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1 Università della Liberetà 2007-08 m.bassi alcune considerazioni.

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Presentazione sul tema: "1 Università della Liberetà 2007-08 m.bassi alcune considerazioni."— Transcript della presentazione:

1 1 Università della Liberetà m.bassi alcune considerazioni

2 2 Generalmente ci serviamo dellorologio o della sveglia molte volte al giorno. I nostri orologi sono macchine per misurare il tempo e, qualsiasi strumento di misura è di natura matematica = = 37+8= = 3 Contando con i numeri che rappresentano le ore, spesso si ottengono risultati insoliti: sono le 7 e aggiungiamo 8 ore ……. Questo tipo di aritmetica si chiamaaritmetica modulare o anche sistema di numerazione finito Questo tipo di aritmetica si chiama aritmetica modulare o anche sistema di numerazione finito Si legge 7 più 8 uguale a 3 (modulo 12) Si legge 7 più 8 uguale a 3 (modulo 12)

3 3 Un altro sistema numerico finito si può costruire con i giorni della settimana: 0 domenica, 1 lunedì, 2 martedì,……, 6 sabato. alcune domande: 1Se il 4 marzo era di domenica, che giorno era il 24 marzo? 1. Se il 4 marzo era di domenica, che giorno era il 24 marzo? 2. Per trovare che giorno sarà il 4 marzo dellanno successivo si potrebbe ragionare così… 3. Si può anche andare allindietro e chiedersi: che giorno era il 4 marzo del 1907 ? Allo stesso modo si possono risolvere problemi del tipo: che ora sarà tra 1675 ore? Se numeriamo le 24 ore del giorno da 0 a 23 e se, ora sono le 18,tra 1675 ore saranno ( ) mod 24, cioè le 13 IL PROBLEMA SI PUÒ RISOLVERE CONTANDO O CON LARITMETICA MODULO 7 IL PROBLEMA SI PUÒ RISOLVERE CONTANDO O CON LARITMETICA MODULO 7 Spiegazione parziale

4 4 Consideriamo linsieme dei numeri interi Z e la relazione detta di congruenza modulo n (con n > 0), così definita: Due numeri a e b sono equivalenti modulo n se e solo se (a - b) è multiplo di n. Con la relazione di equivalenza si può costruire linsieme Z n delle classi di equivalenza, dette anche classi di resto modulo n Esempio se n = 5, 12 e 7 sono equivalenti mod.5 se e solo se Esempio se n = 5, 12 e 7 sono equivalenti mod.5 se e solo se (12 – 7) è multiplo di 5 infatti (12 – 7) è multiplo di 5 infatti 12 – 7 = 5 e 5 è multiplo di se stesso 12 – 7 = 5 e 5 è multiplo di se stesso NOTA a è multiplo di b se e solo se esiste un numero intero k tale che a = b k

5 5 [0] ={ 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 ……} [1] ={ 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31 ……..} [2] ={ 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32 ……..} [3] ={ 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33 ……..} [4] ={ 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34 …….} [0] [0] [1] [1] [2] [2] [3] [3] [4] [4] OSS. E interessante verificare che le ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione che sono definite in Z danno luogo a operazioni analoghe in Z n esempio classi di resto mod 5

6 6 + [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [0][0][0][0] [0][0][1][1][2][2][3][3][4][4] [1][1][1][1] [1][1][2][2][3][3][4][4][0][0] [2][2][2][2] [2][2][3][3][4][4][0][0][1][1] [3][3][3][3] [3][3][4][4][0][0][1][1][2][2] [4][4][4][4] [4][4][0][0][1][1][2][2][3][3] CLASSI di RESTO MODULO 5 esercizio: [ 2 ] + [ 4 ] = [ ] = [ 2 ] + [ 4 ] = [ ] = = [ ] = [ 1 ] = [ ] = [ 1 ] Tavola delladdizione la classe [2] rappresenta tutti gli elementi del tipo 2+5h, gli elementi della classe [4] sono del tipo 4+5k, la loro somma è2+5h+4+5k = 2+4+5(h+k) = 6+5(h+k) = 1+5+5(h+k) = = 1+5 (h+k+1): questo elemento appartiene alla classe [1]. la loro somma è 2+5h+4+5k = 2+4+5(h+k) = 6+5(h+k) = 1+5+5(h+k) = = 1+5 (h+k+1): questo elemento appartiene alla classe [1].

