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Estrazione Casuale palline. Urna con 3 palline rosse R1, R2, R3 e 2 azzurre A1, A2 si estrae una pallina, la si rimette nellurna, si estrae una seconda.

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1 Estrazione Casuale palline

2 Urna con 3 palline rosse R1, R2, R3 e 2 azzurre A1, A2 si estrae una pallina, la si rimette nellurna, si estrae una seconda pallina Spazio campioni S = [R1, R2, R3, A1, A2]Eventi = 25 Cfr.prossima 1^ estratta, reinserita 2^ estratta: registrate secondo ordine estrazione

3 [R1, R2, R3, A1, A2] Eventi = 25 P(nessuna azzurra)=9/25 P(solo 1 pallina azzurra)= 12/25 P(con due palline azzurre)=4/25 R1 R2 R3 A1 A2

4 S= [R, V, A] P1r(2/6 = 1/3 P1v(2/6 = 1/3) P1a(2/6 = 1/3) Prima pallina estratta Seconda pallina estratta Urna con palline : 2 rosse, 2 verdi, 2 azzurre P2r(1/5) P2r(2(5)P2r(2/5) P2a(2/5) P2a(1/5) P2v(2/5) P2v(1/5) Probabilità uscita prima pallina P1, seconda pallina P2

5 Urna con 3 palline rosse e due azzurre r1r2r3a1a2 Si estrae una prima pallina, non si reinserisce; si estrae una seconda pallina dalle 4 rimanenti Numero campioni 5*4 = 20 Prima pallina Seconda pallina P(nessuna azzurra)=6 P(una azzurra) = 12 P(con 2 azzurre) = 2 Determinare alcune probabilità

6 Unurna contiene 4 palline numerate da 1 a 4: 1-2 azzurre, 3-4 rosse vengono estratte insieme due palline numero oggetti ?n Probabilità che escano due rosse ? Pr probabilità che escano due con lo stesso colore ? Ps probabilità che escano due con colore diverso ? Pd n = 6 Pr = 1/6 34 Ps =2/6 = 1/ Pd = 4/6 = 2/

7 Unurna contiene 4 palline numerate da 1 a 4: 1-2 azzurre, 3-4 rosse vengono estratte insieme due palline numero oggetti ?n Probabilità che escano due colori diversi con una pari e una dispari ? Pdpd probabilità che escano due con lo stesso colore,pari? Psp probabilità che escano due con colore diverso,pari o dispari? Pdppdd n = Pdpd = 2/6 = 1/3 Psp = 0 /6 = 0Pdppdd = 2/6 = 1/

8 Contenitore con 10 palline( non visibili): 5 rosse e 5 azzurre Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ? PR = nRosse / nTotale PA= nAzzurre/nTotale 5 / 10 = ½ = 0.5 Probabilità X = eventi favorevole a X / eventi totali possibili (X + Y) Eventi favorevoli a X (rossa= = 5 eventi favorevoli a Y (azzurra=5) eventi totali = 10

9 Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ? PR = nRosse / nTotale PA= nAzzurre/nTotale 2 / 10 = 1/5 = / 10 = 4/5 = 0.8

10 Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ? PR = nRosse / nTotale PA= nAzzurre/nTotale 2 / 10 = 1/5 = / 10 = 4/5 = 0.8

11 Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurreContenitore 2 : 5 rosse, 2 azzurre Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per avere la più grande probabilità che sia rossa ? PR= 3/7 = 0.43 PA = 4/7 = 0.57 PR= 5/7 = 0.71 PA= 2/7 = 0.29 Si osserva evidentemente che conviene estrarre da C2

12 Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurreContenitore 2 : 5 rosse, 6 azzurre Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per avere la più grande probabilità che sia rossa ? PR= 3/7 = 0.43 PA = 4/7 = 0.57 PR= 5/11 = 0.45 PA= 6/11 = 0.55 Si osserva che, anche se con piccola differenza, conviene estrarre da C2

