La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)Il gas dal punto di vista microscopico 2)Interpretazione.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)Il gas dal punto di vista microscopico 2)Interpretazione."— Transcript della presentazione:

1 Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)Il gas dal punto di vista microscopico 2)Interpretazione microscopica della pressione 3)Interpretazione microscopica della temperatura 4)Funzioni di distribuzione 5)Funzione di distribuzione di Maxwell 6)Funzione di distribuzione di Boltzmann Parte XIII: Cenni di Teoria Cinetica dei gas

2 In una mole di gas vi sono N A =6.022x molecole. Dallequazione dei gas perfetti è possibile determinare il volume a disposizione di una molecola di gas in condizioni stantdard di pressione e temperatura, cioè 0 0 C ed 1 atm (STP) Le dimensioni lineari di una molecola sono dellordine di m. Ne segue che il suo contributo al covolume sarà La radice cubica di questo rapporto (~0.05) è evidentemente il rapporto fra le dimensioni lineari della molecola e la sua distanza media con le più vicine Il gas dal punto di vista microscopico

3 Una misura di quanto siano rade le molecole in un gas è data dal libero cammino medio, cioè la distanza che in media una molecola percorre prima di urtare con unaltra. Connesso a questo dato è il tempo di rilassamento, ovvero il tempo che in media intercorre fra due urti È interessante notare che il libero cammino medio è molto più grande (circa 100 volte) della distanza media intermolacolare Diminuendo la densità (gas sempre più rarefatto) le collisioni fra le molecole diventano via via più infrequenti, ma il ruolo di questi urti è fondamentale Se mescoliamo del gas caldo (molecole che si muovono molto velocemente) con del gas freddo (molecole più lente), il gas, lasciato a sé stesso, evolverà verso lequilibrio termico. Ciò sarà possibile solo se per effetto degli urti le molecole più veloci rallenteranno e quelle più fredde accelerereranno Deve quindi esserci un legame diretto fra la quantità di moto e lenergia cinetica delle molecole e le variabili macroscopiche che definiscono il comportamento termodinamico del gas, quali pressione e temperatura

4 Consideriamo un recipiente che contiene N molecole La pressione sulle pareti è leffetto degli urti delle molecole Tuttavia bisogna realizzare che la velocità media delle molecole è nulla poiché le velocità delle molecole possono essere dirette in tutte le direzioni

5 I moduli delle velocità, però, sono certamente non nulli. Ne segue che non è nulla la media del quadrato velocità e quindi la cosiddetta velocità quadratica media Lenergia interna è data dalla somma di tutte le energie delle singole molecole. Se il gas è perfetto questultime sono solo energie cinetiche Inoltre deve essere Il primo passaggio deriva dal fatto che la media di una somma è uguale alla somma delle medie, mentre il secondo passaggio deriva dal fatto che le tre direzioni x,y e z sono assolutamente arbitrarie (isotropia dello spazio)

6 Cerchiamo di fare un calcolo quantitativo della pressione come effetto degli urti Possiamo ora calcolare la variazione della quantità di moto della parete (molecola) Bisogna ora contare quante molecole colpiscono unarea A della parete nel tempo t A v x t Sono la metà di quelle contenute in un volume Av x T!! Interpretazione microscopica della pressione

7 Se definiamo n la densità numero, cioè il numero di molecole per unità di volume il numero di molecole contenute nel cilindro sarà Tuttavia di queste solo la metà si muoverà verso destra e contribuiranno alla pressione. Pertanto Dividendo per A t e facendo il limite per t 0 In media questo risultato sarà

8 Il fatto importante della precedente formula è che mette in relazione delle quantità microscopiche con la pressione, cioè una variabile termodinamica macroscopica È possibile far lo stesso per la temperatura, per mezzo dellequazione di stato Si noti che il fattore 3 deriva dal fatto che stiamo considerando particelle con 3 gradi di libertà. Lultima equazione, pertanto, sostiene che lenergia cinetica media per un gas per ogni grado di libertà è Ciò significa che per una molecola biatomica (triatomica) che ha 3 gradi di libertà traslazionali e 2 (4) rotazionali la sua energia cinetica media sarà Interpretazione microscopica della temperatura