7 7 + [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [0][0][0][0][0][0][1][1][2][2][3][3][4][4] [1][1][1][1][1][1][2][2][3][3][4][4][0][0] [2][2][2][2][2][2][3][3][4][4][0][0][1][1] [3][3][3][3][3][3][4][4][0][0][1][1][2][2] [4][4][4][4][4][4][0][0][1][1][2][2][3][3] - Loperazione + è interna - Vale la proprietà associativa - Esiste lelemento neutro [0] [0] - Esiste, per ogni elemento il simmetrico (opposto) - Linsieme Z 5 è chiuso rispetto alla somma [ a ] + [ b ] = [ a + b ] [ a ] + [ b ] = [ a + b ] CLASSI di RESTO MODULO 5 Nota [ a ] è simmetrico di [ b ] se e solo se [ a ] + [ b ] = [ b ] + [ a ] = [ 0 ] Tavola delladdizione

8 8 [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1][0][0][1][1][2][2][3][3][4][4] [2][2][2][2][0][0][2][2][4][4][1][1][3][3] [3][3][3][3][0][0][3][3][1][1][4][4][2][2] [4][4][4][4][0][0][4][4][3][3][2][2][1][1] -La classe [0] annulla qualunque prodotto - Esiste, per ogni elemento, diverso da [0] il simmetrico (o reciproco) - Loperazione è interna - Esiste lelemento neutro [1] - Vale la proprietà associativa es. [ 2 ] x = [ 3 ]; x = [3] [2] simmetico ; x = [3] [3]; x = [4] Tavola della moltiplicazione CLASSI di RESTO MODULO 5 1 1; 2 3; ; 2 3; 4 4

9 9 [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [5][5][5][5] [0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1][0][0][1][1][2][2][3][3][4][4][5][5] [2][2][2][2][0][0][2][2][4][4][0][0][2][2][4][4] [3][3][3][3][0][0][3][3][0][0][3][3][0][0][3][3] [4][4][4][4][0][0][4][4][2][2][0][0][4][4][2][2] [5][5][5][5][0][0][5][5][4][4][3][3][2][2][1][1] CLASSI di RESTO MODULO 6 Qui molte proprietà non sono valide: - Non è vero che ogni elemento ha il simmetrico: per i numeri 2, 3, 4 non esistono - Ci sono elementi diversi da zero che moltiplicati tra loro danno 0 - In alcune righe compare più volte uno stesso elemento Tavola della moltiplicazione N on vale la legge di annullamento del prodotto

10 10 Alcune EQUIVALENZE sono di notevole importanza (a + b) mod n = a mod n + b mod n ciò vuol dire che il resto di una somma è uguale alla somma dei resti (a b) mod n = a mod n b mod n ciò vuol dire che il resto di un prodotto è uguale al prodotto dei resti (a b) mod n = a mod n b mod n ciò vuol dire che il resto di un prodotto è uguale al prodotto dei resti Se a e b sono uguali, (a a) mod n = a mod n a mod n = r r = r 2 con r resto della divisione di a per n con r resto della divisione di a per n NOTA: questa proprietà è utilizzata fondamentalmente nellambito della crittografia a chiave pubblica (RSA) con numeri primi. Infatti questa proprietà permette di determinare i resti delle divisioni tra numeri con un grande numero di cifre

11 11 qualche esempio 12² mod 11 = 144 mod 11 = 1 = ( 12 mod 11 )²= 11 = 1 12² mod 11 = 144 mod 11 = 1 = ( 12 mod 11 )²= 11 = mod 7 = 1 infatti si ottiene: 32 9 mod 7 = 1 infatti si ottiene: 32 mod 7 = 4 ; 32 mod 7 = 4 ; 32 2 mod 7 = ( 32 mod 7) 2 = (44) mod 7 = mod 7 = ( 32 mod 7) 2 = (44) mod 7 = mod 7 = (32 2 mod 7) 2 = (22) mod 7 = mod 7 = (32 2 mod 7) 2 = (22) mod 7 = mod 7 = (32 4 mod 7) 2 = (44) mod 7 = mod 7 = (32 4 mod 7) 2 = (44) mod 7 = mod 7 = ( ) mod 7 = (24) mod 7 = mod 7 = ( ) mod 7 = (24) mod 7 = 1 Il metodo è ricorsivo e facilmente implementabile

