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1 Università della Liberetà 2007-08 m.bassi alcune considerazioni.

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Presentazione sul tema: "1 Università della Liberetà 2007-08 m.bassi alcune considerazioni."— Transcript della presentazione:

1 1 Università della Liberetà 2007-08 m.bassi alcune considerazioni

2 2 Generalmente ci serviamo dellorologio o della sveglia molte volte al giorno. I nostri orologi sono macchine per misurare il tempo e, qualsiasi strumento di misura è di natura matematica. 0 6 39 7 8 10 111 2 4 5 7+8=37 + 8 = 37+8=37 + 8 = 3 Contando con i numeri che rappresentano le ore, spesso si ottengono risultati insoliti: sono le 7 e aggiungiamo 8 ore ……. Questo tipo di aritmetica si chiamaaritmetica modulare o anche sistema di numerazione finito Questo tipo di aritmetica si chiama aritmetica modulare o anche sistema di numerazione finito Si legge 7 più 8 uguale a 3 (modulo 12) Si legge 7 più 8 uguale a 3 (modulo 12)

3 3 Un altro sistema numerico finito si può costruire con i giorni della settimana: 0 domenica, 1 lunedì, 2 martedì,……, 6 sabato. alcune domande: 1Se il 4 marzo era di domenica, che giorno era il 24 marzo? 1. Se il 4 marzo era di domenica, che giorno era il 24 marzo? 2. Per trovare che giorno sarà il 4 marzo dellanno successivo si potrebbe ragionare così… 3. Si può anche andare allindietro e chiedersi: che giorno era il 4 marzo del 1907 ? Allo stesso modo si possono risolvere problemi del tipo: che ora sarà tra 1675 ore? Se numeriamo le 24 ore del giorno da 0 a 23 e se, ora sono le 18,tra 1675 ore saranno (1675+18) mod 24, cioè le 13 IL PROBLEMA SI PUÒ RISOLVERE CONTANDO O CON LARITMETICA MODULO 7 IL PROBLEMA SI PUÒ RISOLVERE CONTANDO O CON LARITMETICA MODULO 7 Spiegazione parziale

4 4 Consideriamo linsieme dei numeri interi Z e la relazione detta di congruenza modulo n (con n > 0), così definita: Due numeri a e b sono equivalenti modulo n se e solo se (a - b) è multiplo di n. Con la relazione di equivalenza si può costruire linsieme Z n delle classi di equivalenza, dette anche classi di resto modulo n Esempio se n = 5, 12 e 7 sono equivalenti mod.5 se e solo se Esempio se n = 5, 12 e 7 sono equivalenti mod.5 se e solo se (12 – 7) è multiplo di 5 infatti (12 – 7) è multiplo di 5 infatti 12 – 7 = 5 e 5 è multiplo di se stesso 12 – 7 = 5 e 5 è multiplo di se stesso NOTA a è multiplo di b se e solo se esiste un numero intero k tale che a = b k

5 5 [0] ={ 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 ……} [1] ={ 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31 ……..} [2] ={ 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32 ……..} [3] ={ 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33 ……..} [4] ={ 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34 …….} [0] [0] [1] [1] [2] [2] [3] [3] [4] [4] OSS. E interessante verificare che le ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione che sono definite in Z danno luogo a operazioni analoghe in Z n esempio classi di resto mod 5