9 Abbiamo dunque scoperto che lenergia media di una molecola è proporzionale alla temperatura assoluta tramite una costante (universale) che dipende solo dalle unità di misura, la costante di Boltzmann (1.381x J/K). Questo fatto è analogo alla relazione tra caloria e joule: il significato di energia veniva ampliato e si superavano i limiti del suo significato meccanico. Nel caso presente si amplia il significato di temperatura che diventa una misura dellenergia cinetica media delle particelle di un gas Lo zero della scala Kelvin, lo zero assoluto assume adesso un nuovo significato: lenergia cinetica media delle molecole è zero, cioè le molecole non si muovono più nel loro recipiente. Anche la pressione deve annullarsi allo zero assoluto. Per portare allo zero assoluto un sistema dobbiamo fermare tutte le molecole, ma ciò si può fare solo con una macchina termica che trasformi in lavoro tutta questa energia. Questa macchina termica, ovviamente non esiste. La teoria cinetica dei gas consente di passare da quantità il cui significato è microscopico a quantità termodinamiche. Tuttavia bisogna eseguire delle medie di queste quantità: Queste come vedremo dipendono dalle caratteristiche del sistema Alcuni commenti

10 Per il prosieguo abbiamo bisogno di alcune nozioni di statistica Supponiamo che 96 studenti abbiamo sostenuto un test di apprendimento di 32 quiz, ed abbiano ottenuto i seguenti risultati Il grafico mostrato indica la frequenza dei punteggi totalizzati Funzioni di distribuzione

11 Si notino le seguenti: 1)La somma delle frequenze N v è ovviamente uguale al numero totale degli studenti che hanno sostenuto il test 2)La media delle votazioni ottenute si può ottenere tramite la media pesata dei voti per i pesi N v 3)Il quadrato della media non è la media del quadrato 4)Si potrebbe ottenere esattamente lo stesso voto medio sempre con 96 studenti ma con unaltra distribuzione È dunque implicito che contenga informazioni diverse rispetto a

12 votostudentivoto x studenti totale962076

13 Ci si potrebbe chiedere, con riferimento al primo esempio, che probabilità ci sia che uno studente, preso a caso, prenda il voto v, quale misura della difficoltà della prova Si potrebbe rispondere che sia data dalla frequenza normalizzata ovvero da Nel limite di grandi numeri la probabilità di un evento e la sua frequenza normalizzata tendono a coincidere Si provi, p.es., a tirare in aria una moneta: sappiamo che la probabilità che esca testa o croce è 0.5 (50%). Tuttavia se eseguiamo 10 tentativi difficilmente uscirà 5 volte (frequenza) testa e 5 volte croce, più facilmente avremo 6 e 4. Se ci proviamo 100 volte magari avremo 46 e 54 volte. Con 1000 tentativi potrebbe essere 489 e 511, etc.. Come si può verificare le frequenze normalizzate tendono ad avvicinarsi sempre più al valore atteso 0.5 al crescere del numero dei tentativi Quindi si può parlare di probabilità e valori medi significativi solo nel limite di grandi numeri

14 Tuttavia luso delle frequenze normalizzate, chiamate da ora in poi solo per brevità probabilità, semplifica un po le formule In alcune distribuzioni non sono coinvolte quantità discrete, ma possono essere coinvolte quantità che assumono tutti i valori reali allinterno di un intervallo Chiediamoci per esempio che probabilità vi sia che un italiano sia esattamente alto x= m Siccome laltezza è una grandezza fisica che varia con continuità questa probabilità è davvero molto piccola, perché non saranno moltissimi gli italiani che hanno esattamente questa altezza (gli italiani sono circa 57 milioni)

15 In realtà la richiesta non è affatto significativa. È molto più interessante, invece, chiedersi che probabilità vi sia che un italiano abbia unaltezza x compresa fra 1.75 e 1.80 m Questultimo concetto è molto più utile, specialmente perché potremmo restringere lintervallo (5 cm) e chiedere che probabilità vi sia che un italiano abbia unaltezza x compresa tra e m. Naturalmente al decrescere dellintervallo, x, la probabilità diminuirà Bisogna quindi agganciare lampiezza dellintervallo al concetto di probabilità, definendo f(x) x, quale probabilità che un individuo abbia unaltezza tale che La proprietà di chiusura, o condizione di normalizzazione delle probabilità si scriverà che esprime la certezza che, nel nostro esempio, qualunque italiano abbia una altezza

16 Se adesso pensiamo ad intervalli x sempre più piccoli lultima formula diventa Analogamente le medie diventano Si noti che f(x) non è una probabilità, ma ha anzi le dimensioni dellinverso di x (nel nostro esempio m -1 ). È in realtà una densità di probabilità e va sotto il nome di funzione di distribuzione della variabile x È ovvio che la conoscenza della funzione di distribuzione consente di determinare immediatamente tutte le medie cui siamo interessati, a patto di poter calcolare gli integrali di cui sopra

17 Se possiamo considerare le velocità delle molecole di un gas come un continuo, potremmo chiederci qual è la probabilità che una molecola abbia una velocità compresa fra due valori molto vicini Il numero di particelle la cui velocità è compresa in quellintervallo è proporzionale a f cioè Lintegrale va esteso a tutto linsieme delle velocità possibili o ensemble delle velocità Per calcolare le medie La funzione di distribuzione di Maxwell

