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Variabili Casuali Quale che sia uno spazio campionario S è possibile definire una o più funzioni che associno ogni elemento di S a un elemento di. Consideriamo.

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1 Variabili Casuali Quale che sia uno spazio campionario S è possibile definire una o più funzioni che associno ogni elemento di S a un elemento di. Consideriamo ad esempio il lancio di 3 monete e consideriamo le funzioni X e così definite: X: s( S) x ( ) x=X(s)=n T -n c : s( S) x ( ) x= (s)=n T nc [T,T,T] [C,T,C] [T,C,T] [T,C,C] [C,C,C] [T,T,C] [C,T,T] [C,C,T] X (S) {-3,-1,1,3} = (S) {0,1,2} =

2 Variabili Casuali Variabile CasualeX Dato uno spazio campionario S, si definisce Variabile Casuale X su S qualsiasi funzione che abbia per dominio S e codominio. Definizione: X: S Se linsieme X(S) è finito la variabile casuale X si dice finita valorideterminazioni Gli elementi di X(S) sono detti valori o determinazioni [T,T,T] [C,T,C] [T,C,T] [T,C,C] [C,C,C] [T,T,C] [C,T,T] [C,C,T] X (S) {-3,-1,1,3} = (S) {0,-1,2} =

3 SPAZIOCAMIONARIO X(S) Variabile Casuale X [T,T,T] [C,T,C] [T,C,T] [T,C,C] [C,C,C] [T,T,C] [C,T,T] [C,C,T] X(T,T,T) X(T,C,C)

4 Variabili Casuali Sia X una VC su uno spazio campionario S e k un numero reale, allora anche le funzioni: X+k:(X+k)(s) = X(s) + k kX:(kX)(s) = k X(s) sono VC Teoremi: s S s S X: s( S) x ( ) x=X(s)=n T -n c : s( S) x ( ) x= (s)=n T nc

5 Variabili Casuali Siano X e due VC su uno spazio campionario S, allora anche le funzioni: X+ :(X + )(s) = X(s) + (s) X :(X )(s) = X(s) (s) sono VC Teoremi: s S X: s( S) x ( ) x=X(s)=n T -n c : s( S) x ( ) x= (s)=n T nc

6 La simbologia {X=a} è una forma sintetica per rappresentare levento che la variabile X assuma la deter- minazione a X: s( S) x ( )x=X(s)=n T -n c [TTT] [TTC] [TCT] [CTT] [TCC] [CTC] [CCT] [CCC] S X[TTT]=3 X[TTC]= X[TCT]= X[CTT]=1 X[TCC]= X[CTC]= X[CCT]=-1 X[CCC]=-3 {X(s)=a} {X=a} X(S) Variabile Casuale Notazione

7 {X=3} = evento che X assuma la determinazione 3= = { [TTT] } {X=1}= evento che X assuma la determinazione 1= = { [TTC], [TCT], [CTT] } {X=-1}= evento che X assuma la determinazione -1= = { [TCC], [CTC], [CCT] } {X=-3}= evento che X assuma la determinazione -3= = { [CCC] } Variabile Casuale Notazione X: s( S) x ( )x=X(s)=n T -n c X(S) [TTT] [TTC] [TCT] [CTT] [TCC] [CTC] [CCT] [CCC] S X[TTT]=3 X[TTC]= X[TCT]= X[CTT]=1 X[TCC]= X[CTC]= X[CCT]=-1 X[CCC]=-3 {X(s)=a} {X=a}

8 La probabilità dellevento che X assuma valore a si esprime con la simbologia P({X=a}) o più semplice- mente P( X=a ). P({X=3}) oppure P(X=3) Variabile Casuale Notazione 1 {X=3} = { [TTT] } P({X=3}) = 1/8 {X=1}= { [TTC], [TCT], [CTT] } P({X=1}) = 3/8 {X=-1}= { [TCC], [CTC], [CCT] } P({X=-1}) = 3/8 {X=-3}= { [CCC] } P({X=-3}) = 1/8