6 6 + [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [0][0][0][0] [0][0][1][1][2][2][3][3][4][4] [1][1][1][1] [1][1][2][2][3][3][4][4][0][0] [2][2][2][2] [2][2][3][3][4][4][0][0][1][1] [3][3][3][3] [3][3][4][4][0][0][1][1][2][2] [4][4][4][4] [4][4][0][0][1][1][2][2][3][3] CLASSI di RESTO MODULO 5 esercizio: [ 2 ] + [ 4 ] = [ 2 + 4 ] = [ 2 ] + [ 4 ] = [ 2 + 4 ] = = [ 5 + 1 ] = [ 1 ] = [ 5 + 1 ] = [ 1 ] Tavola delladdizione la classe [2] rappresenta tutti gli elementi del tipo 2+5h, gli elementi della classe [4] sono del tipo 4+5k, la loro somma è2+5h+4+5k = 2+4+5(h+k) = 6+5(h+k) = 1+5+5(h+k) = = 1+5 (h+k+1): questo elemento appartiene alla classe [1]. la loro somma è 2+5h+4+5k = 2+4+5(h+k) = 6+5(h+k) = 1+5+5(h+k) = = 1+5 (h+k+1): questo elemento appartiene alla classe [1].

7 7 + [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [0][0][0][0][0][0][1][1][2][2][3][3][4][4] [1][1][1][1][1][1][2][2][3][3][4][4][0][0] [2][2][2][2][2][2][3][3][4][4][0][0][1][1] [3][3][3][3][3][3][4][4][0][0][1][1][2][2] [4][4][4][4][4][4][0][0][1][1][2][2][3][3] - Loperazione + è interna - Vale la proprietà associativa - Esiste lelemento neutro [0] [0] - Esiste, per ogni elemento il simmetrico (opposto) - Linsieme Z 5 è chiuso rispetto alla somma [ a ] + [ b ] = [ a + b ] [ a ] + [ b ] = [ a + b ] CLASSI di RESTO MODULO 5 Nota [ a ] è simmetrico di [ b ] se e solo se [ a ] + [ b ] = [ b ] + [ a ] = [ 0 ] Tavola delladdizione

8 8 [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1][0][0][1][1][2][2][3][3][4][4] [2][2][2][2][0][0][2][2][4][4][1][1][3][3] [3][3][3][3][0][0][3][3][1][1][4][4][2][2] [4][4][4][4][0][0][4][4][3][3][2][2][1][1] -La classe [0] annulla qualunque prodotto - Esiste, per ogni elemento, diverso da [0] il simmetrico (o reciproco) - Loperazione è interna - Esiste lelemento neutro [1] - Vale la proprietà associativa es. [ 2 ] x = [ 3 ]; x = [3] [2] simmetico ; x = [3] [3]; x = [4] Tavola della moltiplicazione CLASSI di RESTO MODULO 5 1 1; 2 3; 4 4 1 1; 2 3; 4 4

9 9 [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [5][5][5][5] [0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1][0][0][1][1][2][2][3][3][4][4][5][5] [2][2][2][2][0][0][2][2][4][4][0][0][2][2][4][4] [3][3][3][3][0][0][3][3][0][0][3][3][0][0][3][3] [4][4][4][4][0][0][4][4][2][2][0][0][4][4][2][2] [5][5][5][5][0][0][5][5][4][4][3][3][2][2][1][1] CLASSI di RESTO MODULO 6 Qui molte proprietà non sono valide: - Non è vero che ogni elemento ha il simmetrico: per i numeri 2, 3, 4 non esistono - Ci sono elementi diversi da zero che moltiplicati tra loro danno 0 - In alcune righe compare più volte uno stesso elemento Tavola della moltiplicazione N on vale la legge di annullamento del prodotto

10 10 Alcune EQUIVALENZE sono di notevole importanza (a + b) mod n = a mod n + b mod n ciò vuol dire che il resto di una somma è uguale alla somma dei resti (a b) mod n = a mod n b mod n ciò vuol dire che il resto di un prodotto è uguale al prodotto dei resti (a b) mod n = a mod n b mod n ciò vuol dire che il resto di un prodotto è uguale al prodotto dei resti Se a e b sono uguali, (a a) mod n = a mod n a mod n = r r = r 2 con r resto della divisione di a per n con r resto della divisione di a per n NOTA: questa proprietà è utilizzata fondamentalmente nellambito della crittografia a chiave pubblica (RSA) con numeri primi. Infatti questa proprietà permette di determinare i resti delle divisioni tra numeri con un grande numero di cifre