13 In un contenitore, opaco, ci sono 10 monete: sette da 100 lire, due da 50 lire, una da 20 lire È sempre certa la estrazione di una moneta è decrescente la probabilità di estrarre una determinata moneta P100 > P 50 > P20 manca la possibilità che venga estratta una moneta diversa da 100, 50, 20 PC = 10/10 = 1 massima probabilità P100 = 7/10 = 0.7 P50 = 2/10 = 0.2 P20 = Px = 0/10 = 0

14 Una urna contiene 3000 sferette, rosse e azzurre: come determinare in modo approssimato il numero di sferette rosse e azzurre ? Si estraggono, una alla volta 120 sferette e si rimettono ogni volta nellurna: risultano 85 rosse e 35 azzurre:la frequenza calcolata fornisce Fr = 85 /120 = 17/24 Fa = 35/120 = 7/24 17 rosse / 24 sferette = xRosse / 3000 sferette : x = 17 * 3000 / 24 = azzurre / 24 sferette = xAzzurre / 3000 sferette : x= 7 *3000 / 24 = 875 O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875 Legge empirica del caso

15 14 R 14 V 14 M 14 A 1 R 1 V 1 A 1 M pR = 14 / 56 = 0.25 pA = 14 / 56 = 0.25 pV = 14 / 56 = 0.25 pM = 14 / 56 = 0.25 pR = pV = pA = pM = 0.25 Probabilità oggettiva di uscita uguale per ogni colore S= 56 S = 4 Probabilità di uscita di colore specifico su richiesta, rapida: da quale urna sembra più facile ottenere il risultato ? S 56 o S 4 ?

16 Urna contenente 25 palline verdi, 5 rosse, 30 blu: S =60 Estrazione una pallina :calcola probabilità uscita rossa, verde, blu E1 = rossa (5) p(E1) = 5 / 60 = 1 /12 E2 = verde ( 25) p(E2) = 25 / 60 = 5 / 12 E3 = blu (30) p(E3) = 30 / 60 = 1 / 2

17 Urna con 15 palline R, 7 V, 8 B : S = 30 S = 30 E1 = uscita rossa p(E1)= 15 / 30 = 1/2 E2 = uscita verde p(E2)= 7 / 30 = 7/30 E3 = uscita blu p(E3)= 8 / 30 = 4/15 Estrazione una pallina: calcolare probabilità che sia rossa, verde, blu

18 Una moneta lanciata 3 volte : esiti possibili per ogni lancio (T,C) Esiti possibili con tre lanci (8) TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC E1 = uscita solo di 2 teste (TTC, TCT, CTT) = 3 P(E1)= 3 / 8 Calcola probabilità di uscita di solo 2 teste E1 = Dn,k =n^k = 2^3 =8 Disposizioni con ripetizione TTC,TCT,CTT

19 Urna con 15 palline Verdi, 7 rosse, 8 blu : S = 30 E1 = esce verde o blu (15,8) p(verde) = 15/30 P(blu) = 8 /30 p(V U B) = p(V) + p(B) = 15/30 + 8/30 = 23 / 30 E2 = esce rossa o blu (7,8) P(rossa) = 7 / 30 P(blu) = 8 / 30 p(R U B) = p(R) + p(B) = 7/30 + 8/30 =1 / 2 Estrazione di una pallina calcolare probabilità uscita verde o blu,rossa o blu

20 Urna con x palline B, 2 palline nere, 3 palline rosse Estrazione contemporanea di 2 palline p1 : 2 nere p2 : nessuna bianca p3 : 2 colore diverso S = x + 5 N = Cs,2 = (x+5)(x+5-1)/2 = (x+5)(x+4)/2 estrazioni possibili di 2 palline= combinazioni s oggetti classe 2 p1 = 1 / N = 1 / (x+5)(x+4)/2 = 2 /(x+5)(x+4) C5,2 = 5*4/2 = 10p2 = 10/N = 20/ (x+5)(x+4) p.282 rosa