12 12 LA PROVA DEL NOVE Supponiamo di aver moltiplicato due numeri a e b, e di aver ottenuto come risultato c. Rifacendo il calcolo, potremmo ottenere risultati uguali o diversi: Rifacendo il calcolo, potremmo ottenere risultati uguali o diversi: se sono diversi siamo sicuri che almeno uno dei due è errato, se sono uguali non abbiamo la certezza che il risultato sia corretto perché potremmo aver fatto lo stesso errore in tutti due i calcoli. Lo stesso avviene con la prova del nove: se i conti non tornano siamo sicuri di aver sbagliato la prova o la moltiplicazione, se tornano, avremo la conferma dellesattezza del risultato, ma mai la sicurezza

13 13 LA PROVA DEL NOVE La prova del nove è molto più veloce che non rifare la moltiplicazione e quindi è preferibile La prova del nove ( o dell 11, o... ) si basa sul fatto che se a b = c allora a mod p b mod p = c mod p a mod p b mod p = c mod p a mod p b mod p a mod p b mod p c mod p Es.564 * 4318 = Es. 564 * 4318 = (6 7) mod 9 = 6 c mod p = 6

14 14 Si potrebbe fare anche la prova del 2, ricordando che a mod 2 è uguale a 1 se a è dispari e a 0 se a è pari Se almeno uno dei due numeri da moltiplicare è pari il risultato deve essere pari, se ambedue sono dispari il risultato deve essere dispari Perché allora non si usa la prova del 2 ? Ricordiamo che se la prova non torna il risultato è sbagliato, ma se la prova torna, potrebbe funzionare per caso. E perché non si fa con 347? Ci sarebbero 347 casi possibili (0……346) e leventualità che la prova torni per caso è piuttosto remota.

15 15 Il metodo di Pascal per il calcolo dei resti mod 7 (1650) Se volessimo usare un altro numero al posto del 9, ad es. 7, dovremmo conoscere il modo di trovare il resto mod 7 Il metodo proposto da Pascal utilizza le proprietà delle classi resto il numero 5342 è divisibile per 7 ? Il numero 5342 può essere scritto in forma polinomiale : Pascal trascrive il polinomio in una tabella a due righe resti mod 7 dei termini della seconda riga Moltiplichiamo = 50; 50 mod 7 = 1 e anche 5342 diviso 7 dà resto 1 (principio di sostituzione)

16 16 Il ragionamento di Pascal è applicabile a qualunque altro criterio di divisibilità Nel descrivere il metodo di Pascal abbiamo incontrato una sequenza di numeri (… ), data dai successivi resti mod 7 delle potenze decrescenti di 10 ….la sequenza-resti diventa periodica e può esser utilizzata ogni volta che occorre In conclusione per vedere se un numero n è divisibile per 7 si scrivono su una riga le cifre di n -si scrivono su una riga le cifre di n -si scrivono le sequenze-resti mod 7 sulla seconda riga -si moltiplicano i termini corrispondenti della prima e seconda riga -si sommano i prodotti ottenuti e si calcola il resto mod 7 -se il resto mod 7 è zero, allora n è divisibile per 7

17 17 P R O B L E M I 1.Risolvi lequazione 4x = 3 nellinsieme delle classi di resto modulo 6 2.Andrea, Bruno, Carlo, Dino e Enrico stanno facendo la conta e la somma delle dita è 22. a chi tocca, se la conta comincia da Dino? 3.Sulla lavagna un alunno ha eseguito una moltiplicazione: Fa la prova del nove e verifica se ci sono errori 324 x 324 x 47 = 47 = Durante un esercizio sullaritmetica delle classi resto, un alunno ha calcolato = 2. In quale modulo è stata fatta laddizione? 5.Quanto fa 8 : 4 nellinsieme delle classi resto modulo 12?

18 18 6.Il gioco dei fiammiferi Il gioco consiste nel disporre su un tavolo un numero a piacere di fiammiferi. Dopo aver sorteggiato chi deve fare la prima mossa, si dà inizio al gioco, che consiste nel prelevare a turo dal tavolo un numero di fiammiferi compreso tra uno e tre. Vince chi riesce a costringere lavversario a prendere lultimo fiammifero. Esiste una strategia vincente per chi fa la prima mossa? e… per finire La prova del 9 è abbastanza facile, ma anche la prova dell 11 può essere applicata senza troppi problemi Basta osservare che: 10 = - 1 mod 11; 100 = = 1 mod 11 e così via P R O V A

