una partizione in PG(2m-1,q^2) dai PG(2m,q).

9 Fibrazioni Parziali Generalizzate Sia V uno spazio vettoriale/K per K un corpo. Sia T uninsieme dei sottospazii che hanno uno per uno intersettzione triviale ---allora T si chiama un F.P.G; elementi li chiamano componenti. Siano K e D campi, e D e unestenzione di K--- supponiamo che D agisce su V e T. Unorbita di componenti di D su una fibrazione generalizzate si chiama un fan (ventilatore) Se L e un componente D(L) e il sotto-campo che fissa L-----allora abbiamo un D(L)-fan.

10 Quasi-Sottogeometrie Quando D e unestensione quadratica di K, un D(L)=K-ventilatore diventa uno sottospazio isomorfo al PG(L-1,D(L)=K) in PG(V-1,D). Benche, D non sia unestensione quadratica di K, prediamo le rette come dove v,w in L tale che v,w sono K-independenti. In questo modo, abbiamo ottenere uno spazio isomorfo al PG(L-1,D(K)) come uninsieme di PG(V-1,D); un quasi-sottogeometia. Prediamo tutti partizioni essere costruito come questo metodo.

11 Chiude la Ventilatore Con una ventilatore, produrano un sottospazio di proiettivo: Sia O(L) un D(L)-ventilatore, forma la traliccio in PG(V-1,D), allora chiudiamo la ventilatore e otteniamo un sottoinsieme isomorfo in PG(L-1,D(L)). Benche, abbiamo un quasi-sottospazio.

12 Partizioni con Quasi-Sottospazii Sia V un spazio vettoriale su K un campo e sia D un campo-estensione di K. Sia T una fibrazione generalizzate tale che D agisce su V e T. Una partizione? Si, abbiamo una partizione di PG(V-1,D) con quasi-sottospazii PG(L-1,D(L)) per ogni componenti di T. Si nota che siano possible avere molti sottocampi diversi D(L).

13 Aprire La Ventilatore-proiettiva. Con una partizione usando quasi-sottospazii di uno spazio proiettivo e possible di formare una fibrazione generalizzata con un metodo che si chiama aprirendo la vemtilatore. Generalmente, la struttura geomettrica si chiama uno spazio di Sperner-generalizzato. Ci sono esempii? Ci vediamo un po --- Si!

14 Il Caso Finito per Piani di traslazione Sia P un piano di traslazione dellordine q^ds e nucleo K isomorfo al GF(q). Assumiamo che esiste un group di collineazione GK* tale che GK e un corpo che e isomorfo a GF(q^w), dove w=d o 2d e s e dispari nel caso secondo. Per ogni componente L, ce un sottocampo GF(q^f), per f un divisore di w. In questo caso, la misura dellorbita di L e (q^w-1)/(q^f –1) e lorbita e un q^f-ventilatore. Considiamo AG(2ds/w,q^w). Si incassa in il PG(2ds/w,q^w) corrispondente, e si conside liperspazio al infinito che e isomorfo al P(2ds/w- 1,q^w) otteniamo:

15 Partizioni Finite Ottiamo una partizioni finite di PG(2ds/w-1,q^w) usando quasi-sottospazii che sono isomorfi ai PG(ds/f-1,q^f) per uninsieme N dei divisori di w. Si chiama questo typo-N. Viceversa, se esiste una partizione di PG(2ds/w- 1,q^w) con quasi-sottospazii che sono isomorfi ai PG(ds/f-1,q^f), dove f in uninsieme dei divisori di w, allora: Riceveriamo un piano di traslatione? Certamente!

16 In Fine –Una Domanda Supponiamo che abbiamo spazio PG(2s-1,q^d). Si sceglie uninsieme N di divisori di d. Esiste una partizione con quasi-sottospazii? Assolutamente! Come si puo costruire? Usando piani di Andre di typi varii. Troppo facile! Va bene ---aspetti alla prossima converenza!


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