21 Urna con palline : 16 Blu, 9 Rosse,5 Verdi : S = 30 Eventi possibili con la estrazione contemporanea di 2 palline : gruppi di 2 palline che si possono formare con 30 palline prese 2 per volta, con la condizione che ogni gruppo sia diverso dagli altri per almeno 1 pallina combinazioni con n oggetti e classe 2 : Cn,k = C30,2 C30,2 = 30*29/2 = 435 E1 = due palline bluE2 = due palline verdiE3 = palline rossa e blu Calcolare la probabilità di uscita, due blu, due verdi, rossa e blu Estrazione contemporanea di due palline E1 = numero combinazioni con n=16 classe 2 : C16,2 = 16*15/2 = 120 E2 = numero combinazioni con n=5 classe 2 : C5,2 = 5*4/2 = 10 E3 = 16 B associandosi a 9 R possono formare 16*9 = 144 coppie RB p(E1) = 120 / 435 = 8/29 p(E2) = 10 / 435 = 2 / 87 p(E3) = 144 / 435 = 48 / 145 Vedi diapositive seguenti per descrizione mediante immagini

22 Urna con palline : 16 Blu, 9 Rosse,5 Verdi : S = Immaginare di numerare le palline da 1 a 16 Associare ogni numero a tutti gli altri numeri (16*16 = 256) associazioni escludere associazioni che usano gli stessi numeri,cambiando solo ordine escludere coppie con numeri uguali associati (16) coppie valide con almeno un numero diverso tra loro = 256 – 136 = Con stesso numero:escludere Solo ordine diverso:duplicati prendere solo una coppia

23 >> 1…16(15) >> 2….16(14) >> 3…16(13) >> 4…16(12) >> 5…16(11) >> 6…16(10) >> 7…16(9) >> 8…16(8) >> 9…16(7) >> 10…16(6) >>11…16(5) >> 12…16(4) >> 13…16(3) >> 14…16(2) >> 15…16(1) >> (0) Escludere coppie tra stesso numero= 16 Escludere coppie con stessi numeri duplicate Contare coppie valide Coppie totali 16*16 = – 136 = 120 valide

24 = = 120 valide Coppie non duplicate 136 – 16 identiche = 120

25 >> 1 ….5 (4) >> 3…..5 (2) >> 1 …5 (1) >> 1…5 ( 0) >> 2 …5 (3) Doppiette valide = 10 Escludere doppiette con stessi numeri o diverse solo per ordine

26 Numerare palline blu da 1 a 16 e palline rosse da 1 a 9 Ogni pallina blu può formare associazione con ogni pallina rossa ,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 (16 B) * (9 R) = 144 BR

27 488/52 Urna contenente 8 cubetti uguali numerati da 1 a Estrazione contemporanea di due cubetti E1 = somma 2 numeri risulta pari E2 = somma 2 numeri risulta dispari Calcolare p(E1), p(E2)Eventi possibili Cn,k = C 8,2 = 8*7/2 = 28 E1 = 12 p(E1) = 12 / 28 = 3 / 7 E2 = 16 p(E2) = 16 /28 = 4 /

28 488/53 Urna contenente 6 palline rosse e 4 blu E1 = uscita 2 rosse E2 = uscita 2 blu E3 = uscita rossa, blu Estrazione contemporanea di 2 palline Calcolare probabilità p(E1), p(E2), p(E3) S = 10 Eventi possibili, Cn,k = C 10,2 = 10*9 / 2 = 45 E1 = Cn,k = C6,2 = 6*5/1 15 E2 = Cn,k = C4,2 = 4*3/2 = 6 E3 = 6*4 = 24 p(E1)= 15/45 = 3/15 p(E2) = 6 / 45 = 2/15 p(E3) = 24/45 = 8 /15 R1-B1 R1-B2 R1-B3 R1-B4 R2-B1 R2-B2 R2-B3 R2-B4 R3-B1 R3-B2 R3-B3 R3-B4 R4-B1 R4-B2 R4-B3 R4-B4 R5-B1 R5-B2 R5-B3 R5-B4 R6-B1 R6-B2 R6-B3 R6-B4 Cfr. diapositiva seguente

