Ferdinando Arzarello Cristina Sabena

Presentazione sul tema: "Ferdinando Arzarello Cristina Sabena"— Transcript della presentazione:

1 Ferdinando Arzarello Cristina Sabena
Controllo logico e controllo semiotico nelle attività matematiche Ferdinando Arzarello Cristina Sabena Università di Torino SFIDA Torino 22 Maggio 2009

2 Aspetti logici: il modello di Toulmin
Il problema di ricerca Il ruolo cruciale delle risorse semiotiche nei processi di argomentazione e problem solving Strumenti di analisi: Aspetti logici: il modello di Toulmin Aspetti semiotici: (il modello del semiotic bundle) Arzarello, F. (2006). Semioss as a multimodal process. Relime Vol Especial, Toulmin, S. (1975). Gli usi dell’argomentazione. Torino: Rosemberg & Sellier. ( ). The uses of argument. Cambridge/New York: Cambridge University Press.

3 Il modello di Toulmin Example:
Harry is a British subject since he was born in Bermuda. 3

4 Il modello di Toulmin Claim: the statement of the argument Example:
Harry is a British subject since he was born in Bermuda. 4

5 Il modello di Toulmin Claim: the statement of the argument
Data: facts supporting the claim Example: Harry is a British subject since he was born in Bermuda. 5

6 D C since W Il modello di Toulmin Claim: the statement of the argument
Data: facts supporting the claim D C since W Warrant: rule that connects data to the claim Example: Harry is a British subject since he was born in Bermuda. 6

7 Il modello di Toulmin Qualifier: the strength provided by the warrant
Rebuttal: exception to the rule of the warrant Backing: grounding of the warrant

8 D Q C W R B Il modello di Toulmin Claim:
Harry is a British subject Data: Harry was born in Bermuda D Q C W R B Qualifier: presumably… Warrant: a man born in Bermuda will be a British subject Backing: on account of the British laws Rebuttal: unless he has become a naturalised American… 8

9 Il modello di Toulmin In che senso si tratta di un’analisi ti tipo “logico”? “…il punto d’inizio dei nostri studi sarà la pratica logica” (Toulmin, 1975, p. 9). L’obiettivo è “caratterizzare ciò che può essere chiamato il “processo razionale”, le procedure e le categorie usando le quali si possono discutere e dirimere le pretese in generale” (ibid., p. 10). 9

10 Il modello di Toulmin Osservazione:
L’analisi condotta da Toulmin ed il suo schema sono pensati per analizzare non come si raggiungono le conclusioni, ma come le si stabilisce sostenendole con un’argomentazione: …. “Non vogliamo, in generale, in questi saggi trattare dei modi in cui di fatto raggiungiamo le nostre conclusioni […] In questo saggio, ad ogni modo, non ci interessa come si raggiungono le conclusioni ma come le stabiliamo sostenendole con un’argomentazione” (ibid., p. 19). Nelle nostre analisi, invece, noi usiamo il modello di Toulmin proprio per analizzare i processi argomentativi, nonché processi di problem solving, …. 10

11 Il modello di Toulmin In letteratura:
Pedemonte, ESM 2006: modello di Toulmin combinato con il modello di Balacheff per studiare continuità e distanze tra argomentazione e dimostrazione. Inglis, Mejia-Ramos & Simpson, ESM 2007; Jahnke, ZDM 2008: importanza del modello completo per analizzare le argomentazioni matematiche, in quanto saper gestire qualifier e rebuttal fa parte della competenza matematica. … 11

12 ANALISI SEMIOTICA In matematica, nel risolvere problemi e argomentare è fondamentale avere competenza semiotica, ossia nel trattamento di sistemi semiotici, e nel passare dall’uno all’altro (Duval parla di “trattamenti” e “conversioni”). Noi consideriamo come “segni” (nel senso di Peirce) un ampio spettro di risorse, nel modello del semiotic bundle: sistema dinamico di segni (includendo drawings, symbols, words, gestures, …) prodotto dai soggetti coinvolti (studenti, insegnante) 12

13 CASE STUDY 1 Il disegno mostra i grafici di: una funzione f, la derivata di f, una primitiva di f. Identifica il grafico di ogni funzione, giustificando la risposta. Task: Classe: I Liceo Scientifico, verifica di un percorso sull’aspetto grafico, sulle primitive di funzioni, in cui avevano risolto in gruppo problemi simili Francesca, Emanuela, Daniele stesso gruppo D E F 13

14 osservare la corrispondenza tra i grafici
metti che sia una derivata… da qua a qua…decresce questa è la primitiva …aspetta… e non ce n’è nessuna che… …quindi questa è una primitiva osservare la corrispondenza tra i grafici

15 Emanuela 3 CLAIMS WARRANTS DATI 15

16 Emanuela Modalità osservativa Modalità logico-deduttiva
Livello meta-cognitivo 16

17 Emanuela Mondo ipotetico Realtà fattuale 17

18 Emanuela Dinamica complessa dell’argomentazione: da un livello osservativo ad una strutturazione via via più generale Dialettica tra aspetti logici e semiotici. Strutturazione ricorsiva del modello di Toulmin