19 19 Risoluzione dei P R O B L E M I 1.Risolvi lequazione 4x = 3 nellinsieme delle classi di resto modulo 6 4 x = 3 x = 3 4 simmetrico 4 x = 3 x = 3 4 simmetrico se scorriamo la tavola moltiplicativa mod.6, se scorriamo la tavola moltiplicativa mod.6, non riusciamo a trovare il simmetrico o inverso di 4 pertanto lequazione non ha soluzione (equazione impossibile in Z 6 ) non riusciamo a trovare il simmetrico o inverso di 4 pertanto lequazione non ha soluzione (equazione impossibile in Z 6 ) 2.Andrea, Bruno, Carlo, Dino e Enrico stanno facendo la conta e la somma delle dita è 22. a chi tocca, se la conta comincia da Dino? Dato che i ragazzi sono cinque, calcoliamo il resto 22 mod 5 = 2. Il secondo ragazzo dopo Dino è Andrea 22 mod 5 = 2. Il secondo ragazzo dopo Dino è Andrea

20 20 3.Sulla lavagna un alunno ha eseguito una moltiplicazione: Fa la prova del nove e verifica se ci sono errori 324 x 324 x 47 = 47 = mod 9 = 0 47 mod 9 = 2 47 mod 9 = = = 0 anche mod 9 = 0 La prova del nove dà esito positivo, ma la moltiplicazione è ugualmente errata. Infatti = Nota non sempre la prova del nove riesce a trovare errori

21 21 4.Durante un esercizio sullaritmetica delle classi resto, un alunno ha calcolato = 2. In quale modulo è stata fatta laddizione? Dato che = 9 nell aritmetica decimale, il risultato 2 si può ottenere solo togliendo = = 2 (mod 7) = = 2 (mod 7) lalunno sta usando le classi di resto modulo 7 5.Quanto fa 8 : 4 nellinsieme delle classi resto modulo 12? La riga del 4 nella tabella moltiplicativa delle classi resto mod. 12 è : La riga del 4 nella tabella moltiplicativa delle classi resto mod. 12 è : L8 compare ben 4 volte, in corrispondenza delle colonne 2, 5, 8 e 11, che rappresentano risposte valide ala domanda posta In altro modo: trova un numero x tale che 4 x = 8 soluzioni: 2, 5, 8, 11

22 22 Nellequazione di primo grado considerata, abbiamo trovato soluzioni diverse (2, 5, 8, 11) ; se gli elementi - classi di resti mod ammettono il simmetrico rispetto la moltiplicazione, allora lequazione ha un unica soluzione 5 x = 8; x = 8 5 simmetrico ; x = 8 5 ; x = 4 (mod.12) 7 x = 10; x = 10 7 simmetrico ; x = 10 7; x = 10 (mod.12) 11 x = 3; x = 3 11 simmetrico ; x = 3 11; x = 9 (mod.12) 6 x = 8 non ha soluzioni nellinsieme classi di resto mod.12 In generale Sia k è un intero primo con n. Comunque si assegni un intero h, lequazione in x K x = h (mod.12) ammette soluzioni e queste costituiscono un classe mod. n

23 23 6. Il gioco dei fiammiferi Si calcola il resto mod. 4 del numero dei fiammiferi (è come se ci fossero sul tavolo solo gli r fiammiferi del resto. Alla prima mossa, basta togliere da r tanti fiammiferi, in modo da lasciarne uno solo allavversario. Da questo momento, qualunque numero di fiammiferi prenderà B, A ne prenderà quanti mancano per arrivare a 4 (se B ne prende 1, A ne prenderà 3; se B ne prende 2 A ne prenderà 2, …. Essendo 4 un elemento neutro (nelle classi resto mod.4), la situazione non cambia: sul tavolo ci sarà sempre virtualmente sempre un solo fiammifero (quello che rimarrà a B) Nel caso che il resto mod. 4 del numero iniziale di fiammiferi sia 1, A sarebbe destinato a perdere, ma A può ancora sperare che B non conosca le regole e quindi prima o poi commetta un errore lasciando sul tavolo un numero di fiammiferi (n mod 4) 1 La stessa situazione si ha se A gioca per secondo Nota A fa la prima mossa, B è lavversario

