La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Studio delle singolarità del robot a 7 giunti KUKA LWR4 Relatore Prof. Alessandro De Luca Candidato Francesco Bella.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Studio delle singolarità del robot a 7 giunti KUKA LWR4 Relatore Prof. Alessandro De Luca Candidato Francesco Bella."— Transcript della presentazione:

1 Studio delle singolarità del robot a 7 giunti KUKA LWR4 Relatore Prof. Alessandro De Luca Candidato Francesco Bella

2 La convenzione di Denavit- Hartenberg Asse z i lungo lasse di giunto i+1 Asse x i lungo la normale comune agli assi di giunto i e i+1 (verso: i i+1) a i = distanza O i O i orientata con x i (costante = lunghezza braccio i) d i = distanza O i-1 O i orientata con z i-1 (variabile se giunto i PRISMATICO) α i = angolo di twist tra z i-1 e z i intorno a x i (costante) θ i = angolo tra x i-1 e x i intorno a z i-1 (variabile se giunto i ROTATORIO)

3 Assegnazione delle terne al KUKA LWR4 i θ i [rad]d i [m]a i [m]α i [rad] 1 q1q1 00π/2 2 q2q2 00-π/2 3 q3q π/2 4 q4q4 00π/2 5 q5q5 0.40π/2 6 q6q6 00-π/2 7 q7q7 000

4 Matrici di trasformazione omogenea ed espressione della cinematica diretta T 0 n (q) = A 0 1 (q 1 )A 1 2 (q 2 )…A n-1 n (q n ) Si può ottenere la cinematica del KUKA LWR4 in maniera sistematica attraverso semplici prodotti di matrici di trasformazione omogenea, ognuna delle quali risulta funzione di una singola variabile di giunto.

5 La cinematica differenziale Caratterizza i legami tra la velocità dei giunti e le corrispondenti velocità lineare ed angolare dellorgano terminale. Tali legami sono descritti dallo Jacobiano geometrico. Giunto i-esimo prismatico Giunto i-esimo rotatorio J Li (q)Z i-1 Z i-1 x p i-1,E J Ai (q)0Z i-1

6 Cosa sono le singolarità cinematiche? Sono tutte quelle configurazioni in cui lo Jacobiano diminuisce di rango La caratterizzazione delle singolarità è di notevole interesse perché se il robot è in una configurazione singolare: 1. Si ha una perdita di mobilità della struttura non è possibile imporre allorgano terminale leggi di moto arbitrarie 2. Possono esistere infinite soluzioni al problema cinematico inverso 3. Velocità ridotte nello spazio operativo possono indurre velocità molto alte nello spazio dei giunti

7 Lo Jacobiano geometrico e lo Jacobiano Mid-Frame 4x4 Primo approccio Analisi dei 7 determinanti dei minori (6x6) dello Jacobiano. Lannullamento simultaneo in una stessa configurazione dei 7 determinanti corrisponde ad una singolarità. Data la complessità della struttura del Jacobiano si utilizza il Jacobiano Mid-Frame 4x4. Nonostante la forma semplificata anche il Jacobiano Mid-Frame 4x4 non porta a risultati convincenti. Solo alcune configurazioni risultano individuabili nellimmediato per la loro capacità di rendere il determinante nullo, ma non si potrebbe dare certezza sulla completezza e lunicità delle stesse.

8 Formula di Cauchy-Binet Siano A e B due matrici rispettivamente di tipo mxn e nxm. Il loro prodotto AB è quindi una matrice quadrata mxm. La formula di Cauchy-Binet esprime il determinante di AB come dove S varia fra i sottoinsiemi con m elementi dellinsieme [1…n]. Per ogni S, la matrice A S è il minore di ordine m ottenuto da A prendendo solo le colonne i cui indici appartengono a S. Analogamente, B S è il minore di ordine m ottenuto da B prendendo solo le righe i cui indici appartengono a S.

9 Applicazione della formula al KUKA LWR4 Grazie alla formula di Cauchy-Binet, una configurazione singolare si verifica quando si annulla la somma di quadrati di determinanti con J i mn li-esimo minore ottenuto sopprimendo le colonne i della matrice J mn. I termini della prima sommatoria hanno una forma triangolare a blocchi inferiore e per questo si possono riscrivere come rg(J 11 ) < 3 rg(J 22 ) < 3 Condizione sufficiente(a sx) e condizione necessaria(a dx)

10 Condizioni per le singolarità del KUKA LWR4 Condizioni sufficientiCondizioni necessarie Per quali valori si annullano i 4 determinanti dei minori di J 11 ? 3. q 6 = kπ 1.q 4 = kπ 2.q 2 = k π ˄ q 3 = π/2 + kπ Per quali valori si annulla il determinante di J 22 ? Altre condizioni sufficienti 4.q 2 = kπ ˄ q 6 = kπ 5.q 5 = π/2+kπ ˄ q 6 = kπ

11 Conclusioni Lanalisi delle singolarità è stata portata a termine con successo grazie allutilizzo della formula di Cauchy-Binet. Infatti lannullamento dei 7 determinanti dei minori di ordine 6 dello Jacobiano geometrico, si è rivelato molto ostico e computazionalmente complesso da perseguire nonostante lutilizzo di Matlab. Al contrario lidea di partizionare il Jacobiano e sfruttarne la struttura triangolare per avere calcoli meno complessi, si è rivelata di semplice risoluzione. Naturalmente sono state testate le configurazioni ottenute con il secondo metodo, con sostituzioni esplicite nei vari determinanti, ed effettivamente i 7 determinanti ottenuti nel primo caso si annullano. In conclusione, sono stati raggiunti gli obiettivi prefissati allinizio del progetto.


Scaricare ppt "Studio delle singolarità del robot a 7 giunti KUKA LWR4 Relatore Prof. Alessandro De Luca Candidato Francesco Bella."

Presentazioni simili


Annunci Google