19 DATI CLAIM WARRANT markers linguistici per ciascun passaggio Francesca BACKING

20 Argomentazione fortemente strutturata
COMPETENZA LOGICA Consapevolezza di tale struttura. CONTROLLO LOGICO Francesca

21 crescenza -decrescenza
Il Backing: CONTROLLO LOGICO E’ molto generale sono sottintese relazioni logiche di equivalenza kit logico per risolvere i problemi di quel tipo crescenza -decrescenza positivo - negativo 21

22 Attività di gruppo in classe II Liceo Scientifico
CASE STUDY 2 Attività di gruppo in classe II Liceo Scientifico Sia dato il seguente grafico di una funzione y = f(x) Che cosa si può dire del grafico della funzione che descrive, al variare di x, come variano le pendenze delle tangenti al grafico di f nel punto (x, f(x))? Giustificate le vostre risposte.

23 Perchè? Tre studenti: Luca, Marco, and Roberto
Selezione di due episodi una refutazione riuscita una refutatione mancata Perchè? 23

24 una refutazione riuscita
Primo episodio: una refutazione riuscita

25 1a 1b

26 1a Se la funzione fosse polinomiale e ne conoscessimo l’equazione potremmo, in base a quanto esplicitato nella scheda precedente, risolvere il problema. 26

27 1a Se la funzione fosse polinomiale e ne conoscessimo l’equazione potremmo, in base a quanto esplicitato nella scheda precedente, risolvere il problema. La funzione data è polinomiale e ne conosciamo l’equazione D C since W 27

28 1a Se la funzione fosse polinomiale e ne conoscessimo l’equazione potremmo, in base a quanto esplicitato nella scheda precedente, risolvere il problema. La funzione data è polinomiale e ne conosciamo l’equazione Possiamo ottenere la funzione pendenza D C since W 28

29 1a Se la funzione fosse polinomiale e ne conoscessimo l’equazione potremmo, in base a quanto esplicitato nella scheda precedente, risolvere il problema. La funzione data è polinomiale e ne conosciamo l’equazione Possiamo ottenere la funzione pendenza D C since W Sappiamo come ottenere le funzioni pendenza di funzioni polinomiali 29

30 1a Se la funzione fosse polinomiale e ne conoscessimo l’equazione potremmo, in base a quanto esplicitato nella scheda precedente, risolvere il problema. La funzione data è polinomiale e ne conosciamo l’equazione Possiamo ottenere la funzione pendenza D C since W Sappiamo come ottenere le funzioni pendenza di funzioni polinomiali Sulla base di quanto abbiamo fatto nell’attività precedente (limiti di rapporti incrementali) 30

31 1b Di conseguenze, il problema è riuscire a risalire ad una funzione polinomiale… 31

32 1b … e per questo, inizialmente avevamo pensato di prendere le coordinate di alcuni punti della funzione al fine di calcolarne le differenze e scoprire di che tipo di funzione si trattasse, 32

33 1b ma ci è impossibile per 2 motivi:
non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti ci servirebbero troppi punti per avere informazioni utili dalle differenze 33

34 D C since W 1b ma ci è impossibile per 2 motivi:
non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti ci servirebbero troppi punti per avere informazioni utili dalle differenze Non possiamo avere l’equazione della funzione D C since W 34

35 D C since W 1b ma ci è impossibile per 2 motivi:
non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti ci servirebbero troppi punti per avere informazioni utili dalle differenze non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti ci servirebbero troppi punti Non possiamo avere l’equazione della funzione D C since W 35

36 D C since W 1b ma ci è impossibile per 2 motivi:
non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti ci servirebbero troppi punti per avere informazioni utili dalle differenze non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti ci servirebbero troppi punti Non possiamo avere l’equazione della funzione D C since W Per avere l’equazione ci servono le coordinate esatte di molti punti 36

37 Primo episodio: una refutazione riuscita
Le risorse semiotiche intervengono in modo fondamentale nelle argomentazioni 1a e 1b: 1a 1b non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti ci servirebbero troppi punti non possiamo avere con esattezza le coordinate dei punti ci servirebbero troppi punti La funzione data è polinomiale e ne conosciamo l’equazione La funzione data è polinomiale e ne conosciamo l’equazione Non possiamo avere l’equazione della funzione Non possiamo avere l’equazione della funzione 37

38 Primo episodio: una refutazione riuscita
COMPETENZA E CONTROLLO LOGICO Consapevolezza di tale struttura. COMPETENZA E CONTROLLO SEMIOTICO La refutazione avviene a livello di pratiche e tecniche collegate ai segni in gioco. 38

39 una refutazione mancata
Secondo episodio: una refutazione mancata

40 Registrazione degli zero e del segno della funzione pensenza
L’insegnante suggerisce di concentrarsi sul registro grafico; Gli studenti individuano i punti stazionari; L’insegnante suggerisce di organizzare tale informazione in un piano cartesiano; Gli studenti producono un diagramma: Registrazione degli zero e del segno della funzione pensenza

