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Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 1 Stabilità dei sistemi Retroazionati G(s)H(s) - + G(s)

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Presentazione sul tema: "Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 1 Stabilità dei sistemi Retroazionati G(s)H(s) - + G(s)"— Transcript della presentazione:

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2 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 1 Stabilità dei sistemi Retroazionati G(s)H(s) - + G(s)

3 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 2 Sommario In questa lezione si tratteranno: La funzione di trasferimento dei sistemi retroazionati (di controllo) La funzione di trasferimento ad anello aperto Concetto di stabilità Condizioni di stabilità Criterio di stabilità di Bode I margini di fase e di ampiezza

4 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 3 La funzione di trasferimento di un sistema retroazionato (o anche a catena chiusa) è, comè noto: Premessa

5 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 4 Il prodotto che compare al denominatore della W(s) è la cosiddetta funzione di trasferimento ad anello aperto Premessa

6 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 5 Cosè la stabilità? La stabilità è un concetto basilare della fisica Tale concetto, pienamente applicabile nel caso dei sistemi di controllo in esame, si riferisce alla tendenza di un sistema a ritornare verso lo stato di equilibrio dal quale il sistema è stato allontanato con una perturbazione

7 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 6 Cosè la stabilità? stabilità perturbazione sistema

8 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 7 Cosè la stabilità? Naturalmente, le grandezze in gioco nella stabilità sono quelle che definiscono il sistema e cioè le variabili di stato oppure le uscite u(s) Inoltre, come risalta nellesempio che segue, la stabilità dipende anche dallentità delle perturbazioni (o sollecitazioni) Una perturbazione troppo grande può portare il sistema a stati instabili

9 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 8 Cosè la stabilità? instabilità perturbazione eccessiva

10 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 9 Cosè la stabilità? Si può allora così specificare la stabilità nello studio dei sistemi lineari invarianti (p. es. i sistemi di controllo): un sistema è stabile se, in conseguenza di una sollecitazione limitata, la sua risposta (variazione delluscita) è limitata (Bounded Input Bounded Output)

11 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 10 La stabilità di un sistema può essere verificata studiando la sua funzione di trasferimento W(s) Come si verifica la stabilità?

12 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 11 Lo studio della funzione di trasferimento W(s) di un sistema retroazionato è però pesante perché richiede lunghi calcoli matematici si operano somme, prodotti e divisioni con polinomi complessi di ordine qualsiasi! Come si verifica la stabilità?

13 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 12 Esiste un modo più semplice per studiare la stabilità di un sistema retroazionato? Fortunatamente sì! Come si verifica la stabilità?

14 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 13 Si studia la sola funzione di trasferimento ad anello aperto H(s)G(s) È sicuramente più semplice; non cè da fare minimi comuni multipli fra polinomi complessi Trovata la chiave! Come si verifica la stabilità?

15 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 14 Un sistema si dice stabile se a variazioni limitate dellingresso corrispondono variazioni limitate delluscita In altre parole se il sistema è in uno stato stabile e lo si perturba (senza esagerare!), luscita varierà in modo limitato La stabilità di un sistema retroazionato (di controllo) può essere verificata studiando la funzione di trasferimento ad anello aperto H(s)G(s) Riepilogo

16 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 15 Condizioni di stabilità Una condizione necessaria, ma non sufficiente, perché un sistema sia stabile è che i poli e gli zeri della sua funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)H(s) siano a parte reale non positiva Tali sistemi sono detti a sfasamento minimo La suddetta condizione si presenta molto frequentemente nella pratica dei sistemi di controllo

17 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 16 Condizioni di stabilità Se dunque siamo in presenza di un sistema a sfasamento minimo, si può considerare quale condizione di stabilità il criterio di stabilità ristretto di Nyquist o, più semplicemente, il cosiddetto criterio di stabilità di Bode che è una conseguenza diretta del suddetto criterio di Nyquist Il criterio di stabilità di Bode può essere enunciato come segue:

18 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 17 Criterio di stabilità di Bode Un sistema a sfasamento minimo è stabile se la funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)H(s), alla pulsazione di taglio t, ha una fase con valore assoluto minore di 180°

19 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 18 Cosè t ? t è la pulsazione (detta di crossover) per la quale il modulo del guadagno vale 1; tale valore equivale a 0 dB e quindi t è la pulsazione che si individua nellintersezione fra il diagramma di Bode del modulo e lasse delle pulsazioni

20 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 19 Cosè la pulsazione di crossover (o di taglio) t ? Questo è il valore di t |G(s)H(s)| E questa è la fase della G(s)H(s) alla pulsazione t

21 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 20 Condizioni di stabilità In realtà, il criterio di Bode individua condizioni di stabilità che spesso, nella pratica, sono insufficienti a garantire una adeguata stabilità dei sistemi di controllo Nella pratica è quindi utile introdurre due parametri che permettono una definizione più adeguata delle condizioni di stabilità di un sistema di controllo: il margine di fase il margine di ampiezza (o di guadagno)

22 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 21 Cosè il margine di fase? Il margine di fase può essere definito: m = 180° + ( t ) Il margine di fase è quindi un angolo che si ricava dalla somma di 180° più la fase della funzione di trasferimento ad anello aperto alla pulsazione di crossover Lindividuazione del margine di fase è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nellesempio che segue

23 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 22 Cosè il margine di fase? |G(s)H(s)| si trova ( t ) In corrispondenza di t che, in questo esempio, vale -135° Il margine di fase m dellesempio considerato, vale dunque 180°-135°=+45° -90° -180° -135° ( t ) m

24 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 23 Condizioni di stabilità Si può dire in definitiva che il sistema di controllo è sufficientemente stabile se il margine di fase è maggiore di 30° (m > 30°) Il sistema di controllo è, viceversa, instabile se il margine di fase è negativo (m < 0°)

25 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 24 Cosè il margine di ampiezza? Il margine di ampiezza può essere definito: m gdB = 0 - |G(s)H(s)| dB( =-180°) Il margine di ampiezza è, cioè, la differenza fra 0 ed il valore in dB del modulo della G(s)H(s) quando la fase della stessa funzione di trasferimento ad anello aperto è pari a -180° Lindividuazione del margine di ampiezza è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nellesempio che segue

26 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 25 Cosè il margine di ampiezza? |G(s)H(s)| 2. si rileva il modulo del guadagno in dB 1. In corrispondenza di = -180° 3. che, in questo esempio, è negativo Il margine di ampiezza m gdB dellesempio considerato, è dunque positivo -180° m gdB = 0-|G(s)H(s)| dB( =-180°)

27 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 26 Condizioni di stabilità Concludendo, si può dire che un sistema di controllo (retroazionato) a sfasamento minimo (cioè avente poli e zeri della F.d.T. ad anello aperto a parte reale non positiva) è stabile se i margini di fase m e di ampiezza m gdB sono entrambi positivi Per avere una adeguata stabilità bisogna però verificare che m sia maggiore di 30° e che m gdB sia maggiore di dB


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