29 10*10 = 100 …C10,2 = 10*9/2 = 45 rosa53

30 r1r2r3r4r5r6 r1r1r1r2r1r3r1r4r1r5r1r6r1 r2r1r2r2r2r3r2r4r2r5r2r6r2 r3r1r3r2r3r3r3r4r3r5r3r6r3 r4r1r4r2r4r3r4r4r4r5r4r6r4 r5r1r5r2r5r3r5r4r5r5r5r6r5 r6r1r6r2r6r3r6r4r6r5r6r6r6 C6,2 = 6*5/2 = 15 coppie diverse 36 coppie 6*6 6 da ignorare (stessi numeri) 15 da ignorare(duplicati) cambia solo ordinamento

31 B1B2B3B4 R1R1B1R1B2R1B3R1B4 R2R2B1R2B2R2B3R2B4 R3R3B1R3B2R3B3R3B4 R4R4B1R4B2R4B3R4B4 R5R5B1R5B2R5B3R5B4 R6R6B1R6B2R6B3R6B4 6 * 4 = 24 coppie tra loro diverse

32 B1B2B3B4 B1B1B1B2B1B3B1B4B1 B2B1B2B2B2B3B2B4B2 B3B1B3B2B3B3B3B4B3 B4B1B4B2B4B3B4B4B4 C4,2 =4*3/2 = 6 4*4 = 16 coppie : 4 da ignorare ( stessi numeri) 6 coppie da ignorare (duplicati), cambia solo ordinamento

33 Eventi indipendenti : due eventi sono indipendenti se la probabilità di ciascuno non dipende dal verificarsi o meno dellaltro Si estrae prima pallina, si rimette nellurna, si estrae seconda pallina R1 = prima pallina estratta:rossa V2 = seconda pallina estratta :verde pE = probabilità che la prima pallina sia rossa, seconda verde E = R1V2 pR1 = 3 / 5 S = 5 palline : 3 rosse e 2 verdi pV2 = 2 /5 pE = p( R1V2) = pR1*pV2 P ( A B ) = pA * pB Due eventi sono indipendenti solo se vale la relazione precedente 3/5 * 2/5 = 6 /25

34 Esempio di estrazione senza rimettere nellurna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità Eventi interdipendenti

35 Esempio di estrazione senza rimettere nellurna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggiore probabilità Eventi interdipendenti

36 Esempio di estrazione con reinserimento nellurna osservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito loggetto estratto Eventi indipendenti

37 Eventi dipendenti : due eventi sono dipendenti se la probabilità di uno dipende dal verificarsi o meno dellaltro Si estrae prima pallina, non rimette nellurna, si estrae seconda pallina R1 = prima pallina estratta:rossa V2 = seconda pallina estratta :verde pE = probabilità che la prima pallina sia rossa, seconda verde E = R1V2 pR1 = 3 / 5 S = 5 palline : 3 rosse e 2 verdi pV2 = 2 /4 = 1/2 pV2 = 2 /5 La probabilità che esca pallina verde aumenta da 2/5 a ½ per effetto del verificarsi delluscita della rossa: cambia S (da 5 a 4)

38 Probabilità condizionata U con S = 10 :8 R 2 V C = esce rossa pC = 4/10 = 0.8 D = esce verde pD = 2/10 = 0.2 E : uscita come seconda pallina V 1 uscita S=9 : R=7 V=2 2 uscita 1 uscita pD = 2/9 = 0.22 pD = 1/9 = 0.11 Se esce prima rossa, esce come seconda una verde con p=0.22 > 0.20 Se esce prima verde, esce come seconda una verde con p=0.11 < 0.20 Situazione iniziale Probabilità evento D,uscita verde come seconda, risente del verificarsi delluscita della prima pallina:cambia sempre la sua probabilità

39 S = 5 :R 3, V 2 E1 = prima pallina rossa: pE1 =15/25=3/5 E2 = seconda pallina verde:pE2 =10/25=2/5 Si estrae prima pallina e poi si reimmette eventi E1, E2 indipendenti : S = costante Probabilità di intersezione p(R V) = pR * PV E = (R V) :prima rossa, seconda verde : 6/25 (3/5)*(2/5)= 6/25 Eventi indipendenti