11 11 qualche esempio 12² mod 11 = 144 mod 11 = 1 = ( 12 mod 11 )²= 11 = 1 12² mod 11 = 144 mod 11 = 1 = ( 12 mod 11 )²= 11 = 1 32 9 mod 7 = 1 infatti si ottiene: 32 9 mod 7 = 1 infatti si ottiene: 32 mod 7 = 4 ; 32 mod 7 = 4 ; 32 2 mod 7 = ( 32 mod 7) 2 = (44) mod 7 = 2 32 2 mod 7 = ( 32 mod 7) 2 = (44) mod 7 = 2 32 4 mod 7 = (32 2 mod 7) 2 = (22) mod 7 = 4 32 4 mod 7 = (32 2 mod 7) 2 = (22) mod 7 = 4 32 8 mod 7 = (32 4 mod 7) 2 = (44) mod 7 = 2 32 8 mod 7 = (32 4 mod 7) 2 = (44) mod 7 = 2 32 9 mod 7 = (32 8 32) mod 7 = (24) mod 7 = 1 32 9 mod 7 = (32 8 32) mod 7 = (24) mod 7 = 1 Il metodo è ricorsivo e facilmente implementabile

12 12 LA PROVA DEL NOVE Supponiamo di aver moltiplicato due numeri a e b, e di aver ottenuto come risultato c. Rifacendo il calcolo, potremmo ottenere risultati uguali o diversi: Rifacendo il calcolo, potremmo ottenere risultati uguali o diversi: se sono diversi siamo sicuri che almeno uno dei due è errato, se sono uguali non abbiamo la certezza che il risultato sia corretto perché potremmo aver fatto lo stesso errore in tutti due i calcoli. Lo stesso avviene con la prova del nove: se i conti non tornano siamo sicuri di aver sbagliato la prova o la moltiplicazione, se tornano, avremo la conferma dellesattezza del risultato, ma mai la sicurezza

13 13 LA PROVA DEL NOVE La prova del nove è molto più veloce che non rifare la moltiplicazione e quindi è preferibile La prova del nove ( o dell 11, o... ) si basa sul fatto che se a b = c allora a mod p b mod p = c mod p a mod p b mod p = c mod p a mod p b mod p a mod p b mod p c mod p Es.564 * 4318 = 2435352 Es. 564 * 4318 = 2435352 6 7 (6 7) mod 9 = 6 c mod p = 6

14 14 Si potrebbe fare anche la prova del 2, ricordando che a mod 2 è uguale a 1 se a è dispari e a 0 se a è pari Se almeno uno dei due numeri da moltiplicare è pari il risultato deve essere pari, se ambedue sono dispari il risultato deve essere dispari Perché allora non si usa la prova del 2 ? Ricordiamo che se la prova non torna il risultato è sbagliato, ma se la prova torna, potrebbe funzionare per caso. E perché non si fa con 347? Ci sarebbero 347 casi possibili (0……346) e leventualità che la prova torni per caso è piuttosto remota.

15 15 Il metodo di Pascal per il calcolo dei resti mod 7 (1650) Se volessimo usare un altro numero al posto del 9, ad es. 7, dovremmo conoscere il modo di trovare il resto mod 7 Il metodo proposto da Pascal utilizza le proprietà delle classi resto il numero 5342 è divisibile per 7 ? Il numero 5342 può essere scritto in forma polinomiale : 5 10 3 + 3 10 2 + 4 10 1 + 2 10 0 Pascal trascrive il polinomio in una tabella a due righe 5 3 4 2 5 3 4 2 10 3 10 2 10 1 10 0 10 3 10 2 10 1 10 0 5 3 4 2 6 2 3 1 resti mod 7 dei termini della seconda riga Moltiplichiamo 56+3 2+4 3+2 1 = 50; 50 mod 7 = 1 e anche 5342 diviso 7 dà resto 1 (principio di sostituzione)

