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1 GEOMETRIA. 2 Come consultare lipertesto GEOMETRIA Benvenuti ! Per navigare e muoversi nellipertesto GEOMETRIA dovete semplicemente fare clic sui pulsanti.

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1 1 GEOMETRIA

2 2 Come consultare lipertesto GEOMETRIA Benvenuti ! Per navigare e muoversi nellipertesto GEOMETRIA dovete semplicemente fare clic sui pulsanti riportati sul lato destro. Vi riporta alla pagina iniziale Vi riporta a questa pagina con le indicazioni su come muoversi allinterno dellipertesto Vi posiziona sulla pagina precedente Vi posiziona sulla pagina successiva Vi posiziona sullultima pagina Vi riporta allultima diapositiva visualizzata Oppure Potete selezionare un link che vi rimanda alla pagina collegata Ricordate che il puntatore del mouse si trasforma in una piccola mano quando è posizionato su un link

3 3 GEOMETRIA INTUITIVARAZIONALE OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI Può essere Si basa su Parte da Definiti mediante

4 4 DALLA GEOMETRIA INTUITIVA ALLA GEOMETRIA RAZIONALE

5 5 Indice Gli elementi fondamentali della geometria euclidea Postulati e teoremi Punto Retta Piano Postulati riguardanti gli enti elementari Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari (semirette, segmenti, angoliGli obiettivi Comprendere il significato di dimostrazione Cogliere la differenza fra postulato e teorema Approfondire la conoscenza degli enti geometrici fondamentali Operare con segmenti ed angoli I contenuti

6 6 Di che cosa tratta la geometria Il termine geometria deriva dal greco (ghe: terra, e metron: misura) e significa «misura della Terra». Già gli antichi egiziani erano abili nellarte di misurare la terra, perché costretti a ripristinare ai vari proprietari i confini dei terreni periodicamente invasi dalle inondazioni del Nilo. Le conoscenze geometriche egiziane, di natura tipicamente pratica, furono portate in Grecia da Talete di Mileto ( a. C.) e servirono agli antichi greci per creare quella branca della matematica che ancora oggi si chiama Geometria. Rimane però il fatto che luomo è stato spontaneamente portato a creare questa scienza, osservando lambiente e astraendo dagli oggetti circostanti quelle proprietà (forma ed estensione) che non dipendono dalla sostanza di cui essi sono fatti.

7 7 I punti di partenza della geometria Gli enti primitivi della Geometria sono: PUNTO RETTA PIANO

8 8 Gli elementi fondamentali della geometria Gli enti fondamentali della geometria sono: il punto, la retta, il piano dei quali non è data definizione: la loro natura risulta però determinata da particolari affermazioni che sono chiamati assiomi o postulati. punto, retta, pianoassiomipostulatipunto, retta, pianoassiomipostulati (Sui postulati o assiomi non si discute: li si considera veri!!!) Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure geometriche Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure geometriche.

9 9 PUNTO PUNTO Se poggiate la punta di una matita su un foglio di carta la traccia lasciata dalla matita vi dà lidea approssimativa di un punto. Il punto geometrico lo dovete però pensare senza dimensioni; esso indica soltanto una posizione. Per distinguere un punto dallaltro, si pone accanto a ciascuno di essi la lettera maiuscola dellalfabeto; diremo perciò: punto A, punto B, ecc. A B C D

10 10 RETTA RETTA Un filo molto sottile, teso per i due estremi, dà limmagine concreta di una retta. A differenza di questa, la retta geometrica si deve pensare illimitata e senza spessore. Su di una retta si possono segnare infiniti punti Per distinguere una retta dallaltra si pone accanto a ciascuna di esse Una lettera dellalfabeto minuscolo; si dirà: retta a, retta b, ecc. retta a

11 11 PIANO PIANO Un sottile foglio di carta, la superficie dellacqua stagnante di un lago, forniscono delle immagini concrete di un piano. Si tratta naturalmente di immagini molto approssimative perché il piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare come indefinitamente esteso in tutti i sensi I piani si indicano generalmente con le lettere dellalfabeto greco: α (alfa), β (beta), γ (gamma), ecc. α Piano α

12 12 Postulati riguardanti gli enti elementari Alla retta appartengono infiniti punti Al piano appartengono infinite rette e quindi infiniti punti Esistono infinite rette

13 13 Postulati riguardanti gli enti elementari P Per due punti distinti passa una sola retta A B Per un punto passano infinite rette (linsieme di tale rette è chiamato fascio poprio) A Una retta può essere percorsa in due versi, luno opposto allaltro La retta è illimitata e continua, vale a dire non ha fine né inizio; fra due suoi punti qualunque ne esistono infiniti altri e non ha buchi.

14 14 Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari Semiretta –Si dice semiretta semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta rimane divisa da un suo punto. A semiretta origine Segmento –Un segmento segmento è la parte di retta limitata da due suoi punti che si dicono estremi del segmento A B segmento estremi

15 15 Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari Segmenti consecutivi - Due segmenti aventi un estremo in comune si dicono consecutivi Segmenti adiacenti -Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi ed appartengono alla stessa retta A B A B C C

16 16 Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari B A C Una linea formata a più segmenti consecutivi prende il nome di linea spezzata Una spezzata può essere aperta, chiusa o intrecciata D E Spezzata aperta Spezzata chiusa Spezzata intrecciata

17 17 Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano da due semirette aventi lorigine in comune Angolo convesso Angolo concavo Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati

18 18 Angoli particolari Angolo PIATTO - Quando la semiretta OA ruota intorno ad O di mezzo giro, assume la posizione OB, diventa cioè opposta ad OA. In questo caso si dice che AÔB è un angolo piatto [un lato è il prolungamento dellaltro ( 180 °)] AO B Angolo piatto PIATTO:180°

19 19 Angoli particolari Angolo nullo - Se la semiretta OA rimane nella posizione iniziale coincidente con OB, cioè se ha una rotazione nulla, si dice che AÔB è un angolo nullo O A B Angolo GIRO - Se invece OA ruota di un giro completo intorno ad O, descrive tutto il piano. Si dice in tal caso che AÔB è un angolo giro [ i due lati sono sovrapposti (360°)] O A B Angolo giro GIRO: 360°

20 20 Angoli particolari Un angolo si dice RETTO se è la metà di un angolo piatto RETTO:90°

21 21 Angoli particolari Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto OTTUSO: > di 90° ACUTO: < di 90°

22 22 Angoli particolari Angoli CONSECUTIVI - Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune O A B C Lato comune

23 23 Angoli particolari Angoli ADIACENTI - Due angoli si dicono adiacenti se oltre ad essere consecutivi, hanno i lati non comuni appartenenti ad una stessa retta

24 24 Angoli particolari Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati delluno sono i prolungamenti dellaltro O

25 25 Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI

26 26 Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI

27 27 Concetti o enti primitivi Enti che non definiamo esplicitamente Assiomi o postulati Proprietà che supponiamo essere vere e che pertanto non dimostriamo Teoremi I teoremi sono proposizioni del tipo se… allora…. Le proposizioni che seguono il se sono le ipotesi del teorema, mentre quella che segue lallora è la tesi del teorema. La tesi deve essere derivata dalle ipotesi ragionando correttamente e avvalendosi dei postulati o delle conoscenze già consolidate, vale a dire dei risultati di altri teoremi.


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