40 S = 4 :R 2, V 2 Si estrae prima pallina e non si reimmette eventi R1, V2 dipendenti :S variabile R1 = prima pallina rossa: pR1 =12/20=3/5 V2 = seconda pallina verde: 10/20=1/2 E = (R V) :prima R, seconda V : 6/20=3/10 (3/5)*(1/2)=3/10 p(V2 | R1) = 10/20 = 1/2 p(R1 V2) = pR1 * p(V2|R1) La probabilità (composta) della intersezione di due eventi correlati è uguale al prodotto della probabilità di un evento per la probabilità dellaltro evento correlato (condizionato ) al primo

41 Probabilità composta:segue Urna con 10 oggetti, tre deteriorati :S = 10 E estrazione casuale di 2 oggetti trovare probabilità che siano entrambi normali pA = 7/10 i :se vero condiziona risultato : pB = (B|A) = 6/9 = 2/3 p(B A)=pA*p(B|A)=(7/10)*(2/3)=14/30 =7/15

42 Esempio di estrazione senza rimettere nellurna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità

43 Esempio di estrazione senza rimettere nellurna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggiore probabilità

44 Esempio di estrazione con reinserimento nellurna osservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito loggetto estratto

45 Eventi indipendenti Urna 1 con 20 palline, 5 rosse urna 2 con 30 palline, 6 rosse Si estrae una pallina da U1 e poi una da U2 E1 = esce R da U1 con pE1 = 5/20 E2 = esce R da U2 con pE2 = 6/30 E = escono due palline R, da U1 e da U2 con pE = 5*6 / 600 = 1/20 Luscita di R da U2 non dipende dalluscita di R da U1 E = E1 E2 con p(E) = p(E1 E2) = (5/20)*(6/30) =1/20= pE1*pE2 La probabilità dellevento E risulta uguale al prodotto delle probabilità degli eventi E1 e E2 : quindi i due eventi E1 e E2 sono indipendenti U1U rosse su 600 palline Cfr.seguente per immagini

46 Ogni pallina rossa di U1 (1,2,3,4,5) può essere associata ad ogni pallina rossa di U2 (1,2,3,4,5,6) Levento uscita pallina rossa = 5*6 = 30 i casi possibili sono dati dalla associazione di ogni pallina di U1 (20) con ogni pallina di U2 (30) = 20*30= 600 La probabilità dellevento E (2 rosse) p(e) = 30/600 = 1 / 20

47 Urna U con 5 palline rosse e 3 verdi E : estrazione 2 palline rosse con due estrazioni successive e con reinserimento in U della prima pallina estratta E1 = esce pallina rossa con p(E1) = 5/8 E2 = esce pallina rossa con p(E2)= 5/8 P(E) = p(E1 E2) = (5/8)*(5/8) = 25/64 U 5/8 U 4 / 7 E1 e E2 indipendenti E1 E2 Eventi indipendenti, non correlati

48 Urna U 30 palline (S) : 10 palline verdi e 20 palline rosse Estrazione in sequenza di 3 palline, con reinserimento nellurna delle palline estratte E : E1 rossa, E2 rossa, E3 verde E1 = 20/30 con p(E1) = 2/3 E2 = 20/30 con p(E2) = 2/3 E3 = 10/30 con p(E3) = 1/3 E1,E2,E3 indipendenti perché rimane costante S U con S = 30 P(E) = p(E1 E2 E3 ) = (2/3)*(2/3)*(1/3) = 4/27 Eventi indipendenti, non correlati

49 U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi E1 = con una estrazione,esce pallina rossa con p(E1) = 5/20 = 1/4 E1 evento indipendente E2 = la seconda pallina è rossa p(E2) = 5/20 = ¼ (non cambia S, indipendente) E1 = prima pallina estratta, rossa o verde: reinserita Due estrazioni successive con reinserimento Unica estrazione E1 e E2 eventi non correlati, indipendenti Eventi indipendenti, non correlati