16 16 Il ragionamento di Pascal è applicabile a qualunque altro criterio di divisibilità Nel descrivere il metodo di Pascal abbiamo incontrato una sequenza di numeri (…4 6 2 3 1), data dai successivi resti mod 7 delle potenze decrescenti di 10 ….la sequenza-resti diventa periodica e può esser utilizzata ogni volta che occorre In conclusione per vedere se un numero n è divisibile per 7 si scrivono su una riga le cifre di n -si scrivono su una riga le cifre di n -si scrivono le sequenze-resti mod 7 sulla seconda riga -si moltiplicano i termini corrispondenti della prima e seconda riga -si sommano i prodotti ottenuti e si calcola il resto mod 7 -se il resto mod 7 è zero, allora n è divisibile per 7

17 17 P R O B L E M I 1.Risolvi lequazione 4x = 3 nellinsieme delle classi di resto modulo 6 2.Andrea, Bruno, Carlo, Dino e Enrico stanno facendo la conta e la somma delle dita è 22. a chi tocca, se la conta comincia da Dino? 3.Sulla lavagna un alunno ha eseguito una moltiplicazione: Fa la prova del nove e verifica se ci sono errori 324 x 324 x 47 = 47 = 2258 2258 1306 1306 15318 15318 4.Durante un esercizio sullaritmetica delle classi resto, un alunno ha calcolato 5 + 4 = 2. In quale modulo è stata fatta laddizione? 5.Quanto fa 8 : 4 nellinsieme delle classi resto modulo 12?

18 18 6.Il gioco dei fiammiferi Il gioco consiste nel disporre su un tavolo un numero a piacere di fiammiferi. Dopo aver sorteggiato chi deve fare la prima mossa, si dà inizio al gioco, che consiste nel prelevare a turo dal tavolo un numero di fiammiferi compreso tra uno e tre. Vince chi riesce a costringere lavversario a prendere lultimo fiammifero. Esiste una strategia vincente per chi fa la prima mossa? e… per finire La prova del 9 è abbastanza facile, ma anche la prova dell 11 può essere applicata senza troppi problemi Basta osservare che: 10 = - 1 mod 11; 100 = 10 10 = 1 mod 11 e così via P R O V A

19 19 Risoluzione dei P R O B L E M I 1.Risolvi lequazione 4x = 3 nellinsieme delle classi di resto modulo 6 4 x = 3 x = 3 4 simmetrico 4 x = 3 x = 3 4 simmetrico se scorriamo la tavola moltiplicativa mod.6, se scorriamo la tavola moltiplicativa mod.6, non riusciamo a trovare il simmetrico o inverso di 4 pertanto lequazione non ha soluzione (equazione impossibile in Z 6 ) non riusciamo a trovare il simmetrico o inverso di 4 pertanto lequazione non ha soluzione (equazione impossibile in Z 6 ) 2.Andrea, Bruno, Carlo, Dino e Enrico stanno facendo la conta e la somma delle dita è 22. a chi tocca, se la conta comincia da Dino? Dato che i ragazzi sono cinque, calcoliamo il resto 22 mod 5 = 2. Il secondo ragazzo dopo Dino è Andrea 22 mod 5 = 2. Il secondo ragazzo dopo Dino è Andrea

20 20 3.Sulla lavagna un alunno ha eseguito una moltiplicazione: Fa la prova del nove e verifica se ci sono errori 324 x 324 x 47 = 47 = 2258 2258 1306 1306 15318 15318 0 0 2 0 324 mod 9 = 0 47 mod 9 = 2 47 mod 9 = 2 0 2 = 0 0 2 = 0 anche 15318 mod 9 = 0 La prova del nove dà esito positivo, ma la moltiplicazione è ugualmente errata. Infatti 324 47 = 15228 Nota non sempre la prova del nove riesce a trovare errori