18 Per determinare la funzione di distribuzione bisogna fare due ipotesi non facilmente Ipotesi Ergodica giustificabili anche se ragionevoli. La prima è denominata Ipotesi Ergodica Questa consiste nellimmaginare che se aspettiamo un tempo sufficientemente lungo la velocità di una molecola potrà assumere tutti i valori possibili (modulo, direzione e verso) Caos Molecolare La seconda ipotesi è denominata Caos Molecolare Questa consiste nellimmaginare che dopo ogni urto una molecola non abbia alcuna memoria del suo moto precedente lurto Stabilite queste due ipotesi è possibile scrivere una equazione alle derivate parziali, lequazione di Boltzmann, che nel caso della funzione di distribuzione delle velocità del gas perfetto ammette la seguente soluzione (trovata da Maxwell)

19 v m = vel. media simulazione

20 Il motivo per cui la distribuzione di Maxwell è massima in corrispondenza della velocità media si può comprendere sulla base della seguente considerazione Supponiamo di avere 2 dadi e di lanciarli contemporaneamente. Vi saranno 36 possibili risultati, descritti nella seguente tabella D. I D. II somma D. I D. II somma Si noti che la somma è compresa fra 2 e 12 e che cè un solo modo per ottenere il valore minimo (massimo), cioè il doppio 1 (6), mentre vi sono ben 6 combinazioni possibili per il 7. Tabuliamo la funzione di distribuzione per questo caso somma frequenza

21 Come si vede il valore medio (7=(12+2)/2) dei punteggi conseguibili è più facilmente realizzabile, mentre i valori estremi sono necessariamente meno frequenti Listogramma della distribuzione è triangolare

22 Supponiamo adesso di avere 3 dadi. In tal caso si avranno ben 216 possibili risultati, ma la somma sarà sempre compresa fra 3 e 18 (un solo caso) La distribuzione non è triangolare e aumentano notevolmente le possibilità di totalizzare un risultato vicino al valor medio 10.5

23 Supponiamo adesso di avere 4 dadi. In tal caso si avranno ben 1296 possibili risultati, ma la somma sarà compresa fra 4 e 24 (un solo caso) La distribuzione tende ad assumere sempre di più la forma di una campana (gaussiana) e cresce molto la possibilità di creare combinazioni la cui somma è vicina al valor medio (14)

24 Supponiamo adesso di avere 1000 dadi e di tirarli tutti insieme. Il valore minimo ottenibile sarà 1000 (tutti 1) ed il massimo 6000 (tutti 6). Il numero possibile di combinazioni però è enorme ( ) e la probabilità che si realizzi un numero vicino al valor medio 3500 è molto più elevata di quella dei valori estremi, poiché il numero di modi per totalizzare 3500 è di gran lunga più grande Questo ragionamento è alla base della deduzione della distribuzione di Maxwell Per verifica possiamo adesso usare la funzione di Maxwell per determinare lenergia cinetica media

25 Per calcolare questintegrale bisogna effettuare il seguente cambiamento di variabile

26 I risultati trovati sono evidentemente validi solo per il gas perfetto, e per il quale si ammette la validità dellipotesi di caos molecolare Pur non essendo giustificata tale ipotesi in generale, Boltzmann mostrò che è possibile estendere il risultato trovato al caso dei gas reali tramite una semplice considerazione intuitiva Nel caso del gas perfetto lenergia cinetica è la sola energia microscopica che le molecole possiedono, visto che non esistono interazioni a distanza fra le molecole. Le molecole di un gas reale, invece, possiedono anche energia potenziale che deriva dalla loro repulsione a breve distanza ed attrazione a lunga distanza. Boltzmann pensò dunque che si potesse generalizzare a qualunque sistema fisico (anche ai solidi) una funzione di distribuzione analoga che tenesse conto di questa energia di interazione La distribuzione di Boltzmann

27 Nellultima equazione è lenergia totale del sistema, posseduta per il fatto che le molecole si trovano nelle posizioni r i ed hanno quantità di moto p i. La dipendenza di e da queste variabili è in generale estremamente complicata (funzionale) Nellequazione data manca il fattore di normalizzazione. Questo è dato dallintegrale Se quindi vogliamo calcolare il valore medio di qualche grandezza fisica G dobbiamo eseguire il seguente calcolo, in cui gli integrali sono estesi a tutto linsieme dei possibili valori che le variabili r i e p i possono assumere


Scaricare ppt "Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)Il gas dal punto di vista microscopico 2)Interpretazione."

Presentazioni simili


Annunci Google