50 U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi Due estrazioni successive senza reinserimento E2 = seconda pallina rossa 4/19 con p(E2) = 4/19 < 1/4 E1 = prima pallina rossa 5/20 4/ 195/20 P(E2) ridotta per il verificarsi di E1 precedente :E2 e E1 correlati : p(E2 /E1) E2 correlato negativamente a E1, perché risulta sfavorito 4/19 < 1/4 E1 = prima pallina verde E2 = seconda pallina rossa 5/19 con p(E2) = 5/19 > 1/4 5/19 P(E2) aumentata per il verificarsi di E1 precedente E2 e E1 correlati p(E2/E1) E2 correlato positivamente a E1, perché risulta favorito 5/19 > 1/4 Eventi dipendenti, correlati

51 Probabilità condizionata U con S = 10 :8 R 2 V C = esce rossa pC = 4/10 = 0.8 D = esce verde pD = 2/10 = 0.2 E : uscita come seconda pallina V 1 uscita S=9 : R=7 V=2 2 uscita 1 uscita pD = 2/9 = 0.22 pD = 1/9 = 0.11 Se esce prima rossa, esce come seconda una verde con p=0.22 > 0.20 Se esce prima verde, esce come seconda una verde con p=0.11 < 0.20 Situazione iniziale Probabilità evento D,uscita verde come seconda, risente del verificarsi delluscita della prima pallina:cambia sempre la sua probabilità

52 Probabilità condizionata:segue Se C evento condizionante e D evento condizionato da C avremo notazione : pD = p(D|C) probabilità che si verifichi evento D condizionato da C C e D risultano interdipendenti, correlati se pD viene ridotta: correlazione negativa se pD viene aumentata : correlazione positiva Probabilità composta : la probabilità della intersezione di due eventi è uguale al prodotto della probabilità di uno di essi per la probabilità dellaltro condizionata al primo P (A B) = pA * p(B | A) P (B A) = pB * p(A | B)

53 S = 5 :R 3, V 2 E1 = prima pallina rossa: pE1 =15/25=3/5 E2 = seconda pallina verde:pE2 =10/25=2/5 Si estrae prima pallina e poi si reimmette eventi E1, E2 indipendenti : S = costante Probabilità di intersezione p(R V) = pR * PV E = (R V) :prima rossa, seconda verde : 6/25 (3/5)*(2/5)= 6/25 Eventi indipendenti

54 S = 4 :R 2, V 2 Si estrae prima pallina e non si reimmette eventi R1, V2 dipendenti :S variabile R1 = prima pallina rossa: pR1 =12/20=3/5 V2 = seconda pallina verde: 10/20=1/2 E = (R V) :prima R, seconda V : 6/20=3/10 (3/5)*(1/2)=3/10 p(V2 | R1) = 10/20 = 1/2 p(R1 V2) = pR1 * p(V2|R1) La probabilità (composta) della intersezione di due eventi correlati è uguale al prodotto della probabilità di un evento per la probabilità dellaltro evento correlato (condizionato ) al primo

55 Probabilità composta:segue Urna con 10 oggetti, tre deteriorati :S = 10 E estrazione casuale di 2 oggetti trovare probabilità che siano entrambi normali pA = 7/10 i :se vero condiziona risultato : pB = (B|A) = 6/9 = 2/3 p(B A)=pA*p(B|A)=(7/10)*(2/3)=14/30 =7/15

56 Esempio di estrazione senza rimettere nellurna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità

57 Esempio di estrazione senza rimettere nellurna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggiore probabilità

58 Esempio di estrazione con reinserimento nellurna osservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito loggetto estratto

59 Eventi indipendenti Urna 1 con 20 palline, 5 rosse urna 2 con 30 palline, 6 rosse Si estrae una pallina da U1 e poi una da U2 E1 = esce R da U1 con pE1 = 5/20 E2 = esce R da U2 con pE2 = 6/30 E = escono due palline R, da U1 e da U2 con pE = 5*6 / 600 = 1/20 Luscita di R da U2 non dipende dalluscita di R da U1 E = E1 E2 con p(E) = p(E1 E2) = (5/20)*(6/30) =1/20= pE1*pE2 La probabilità dellevento E risulta uguale al prodotto delle probabilità degli eventi E1 e E2 : quindi i due eventi E1 e E2 sono indipendenti U1U rosse su 600 palline Cfr.seguente per immagini