21 21 4.Durante un esercizio sullaritmetica delle classi resto, un alunno ha calcolato 5 + 4 = 2. In quale modulo è stata fatta laddizione? Dato che 5 + 4 = 9 nell aritmetica decimale, il risultato 2 si può ottenere solo togliendo 7. 5 + 4 = 2 + 7 5 + 4 = 2 (mod 7) 5 + 4 = 2 + 7 5 + 4 = 2 (mod 7) lalunno sta usando le classi di resto modulo 7 5.Quanto fa 8 : 4 nellinsieme delle classi resto modulo 12? La riga del 4 nella tabella moltiplicativa delle classi resto mod. 12 è : La riga del 4 nella tabella moltiplicativa delle classi resto mod. 12 è : 0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8 L8 compare ben 4 volte, in corrispondenza delle colonne 2, 5, 8 e 11, che rappresentano risposte valide ala domanda posta In altro modo: trova un numero x tale che 4 x = 8 soluzioni: 2, 5, 8, 11

22 22 Nellequazione di primo grado considerata, abbiamo trovato soluzioni diverse (2, 5, 8, 11) ; se gli elementi - classi di resti mod. 12 - ammettono il simmetrico rispetto la moltiplicazione, allora lequazione ha un unica soluzione 5 x = 8; x = 8 5 simmetrico ; x = 8 5 ; x = 4 (mod.12) 7 x = 10; x = 10 7 simmetrico ; x = 10 7; x = 10 (mod.12) 11 x = 3; x = 3 11 simmetrico ; x = 3 11; x = 9 (mod.12) 6 x = 8 non ha soluzioni nellinsieme classi di resto mod.12 In generale Sia k è un intero primo con n. Comunque si assegni un intero h, lequazione in x K x = h (mod.12) ammette soluzioni e queste costituiscono un classe mod. n

23 23 6. Il gioco dei fiammiferi Si calcola il resto mod. 4 del numero dei fiammiferi (è come se ci fossero sul tavolo solo gli r fiammiferi del resto. Alla prima mossa, basta togliere da r tanti fiammiferi, in modo da lasciarne uno solo allavversario. Da questo momento, qualunque numero di fiammiferi prenderà B, A ne prenderà quanti mancano per arrivare a 4 (se B ne prende 1, A ne prenderà 3; se B ne prende 2 A ne prenderà 2, …. Essendo 4 un elemento neutro (nelle classi resto mod.4), la situazione non cambia: sul tavolo ci sarà sempre virtualmente sempre un solo fiammifero (quello che rimarrà a B) Nel caso che il resto mod. 4 del numero iniziale di fiammiferi sia 1, A sarebbe destinato a perdere, ma A può ancora sperare che B non conosca le regole e quindi prima o poi commetta un errore lasciando sul tavolo un numero di fiammiferi (n mod 4) 1 La stessa situazione si ha se A gioca per secondo Nota A fa la prima mossa, B è lavversario

24 24 Le classi resto dal punto di vista dellalgebra moderna knumero primo + Prendiamo linsieme delle classi resto modulo k (numero primo), dotato di due operazioni +, ; osserviamo che : Laddizione è unoperazione interna È associativa Esiste lelemento neutro [0] 0gni elemento ha il suo elemento inverso (o simmetrico) Linsieme è un GRUPPO La moltiplicazione è unoperazione interna È associativa Esiste lelemento neutro [1] Ogni elemento, tranne 0, ha il suo elemento inverso (o simmetrico) Linsieme è un MONOIDE commutativo e inoltre …

