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Lezione n° 5: 17- 18 Marzo 2009 Definizione di Iperpiano. - Insiemi convessi. - Politopi e poliedri. - Punti estremi di un poliedro. - Direzioni estreme.

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1 Lezione n° 5: Marzo 2009 Definizione di Iperpiano. - Insiemi convessi. - Politopi e poliedri. - Punti estremi di un poliedro. - Direzioni estreme di un poliedro. Anno accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata Università di Salerno

2 Iperpiano: generalizzazione della retta o equivalentemente Il vettore p 0 è detto gradiente o normale delliperpiano, ed è la direzione di crescita delliperpiano p è un vettore e k è uno scalare Definizione: Un insieme geometrico H è un iperpiano se e solo se:

3 Iperpiano: in particolare se due vettori hanno prodotto interno nullo allora sono perpendicolari sottraendo: Considerando un punto x 0 di H e la direzione p, liperpiano H è linsieme dei vettori x tali che x-x 0 è perpendicolare a p

4 Esempio in E 2 Fissiamo un punto x 0 H, e verifichiamo che un qualunque vettore x H è tale che: x-x 0 è perpendicolare a p H

5 Un iperpiano H divide lo spazio E n cui appartiene in due semispazi

6 Direzione p Iperpiano H Esempio 90°

7 Insieme convesso Def: Un insieme X è convesso se e solo se dati due punti, x,y X ogni punto z generato come loro combinazione convessa: è tale che z X

8 Alcuni insiemi convessi Dim. Dobbiamo dimostrare che un qualunque punto y X può essere espresso come combinazione convessa di due altri punti di X Consideriamo x, y X generici. Considero il punto z espresso come combinazione lineare di x ed y Dobbiamo verificare che z appartiene ad X

9 Alcuni insiemi convessi: Premoltiplico per la matrice A Poiché x ed y appartengono ad X Verificare che è un insieme convesso

10 Un Iperpiano è un insieme convesso Lintersezione di semispazi è un insieme convesso Altri insiemi convessi Un poliedro è lintersezione di un numero finito di semispazi Un poliedro X è un insieme convesso poliedro chiuso e limitato (Politopo) poliedro illimitato

11 X Insieme convesso Esempio: politopo

12 X Esempio: poliedro illimitato Insieme convesso

13 X Vertici di un poliedro Vertici del Poliedro X o PUNTI ESTREMI Definizione Un punto di un poliedro X è un punto estremo se e solo se non può essere espresso come combinazione convessa STRETTA di altri punti di X.

14 Teorema (no dim.) (Proprietà dei punti estremi di un poliedro) Dato X poliedro chiuso non vuoto con punti estremi ogni punto può essere espresso come combinazione convessa dei punti estremi di X:

15 Esempio Teorema Voglio esprimere y come combinazione convessa dei vertici del politopo sostituisco: Nota che : c.v.d.

16 la combinazione convessa di permette di ottenere tutti i punti di X X X X X Quando un poliedro è illimitato? In generale: Bisogna considerare le sue direzioni estreme

17 Def. Un RAGGIO di vertice x 0 e di direzione d è un insieme di punti della forma: Raggi e direzioni di un poliedro x0x0 d

18 Definizione Dato un poliedro X, il vettore d è una direzione di X se e solo se per ogni punto x 0 nellinsieme, il raggio appartiene ad X X x0x0 d1d1 d2d2 d3d3 d 1 NON è direzione d 2 è direzione d 3 NON è direzione

19 Come si calcolano le direzioni di un poliedro? (Procedimento algebrico) (poliedro) Considerato un qualunque punto x X: d è una direzione del poliedro se da cui:

20 (i) poiché x X : Quindi le direzioni d del poliedro X sono tutti e soli i vettori tali che: Adesso vediamo un esempio poi vediamo come si interpretano geometricamente

21 Esempio 1 Linsieme delle direzioni di X è dato dai vettori

22 Esempio 2 Linsieme delle direzioni di X è dato dai vettori tali che considerato un generico punto :

23 Da cui deriva:


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