41 Gli studenti intendono quindi descrivere la crescenza della funzione pendenza:
1. Roberto: Qui pressappoco è costante 2. Luca: No, partiamo di qua (pointing sulla prima parte del grafico). Qui non è che decresce? Cioè, decresce sempre meno. Sì, guarda! 2. Muove la mano nell’aria a mimare il grafico 3. mette la mano sul foglio a mimare una tangente 3. Marco: la pendenza…fa così, in teoria… 1. pointing sul secondo flesso del grafico

42 Completano il diagramma:
4. Luca: Decresce sempre meno, la funzione pendenza 5. Marco: Decresce sempre... 6. Luca : Meno 7. Marco e Roberto: Sì, giusto […] 8. Marco : Allora, quindi qua (scrive nel diagramma) decresce sempre meno. Fino ad arrivare a zero. Completano il diagramma:

43 , ,  : collegamenti tra le due rappresentazioni
la funzione data , ,  : collegamenti tra le due rappresentazioni    Registrazione degli zeri e del segno della funzione pendenza Registrazione della crescenza/descrescenza della funzione pendenza Diagramma della funzione pendenza 43

44 44 44

45 Perchè gli studenti non individuano tali contraddizioni?
Perchè in questo caso non emerge alcuna refutazione? Raggiunge zero negativa contraddizione decresce sempre meno 45

46 4. Luca: Decresce sempre meno, la funzione pendenza
5. Marco: Decresce sempre... 6. Luca : Meno 7. Marco e Roberto: Sì, giusto […] 8. Marco : Allora, quindi qua (scrive nel diagramma) decresce sempre meno. Fino ad arrivare a zero. 46

47 D C since W 4. Luca: Decresce sempre meno, la funzione pendenza
5. Marco: Decresce sempre... 6. Luca : Meno 7. Marco e Roberto: Sì, giusto […] 8. Marco : Allora, quindi qua (scrive nel diagramma) decresce sempre meno. Fino ad arrivare a zero. La funzione pendenza decresce sempre meno; essa arriva a zero D C since W 47

48 D C since W 4. Luca: Decresce sempre meno, la funzione pendenza
5. Marco: Decresce sempre... 6. Luca : Meno 7. Marco e Roberto: Sì, giusto […] 8. Marco : Allora, quindi qua (scrive nel diagramma) decresce sempre meno. Fino ad arrivare a zero. La funzione pendenza decresce sempre meno; essa arriva a zero D C since W Decresce sempre meno, fino ad arrivare a zero 48

49 D C since W 4. Luca: Decresce sempre meno, la funzione pendenza
5. Marco: Decresce sempre... 6. Luca : Meno 7. Marco e Roberto: Sì, giusto […] 8. Marco : Allora, quindi qua (scrive nel diagramma) decresce sempre meno. Fino ad arrivare a zero. La funzione pendenza decresce sempre meno; essa arriva a zero D C since W Decresce sempre meno, fino ad arrivare a zero Falso Regola di inferenza: se due fatti sono veri ciascuno per conto loro, essi sono veri anche insieme 49

50 4. Luca: Decresce sempre meno, la funzione pendenza
5. Marco: Decresce sempre... 6. Luca : Meno 7. Marco e Roberto: Sì, giusto […] 8. Marco : Allora, quindi qua (scrive nel diagramma) decresce sempre meno. Fino ad arrivare a zero. Gli studenti confondono proprietà del grafico dato (il quale invero decresce sempre meno e raggiunge zero, nella sua parte iniziale) con quelle del grafico della funzione pendenza. Possibile interferenza del significato quotidiano del termine “pendenza”. 50

51 Una refutazione mancata DEBOLE CONTROLLO SEMIOTICO
Agli studenti manca un uso adeguato delle risorse semiotiche utilizzate: languaggio e gesti sono entrambi usati in modo fuorviante: - mancano degli strumenti per distinguere i riferimenti ai due grafici; - entrambi potrebbero fare riferimento al significato quotidiano di “pendenza”; il diagramma suggerito dall’insegnante è utilizzato senza adeguate pratiche e techiche ad esso associate DEBOLE CONTROLLO SEMIOTICO 51

52 scarso scarso forte assente 2 episodio 1 episodio dim logica dim
CASE STUDY 2 2 episodio 1 episodio Competenza (liv cognitivo) dim logica Controllo (liv meta-cogn) scarso Competenza (liv cognitivo) scarso dim semiotica Controllo (liv meta-cogn) forte assente refutazione riuscita refutazione mancata

53 Prime conclusioni Un controllo ad entrambi i livelli logico e semiotico risulta necessario per portare a termine correttamente processi argomentativi in matematica. Processo dialettico tra un controllo semiotico e controllo logico. L’analisi semiotica risulta complementare al quadro di Toulmin per analizzare i processi argomentativi.

54 Questioni aperte: indipendenza o interdipendenza?
Indipendenza: si possono avere casi in cui sia presente un controllo a livello semiotico ma non a livello logico? Interdipendenza: un controllo di tipo logico è favorito da un controllo (non solamente una competenza) a livello semiotico? O viceversa? … Grazie