25 25 … … la moltiplicazione è distributiva rispetto laddizione cioè: x (y + z) = x y + x z La presenza di tutte queste proprietà conferisce allinsieme la struttura di ANELLO k non è primo Diversa è la situazione se k non è primo non vale più la legge di annullamento del prodotto, per la quale un prodotto è nullo se lo è almeno uno dei due termini. Ci sono cioè divisori dello zero Osserviamo che non vale più la legge di annullamento del prodotto, per la quale un prodotto è nullo se lo è almeno uno dei due termini. Ci sono cioè divisori dello zero es. nelle classi resto mod. 6, [2] [3] = [0] oppure [0] : [2] = [3] ; una semplice equazione di primo grado … [4] x = [2] ha due soluzioni: [2] e [5] [4] x = [2] ha due soluzioni: [2] e [5] [3] x = [5] non ha soluzioni [3] x = [5] non ha soluzioni IMPORTANTE Linsieme Z k (+,) con k, numero primo, ha la stessa struttura algebrica di Q (+,)

26 26 I Q Z N N = {0, 1,2,3,4,5,... } insieme dei numeri naturali Z = {0, +1, -1, +2, -2, +3... } insieme dei numeri interi relativi Q = {classi di frazioni equivalenti} insieme dei numeri razionali I : numeri decimali non periodici (numeri che non possono essere scritti come frazioni) R : linsieme dei reali si divide in due sottinsiemi disgiunti, quello dei razionali Q e quello degli irrazionali I R = Q + IR = Q + IR = Q + IR = Q + I

27 27 + [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [0][0][0][0] [0][0][1][1][2][2][3][3][4][4] [1][1][1][1] [1][1][2][2][3][3][4][4][0][0] [2][2][2][2] [2][2][3][3][4][4][0][0][1][1] [3][3][3][3] [3][3][4][4][0][0][1][1][2][2] [4][4][4][4] [4][4][0][0][1][1][2][2][3][3] CLASSI di RESTO MODULO 5 Tavola della addizione

28 28 [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1][0][0][1][1][2][2][3][3][4][4] [2][2][2][2][0][0][2][2][4][4][1][1][3][3] [3][3][3][3][0][0][3][3][1][1][4][4][2][2] [4][4][4][4][0][0][4][4][3][3][2][2][1][1] Tavola della moltiplicazione CLASSI di RESTO MODULO 5

29 29 + [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [5][5][5][5] [0][0][0][0] [0][0][1][1][2[2[3][4][4][5][5] [1][1][1][1] [1][1][2][3][4][5][5][6][6] [2][2][2][2] [2][2][3][3][4][4][5][5][0][0][1][1] [3][3][3][3] [3][3][4][4][5][5][0][0][1][1][2][2] [4][4][4][4] [4][4][5][5][0][0][1][1][2][2][3][3] [5][5][5][5] [5][5][0][0][1][1][2][2][3][3][4][4] CLASSI di RESTO MODULO 6 Tavola della addizione

30 30 [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [5][5][5][5] [0][0][0][0] [0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1] [0][0][1][1][2][2][3][3][4][4][5][5] [2][2][2][2] [0][0][2][2][4][4][0][0][2][2][4][4] [3][3][3][3] [0][0][3][3][0][0][3][3][0][0][3][3] [4][4][4][4] [0][0][4][4][2][2][0][0][4][4][2][2] [5][5][5][5] [0][0][5][5][4][4][3][3][2][2][1][1] CLASSI di RESTO MODULO 6 Tavola della moltiplicazione

31 31 +01234567891011 001234567891011 112345678910110 223456789101101 334567891011012 445678910110123 556789101101234 667891011012345 778910110123456 889101101234567 991011012345678 1010110123456789 1111012345678910 CLASSI di RESTO MODULO 12 Tavola della addizione

32 32 01234567891011 0000000000000 101234567891011 202468100246810 30369036110369 4048048048048 505103816114927 6060606060606 707294116183115 8084084084084 9096309630963 1001086420108642 1101110987654321 CLASSI di RESTO MODULO 12 Tavola della moltiplicazione

33 33 Maraschini – Palma multi F O R M AT multi F O R M AT moduli per la formazione matematica nella Scuola Superiore e altro … … … e altro … … … tratte liberamente da…..


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