60 Ogni pallina rossa di U1 (1,2,3,4,5) può essere associata ad ogni pallina rossa di U2 (1,2,3,4,5,6) Levento uscita pallina rossa = 5*6 = 30 i casi possibili sono dati dalla associazione di ogni pallina di U1 (20) con ogni pallina di U2 (30) = 20*30= 600 La probabilità dellevento E (2 rosse) p(e) = 30/600 = 1 / 20

61 Urna U con 5 palline rosse e 3 verdi E : estrazione 2 palline rosse con due estrazioni successive e con reinserimento in U della prima pallina estratta E1 = esce pallina rossa con p(E1) = 5/8 E2 = esce pallina rossa con p(E2)= 5/8 P(E) = p(E1 E2) = (5/8)*(5/8) = 25/64 U 5/8 U 4 / 7 E1 e E2 indipendenti E1 E2 Eventi indipendenti, non correlati

62 Urna U 30 palline (S) : 10 palline verdi e 20 palline rosse Estrazione in sequenza di 3 palline, con reinserimento nellurna delle palline estratte E : E1 rossa, E2 rossa, E3 verde E1 = 20/30 con p(E1) = 2/3 E2 = 20/30 con p(E2) = 2/3 E3 = 10/30 con p(E3) = 1/3 E1,E2,E3 indipendenti perché rimane costante S U con S = 30 P(E) = p(E1 E2 E3 ) = (2/3)*(2/3)*(1/3) = 4/27 Eventi indipendenti, non correlati

63 U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi E1 = con una estrazione,esce pallina rossa con p(E1) = 5/20 = 1/4 E1 evento indipendente E2 = la seconda pallina è rossa p(E2) = 5/20 = ¼ (non cambia S, indipendente) E1 = prima pallina estratta, rossa o verde: reinserita Due estrazioni successive con reinserimento Unica estrazione E1 e E2 eventi non correlati, indipendenti Eventi indipendenti, non correlati

64 U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi Due estrazioni successive senza reinserimento E2 = seconda pallina rossa 4/19 con p(E2) = 4/19 < 1/4 E1 = prima pallina rossa 5/20 4/ 195/20 P(E2) ridotta per il verificarsi di E1 precedente :E2 e E1 correlati : p(E2 /E1) E2 correlato negativamente a E1, perché risulta sfavorito 4/19 < 1/4 E1 = prima pallina verde E2 = seconda pallina rossa 5/19 con p(E2) = 5/19 > 1/4 5/19 P(E2) aumentata per il verificarsi di E1 precedente E2 e E1 correlati p(E2/E1) E2 correlato positivamente a E1, perché risulta favorito 5/19 > 1/4 Eventi dipendenti, correlati

65 Lancio di una moneta tre volte : spazio campionario S = Sm * Sm * Sm =(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni evento A : uscita consecutiva di 2 teste A = (TTT,TTC,CTT) evento B : uscita croce (3 lancio) B =(TTC,TCC,CTC,CCC) Evento C :uscita consecutiva di 2 teste e uscita croce al 3 lancio C = A U B (unione eventi): (TTT,TTC,CTT,TCC,CCC,CTC)

66 Una urna contiene 3000 sferette, rosse e azzurre: come determinare in modo approssimato il numero di sferette rosse e azzurre ? Si estraggono, una alla volta 120 sferette e si rimettono ogni volta nellurna: risultano 85 rosse e 35 azzurre:la frequenza calcolata fornisce Fr = 85 /120 = 17/24 Fa = 35/120 = 7/24 17 rosse / 24 sferette = xRosse / 3000 sferette : x = 17 * 3000 / 24 = azzurre / 24 sferette = xAzzurre / 3000 sferette : x= 7 *3000 / 24 = 875 O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875 Legge empirica del caso


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