24 24 Le classi resto dal punto di vista dellalgebra moderna knumero primo + Prendiamo linsieme delle classi resto modulo k (numero primo), dotato di due operazioni +, ; osserviamo che : Laddizione è unoperazione interna È associativa Esiste lelemento neutro [0] 0gni elemento ha il suo elemento inverso (o simmetrico) Linsieme è un GRUPPO La moltiplicazione è unoperazione interna È associativa Esiste lelemento neutro [1] Ogni elemento, tranne 0, ha il suo elemento inverso (o simmetrico) Linsieme è un MONOIDE commutativo e inoltre …

25 25 … … la moltiplicazione è distributiva rispetto laddizione cioè: x (y + z) = x y + x z La presenza di tutte queste proprietà conferisce allinsieme la struttura di ANELLO k non è primo Diversa è la situazione se k non è primo non vale più la legge di annullamento del prodotto, per la quale un prodotto è nullo se lo è almeno uno dei due termini. Ci sono cioè divisori dello zero Osserviamo che non vale più la legge di annullamento del prodotto, per la quale un prodotto è nullo se lo è almeno uno dei due termini. Ci sono cioè divisori dello zero es. nelle classi resto mod. 6, [2] [3] = [0] oppure [0] : [2] = [3] ; una semplice equazione di primo grado … [4] x = [2] ha due soluzioni: [2] e [5] [4] x = [2] ha due soluzioni: [2] e [5] [3] x = [5] non ha soluzioni [3] x = [5] non ha soluzioni IMPORTANTE Linsieme Z k (+,) con k, numero primo, ha la stessa struttura algebrica di Q (+,)

26 26 I Q Z N N = {0, 1,2,3,4,5,... } insieme dei numeri naturali Z = {0, +1, -1, +2, -2, } insieme dei numeri interi relativi Q = {classi di frazioni equivalenti} insieme dei numeri razionali I : numeri decimali non periodici (numeri che non possono essere scritti come frazioni) R : linsieme dei reali si divide in due sottinsiemi disgiunti, quello dei razionali Q e quello degli irrazionali I R = Q + IR = Q + IR = Q + IR = Q + I

27 27 + [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [0][0][0][0] [0][0][1][1][2][2][3][3][4][4] [1][1][1][1] [1][1][2][2][3][3][4][4][0][0] [2][2][2][2] [2][2][3][3][4][4][0][0][1][1] [3][3][3][3] [3][3][4][4][0][0][1][1][2][2] [4][4][4][4] [4][4][0][0][1][1][2][2][3][3] CLASSI di RESTO MODULO 5 Tavola della addizione

28 28 [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1][0][0][1][1][2][2][3][3][4][4] [2][2][2][2][0][0][2][2][4][4][1][1][3][3] [3][3][3][3][0][0][3][3][1][1][4][4][2][2] [4][4][4][4][0][0][4][4][3][3][2][2][1][1] Tavola della moltiplicazione CLASSI di RESTO MODULO 5

29 29 + [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [5][5][5][5] [0][0][0][0] [0][0][1][1][2[2[3][4][4][5][5] [1][1][1][1] [1][1][2][3][4][5][5][6][6] [2][2][2][2] [2][2][3][3][4][4][5][5][0][0][1][1] [3][3][3][3] [3][3][4][4][5][5][0][0][1][1][2][2] [4][4][4][4] [4][4][5][5][0][0][1][1][2][2][3][3] [5][5][5][5] [5][5][0][0][1][1][2][2][3][3][4][4] CLASSI di RESTO MODULO 6 Tavola della addizione

30 30 [0][0][0][0] [1][1][1][1] [2][2][2][2] [3][3][3][3] [4][4][4][4] [5][5][5][5] [0][0][0][0] [0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1] [0][0][1][1][2][2][3][3][4][4][5][5] [2][2][2][2] [0][0][2][2][4][4][0][0][2][2][4][4] [3][3][3][3] [0][0][3][3][0][0][3][3][0][0][3][3] [4][4][4][4] [0][0][4][4][2][2][0][0][4][4][2][2] [5][5][5][5] [0][0][5][5][4][4][3][3][2][2][1][1] CLASSI di RESTO MODULO 6 Tavola della moltiplicazione

31 CLASSI di RESTO MODULO 12 Tavola della addizione

32 CLASSI di RESTO MODULO 12 Tavola della moltiplicazione

33 33 Maraschini – Palma multi F O R M AT multi F O R M AT moduli per la formazione matematica nella Scuola Superiore e altro … … … e altro … … … tratte liberamente da…..


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