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Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2007- 2008 CURVE PIANE 1 Modelli matematico e categorie comuni delle curve:

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1 Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa CURVE PIANE 1 Modelli matematico e categorie comuni delle curve: una prima panoramica

2 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa I cinematismi piani e i grafici delle Funzioni La curva come luogo di punti è immaginata come prodotta da un cinematismo piano a un solo grado di libertà; è dunque il Luogo delle posizioni consecutive di un punto in movimento secondo una legge data come relazione analitica fra le coordinate x e y del piano (soddisfatta da tutti e soli i punti della curva): equazione della curva. 1) ciascuna coordinata è espressa come funzione di un parametro (ad esempio il tempo) x = f (t), y = g (t) 2) oppure entrambe le coordinate sono espresse in una sola equazione f (x,y) = 0 in forma cartesiana o polare. A esempio in forma polare….

3 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa ;

4 Grado delle equazioni e ORDINI delle curve Se f(x, y) è un polinomio (ridotto) di grado m, la curva è algebrica di Ordine m (di primo grado per una retta, di secondo grado per una conica). Lordine ha il noto significato proiettivo del massimo numero di intersezioni con una retta del piano proiettivo. La curva si dice algebrica oppure trascendente secondo che sia algebrica o trascendente la sua equazione Il punto doppio si conta due volte Lordine di una curva non dipende dal tipo coordinate (cartesiane, polari, bipolari …) nei quali è rappresentata la sua equazione poiché le relazioni che permettono il passaggio da un sistema di riferimento cartesiano a un altro sono lineari e dunque l'ordine di una curva algebrica rimane invariato quando si cambia sistema di riferimento.

5 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Punti speciali di una curva MULTIPLO - Se una curva torna su stessa una o più volte il punto nel quale avviene questo ritorno assume generalmente tangenti distinte ed è nominato PUNTO DOPPIO o TRIPLO o MULTIPOLO. Le tangenti possono coincidere, o divenire a coppie immaginarie coniugate. NODO - In un punto doppio le tangenti possono essere reali e distinte e allora il punto si dice NODO; CUSPIDE - possono essere invece reali e coincidenti, allora quel punto è una CUSPIDE e le tangenti reali e coincidenti invertono il loro senso. ISOLATO - Le tangenti nel punto doppio possono anche essere immaginarie e coniugate, allora il punto si dice ISOLATO. ASINTOTICO è un punto attorno al quale la curva compie infinite evoluzioni. Per dualità nel piano dallidea di punto multiplo si ammette quella di tangenti multiple aventi con la curva multipli punti di contatto. Una tangente doppia sega la curva in due punti reali e distinti o coincidenti, oppure immaginari e coniugati; tali punti sono detti DI FLESSO;

6 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Ordini delle curve e senso plastico della variazione di curvatura

7 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

8 TANGENTE di una curva e curva come INVILUPPO La tangente in un generico punto A di una curva piana è la posizione limite della secante in A e in un punto A' quando A' tende a A. il variare del coefficiente angolare delle tangenti si esprime traducendo la forma esplicita dellequazione y = f(x) nella funzione sua derivata prima y'(x). La curva è così anche lINVILUPPO delle sue rette tangenti, si può immaginare ogni suo punto come generato dal moto di una retta che interseca in ogni istante la sua posizione precedente. Una curva è linsieme dei punti di contatto della famiglia delle sue tangenti.

9 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Grado dellequazione e ORDINE DELLA CURVA: una rassegna morfologica Cubiche ellittiche (Parabole divergenti) e cubiche razionali (duplicatrice) Coniche (Quadratiche)

10 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Serie morfologiche parabola catenaria Catenaria dugual resistenza

11 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa sinusoide lintearia Cicloide di Sturm

12 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa kappa Curva di Schoute a forma di punta di matita qui ottenuta come inversione biassiale delliperbole

13 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Grafico della funzione Inversa del coseno iperbolico Curva di Gauss Cubica di Lamé Curva di Agnesi

14 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa strofoide Trisettrice di MacLaurin Qui costruita come intersezione di due rette che ruotano costantemente una alla velocità tripla dellaltra Folium di Cartesio

15 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Cubica circolare razionale cissoide Cissoide come curva mediana della retta del circolo

16 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Cubiche di Chasles Iperboli cubiche (P è un polinmio di terzo grado)

17 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Parabole (cubiche) divergenti

18 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Quartica razionale piriforme. Curva a lacrima

19 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Lemniscata di Bermouilli Lemniscata di Gerono

20 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Quartiche bicircolari razionali Lumaca di Pascal

21 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Cardioide Qui costruita come pericicloide

22 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Quartiche di Bermuoilli Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad

23 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Spiriche di Perseo Fissati A e B variando C. 1) Se 0 < B < A 2) Se B < 0 < A Spiriche e toriche

24 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Ovali di Cassini Ovali e Lemniscate di Booth e Ippopede di Proclo

25 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Costruzioni cinematiche (come curve di Watt) delle curve di Booth come luoghi del centro di una conica che ruota senza scivolare su una a lei uguale e con i vertici coincidenti

26 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Quartiche di Plücker

27 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Trascendenti tipiche: le spirali Spirale logaritmica Caso di fibonacci Cfr. Modulor

28 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Spirale dArchimede E la sua inversa: Spirale iperbolica

29 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Involuta del circolo Le involute di una data curva piana C sono le curve (inviluppo) tracciate dallestremo di un filo teso lungo C e srotolato da C;detto altrimenti sono le tracce nel piano di un punto duna retta ruotante senza scivolare su C (sono dunque dei casi particolari di cicloidi). Una qualunque curva della quale unaltra curva C è levoluta si dice Evolvente di C (quì il circolo è lEvolvente).

30 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Curve elastiche e parametriche Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale alla distanza da una curva detta direttrice

31 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa curve di Bézier curva di approssimazione ottenuta come interpolazione di punti di controllo che non passa attraverso i punti che interpola (tranne il primo e dellultimo). Lordine di una curva di Bézier è sempre uguale al numero dei punti di controllo. (una curva di Bézier di ordine 9 si costruice con un polinomio è di ottavo grado).

32 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Come per Euclide la retta è quella curva che coincide con ogni sua tangente (la curva è una retta se e solo se tutti i punti di controllo giacciono sulla curva) così nelle curve parametriche di Bézier la curva è una retta se e solo se i punti di controllo sono collineari. Una curva quadratica di Bézier si costruisce assegnando i punti intermedi Q0 e Q1 al variare di t da 0 a 1 il punto Q0 varia da P0 to P1 e descrive una curva lineare di Bézier. Il punto Q1 varia da P1 to P2 e descrive una curva lineare di Bézier. Il punto B(t) varia da Q0 to Q1 e descrive una curva quadratica di Bézier. tragitto di B(t) da P0 a P1.

33 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

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35 Curve di approssimazione (B-spline) Una generalizzazione delle dalle curve di Bézier sono le curve formate da più tratti di ordine uguale ma anche minore del numero p. Se vi sono n vertici di controllo lordine della curva può tra n (in questo caso è una curva di Bézier) e 2 (in questo caso degenera nella spezzata di controllo). la curva passa per il primo e lultimo vertice evendone per tangenti rispettivamente il primo e lultimo tratto della spezzata di controllo.

36 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa La categorizzazione comune delle curve

37 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Curve di Lamè

38 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa


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