Teoremi sulle funzioni derivabili 1. Definizione di massimo globale x0x0 f(x 0 ) Si dice massimo assoluto o globale di una funzione il più grande dei.

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1 Teoremi sulle funzioni derivabili 1

2 Definizione di massimo globale x0x0 f(x 0 ) Si dice massimo assoluto o globale di una funzione il più grande dei valori che essa assume. 2Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

3 Definizione di minimo globale Si dice minimo assoluto o globale di una funzione il più piccolo dei valori che essa assume. x0x0 f(x 0 ) 3Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

4 Definizione di massimo locale o relativo Sia f:D f →R. Si dice che x 0 è punto di massimo relativo o locale per la funzione f(x) se esiste un intorno I di x 0 tale che: massimo locale x0x0 I f(x 0 ) 4Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

5 Definizione di minimo locale o relativo Sia f:D f →R. Si dice che x 0 è punto di minimo relativo o locale per la funzione f(x) se esiste un intorno I di x 0 tale che: minimo locale x0x0 I 5Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

6 Teorema Nei punti di massimo e minimo locali di una funzione derivabile, interni al dominio, la derivata vale zero massimo locale x0x0 I(x 0 ) f(x 0 ) 6Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

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8 Osservazione Nel caso in cui il dominio D f fosse l’intervallo [a;b] e x 0 fosse uno degli estremi si potrebbe considerare solo il rapporto incrementale destro o sinistro e ciò non consentirebbe di concludere che in uno degli estremi la derivata vale zero x0x0 f(x 0 ) a 8Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

9 Significato geometrico del teorema x0x0 x1x1 ab Se x 0 è punto di massimo locale interno al dominio e in x 0 la funzione è derivabile, la retta tangente al grafico nel punto [x 0 ; f(x 0 )] è parallela all’asse x. Analogo discorso vale per il punto di minimo locale x 1 9Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

10 Osservazione Perché il punto interno x 0 sia di massimo o di minimo relativo la condizione f ’ (x 0 )=0 è necessaria ma non sufficiente. Si possono verificare situazioni in cui la retta tangente è orizzontale e il punto non è né di massimo né di minimo x0x0 x0x0 Flesso a tangente orizzontale discendente Flesso a tangente orizzontale ascendente 10Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

11 Teorema di Rolle Se una funzione è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a;b], e derivabile in ]a;b[ e assume valori uguali agli estremi: f(a)=f(b), esiste alme- no un punto c interno all’intervallo in cui la sua derivata si annulla: f ’ (c)=0 11Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

12 Dim. Essendo la funzione continua in [a;b] per il teorema di Weierstrass ammette minimo e massimo locali in [a;b]. Si possono presentare due eventualità: a bc M=m 12Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

13 c ab 13Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

14 Significato geometrico del teorema di Rolle Il grafico di una funzione continua e derivabile se agli estremi ha la stessa ordinata allora esiste almeno un punto del grafico in cui la retta tangente è parallela all’asse x a cdb f(a)=f(b) 14Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

15 Contro esempio a bc Le ipotesi del teorema di Rolle, in questo caso, non sono soddisfatte perché la funzione anche se è continua nell’intervallo [a;b] chiuso e limitato e agli estremi assume lo stesso valore nel punto c non è derivabile 15Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

16 Esempio 1 Verificare se la seguente funzione, nell’intervallo a fianco indicato, verifica le ipotesi del teorema di Rolle e determina i punti in cui la f’(x)=0 16Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

17 Esempio 2 Verificare se la seguente funzione, nell’intervallo a fianco indicato, verifica le ipotesi del teorema di Rolle e determina i punti in cui la f’(x)=0 1 2 1/2 1 0 17Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

18 Esempio 3 Determinare l’estremo b dell’intervallo indicato a fianco della seguente funzione in modo che si verifichino le ipotesi del teorema di Rolle e determina i punti in cui la f’(x)=0 18Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

19 Osservazione La condizione f(a)=f(b) non è verificata spesso. Considerando due funzioni f(x) e g(x) è possibile costruire loro combinazioni lineari che verifichino la condizione del teorema di Rolle 19Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

20 Teorema di Cauchy Siano f(x) e g(x) due funzioni continue nell’in- tervallo chiuso e limitato [a;b], derivabili in ]a;b[ e sia inoltre: g ’ (x)≠0 per ogni x di ]a;b[. Esiste, allora, almeno un punto x 0 di ]a;b[ tale che: 20Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

21 21Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

22 22Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

23 Osservazione Siano f(x) e g(x) due funzioni che in [a;b] soddisfino le ipotesi del teorema di Cauchy. Supponiamo inoltre che: f(a)=g(a) e f(b)=g(b). In tal caso: 23Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

24 Esempio 24Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

25 Teorema di Lagrange o del valor medio Se una funzione è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a;b], e derivabile in ]a;b[ esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che 25Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

26 Significato geometrico del teorema di Lagrange Il teorema di Lagrange assicura l’esistenza di almeno una retta tangente alla curva parallela alla retta congiungente i punti [a;f(a)] e [b;f(b)] c b a Tangente a c Secante y=f(x) f(a) f(b) 26Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

27 Se s=s(t) è l’equazione oraria di un moto rettili- neo, il valore della derivata s ’ (t 0 ) è la velocità all’istante t 0, mentre il rapporto Interpretazione cinematica del teorema di Lagrange è la velocità media nell’intervallo di tempo [t 1 ;t 2 ]. Il teorema di Lagrange assicura che in almeno un istante t 0 la velocità istantanea s ’ (t 0 ) è uguale alla velocità media. 27Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

28 c b a Velocità istantanea Velocità media y=f(x) Interpretazione cinematica del teorema di Lagrange 28Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