9 Funzione di distribuzione Sia X una vc su S, chiamiamo funzione di distri- buzione o funzione di probabilità di X la funzione f così definita: f: X(S) tale chef: x P( X=x ). Definizione: X(S) 1/8 3/8 1/8 f(3)= P(X=3)= 1/8 3/8 f(1)= P(X=1)= 3/8 3/8 f(-1)= P(X=-1)= 3/8 1/8 f(-3)= P(X=-3)= 1/8

10 Funzione di distribuzione Rappresentazione x i f(x i ) -31/8 -13/8 13/8 31/ X(S)1/8 3/8 1/8 f(3)= P(X=3)= 1/8 3/8 f(1)= P(X=1)= 3/8 3/8 f(-1)= P(X=-1)= 3/8 1/8 f(-3)= P(X=-3)= 1/ /8 1/8 Grafico a Barre X(S) f(X(S))

11 SPAZIOCAMIONARIOS X(S) Variabile Casuale X P(X=x) 1/8 3/8 Funzione di distribuzione f(x) = P(X=x) X(s) = n T -n c f(3)=f(-3)= 1/8 [T,T,T] [T,C,T] [C,T,C] [T,C,C] [C,C,C] [T,T,C] [C,T,T] [C,C,T]

12 Si possono avere 60 terne: 6 [BBV] e [GGV], 12 [BBG] e [GGB], 24 [BGV], si può creare lo spazio campionario NON equiprobabile S a cui applicare la vc X: Esempio:Da unurna contiene 5 palline (2 B, 2 G, 1 V) si estraggono contemporaneamente 3 palline. Determinare la funzione di distribuzione della variabile casuale X tale che: X: (n V,n G,n B ) n B + n G + n V (n V,n G,n B ) S 3 2 [BBV][GGV][BBG][GGB][BGV] S953 X(S) {X=9} = {[BBV],[BBG]} {X=5} = {[GGV],[GGB]} {X=3} = {[BGV]} f(9)=P(X=9)=P([BBV])+P([BBG])=18/60 f(5)=P(X=5)=P([GGV])+P([GGB] )=18/60 f(3)=P(X=3)=P([BGV])=24/60

13 Problema: Ugo alla lotteria europea ha vinto 5 volte 5 ECU, 4 volte 10 ECU e 1 volta 50 ECU. Quale è stata la vincità media?: Lespressione può essere riscritta evidenziando le frequenze relative ƒ: ƒ(5) =5/10; ƒ(10) =4/10;ƒ(50) =1/10; Possiamo allora scrivere che:

14 MEDIA DI UNA VARIABILE CASUALE Definizione: valor medio media Dato su uno spazio campionario S una vc X caratterizzata dalla funzione di distribuzione f, diremo valor medio o media di X, il numero reale: M(X) = =

15 MEDIA DI UNA VARIABILE CASUALE Teoremi Sia X una vc e k un numero reale, allora: (X+k)= (X)+k (k·X)= k · (X) Siano X e due vc su uno spazio campionario, allora: (X+ )= (X)+ ( )

16 VARIANZA DI UNA VARIABILE CASUALE Definizione: valor medio Data una vc X su S tc X(S)={x 1,...,x n } e la funzione di distribuzione f, diremo scarto del valor medio il numero reale: x i varianza Si dice varianza di una variabile casuale X, la media della variabile casuale [X ] 2 Var(X) = 2 =

17 VARIANZA DI UNA VARIABILE CASUALE Teoremi La vc X- ha valor medio nullo: M(X - M(X)) = 0 La varianza della vc X è espressa da: 2 = M(X 2 ) - 2

18 DEVIAZIONE STANDARD DI UNA VARIABILE CASUALE DI UNA VARIABILE CASUALE Definizione: deviazione standard scarto quadratico medio Si dice deviazione standard o scarto quadratico medio di una variabile casuale X, la radice quadrata della varianza:

19 DISUGUAGLIANZA DI TCHEBYCHEFF Permette di mettere in relazione i parametri (, ) di una distribuzione: Se X è una vc con media e sqm, allora dato k è valida la relazione: 2 = M(X 2 ) - 2


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