29 Esempio 4 Verificare se la seguente funzione, nell’intervallo a fianco indicato, verifica le ipotesi del teorema di Lagrange e determina i punti che verificano il teorema. 29Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

30 Esempio 5 Verificare se la seguente funzione, nell’intervallo a fianco indicato, verifica le ipotesi del teorema di Lagrange e determina i punti che verificano il teorema. 30Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

31 Corollario 1 del teorema di Lagrange Se una funzione f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a;b], e derivabile in ]a;b[ tale che: 31Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

32 32Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

33 Significato geometrico del Corollario 1 f ’ (x 1 )>0 → Il coefficiente angolare della retta tangente è positivo dove f è crescente poiché la retta forma un angolo acuto con l’asse x f ’ (x 2 )<0 → Il coefficiente angolare della retta tangente è negativo dove f è decrescente poiché la retta forma un angolo ottuso con l’asse x x2x2 x1x1 33Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

34 Per studiare la crescenza e la decrescenza di una funzione è sufficiente studiare il segno della sua derivata prima Osservazione 34Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

35 Esempio 6 Studiare la crescenza e la decrescenza della funzione 1 +-+ f’f’ f decrescentecrescente 35Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

36 Se una funzione continua in un intervallo I, con derivata nulla in ogni punto interno all’intervallo, essa è costante nell'intervallo I Dim. Presi due qualsivoglia punti x 1, x 2 di I, per il teorema di Lagrange applicato all’intervallo [x 1, x 2 ] esiste un punto c intero all’intervallo [x 1, x 2 ] per cui si ha: Corollario 2 del teorema di Lagrange 36Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

37 esempio La funzione y=2 è continua ed ha derivata prima sempre nulla y=2 37Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

38 Contro esempio La funzione ha derivata prima sempre nulla ma non essendo continua non è costante 1 2 1 38Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

39 Se due funzioni f(x) e g(x), continue in un intervallo I, hanno derivate uguali in tutti i punti di I, allora esse differiscono per una costante. Dim. Consideriamo la funzione F(x) = f(x) - g(x) F’(x) = f’(x) – g’(x)=0 per il corollario 2 F(x) è costante F(x)= k → f(x) - g(x)=k → f(x) = g(x)+k Corollario 3 del teorema di Lagrange 39Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

40 Significato geometrico del Corollario 3 y = g(x) y = f(x) = g(x)+k Se i grafici f(x) e g(x) sono dotati per ogni x di tangenti parallele essi si ottengono l’uno dall’altro mediante traslazione lungo l’asse y 40Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

41 Teorema di De l’Hôpital(f.i. 0/0) 41Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

42 Esempio 7 42Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

43 Esempio 8 43Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

44 Esempio 9 44Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

45 Teorema di De l’Hôpital (f.i. ∞/ ∞) 45Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

46 I teoremi di De l’Hôpital precedenti valgono anche nel caso in cui le forme indeterminate 0/0 ∞/∞ si presentano relativamente al limite destro o sinistro in x 0. Inoltre valgono anche nel caso in cui x→+∞ oppure x→-∞ Osservazione 46Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

47 Osservazione 47Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

48 Esempio 10 48Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

49 Esempio 11 49Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

50 Un criterio sufficiente per la derivabilità Sia y = f(x) una funzione continua in un intorno I di x 0 e derivabile in ogni punto dell’intorno escluso al più x 0. Se esiste finito, per x→x 0, il limite di f’(x), allora la funzione f(x) è derivabile in x 0 e risulta: 50Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

51 Esempio 12 Verificare che la seguente funzione è derivabile in x=0 Verifichiamo, innanzitutto, che la funzione è continua in x=0 51Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

52 Calcoliamo, per x≠0, la funzione derivata Per il precedente teorema la funzione f(x) è derivabile in x 0 e risulta: f’(x)=0 52Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

53 Esempio 13 Stabilire se la seguente funzione è o non è derivabile in x=2 La funzione data è continua in x=2 ma non è derivabile perché i limiti destro e sinistro della derivata sono diversi 53Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

54 Esempio 14 Verificare se è derivabile in x=0 la funzione Verifichiamo, innanzitutto, che la funzione è continua in x=0 54Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

55 Calcoliamo, per x≠0, la funzione derivata Il precedente teorema non è applicabile perché le ipotesi non sono verificate. Per stabilire la derivabilità occorre neces- sariamente ricorrere alla definizione di derivata, cioè al limite del rapporto incrementale Si conclude che f(x) è derivabile in x=0 ed è f’(x)=0 55Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

56 Limite notevole 56Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

57 Limite notevole 57Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

58 58Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

59 Limite notevole 59Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

60 Esempio 15 60Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

61 Punti a tangente orizzontale I punti in cui si annulla la derivata prima si dicono punti stazionari o punti critici. In tali punti la retta tangente al grafico è parallela all’asse delle x. Per sapere se questi punti stazionari sono di massimo di minimo o di flesso per la curva si procede nel seguente modo: 61Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

62 Si studia il segno della derivata prima per determinare gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce. I punti di massimo sono quelli tale che f'(x i )=0 mentre f'(x)>0 a sinistra di x i e f'(x)<0 a destra; I punti di minimo sono quelli tale che f'(x i )=0 con f'(x) 0 a destra. Invece se la derivata nell'intorno di tali punti non cambia di segno, questi non sono né di massimo né di minimo ma di flesso. 62Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

63 Primo caso x0x0 +- f’f’ f decrescente crescente x 0 è punto di minimo relativo 63Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

64 MINIMO RELATIVO x0x0 f’(x 0 )=0 f’(x 0 )>0f’(x 0 )<0 64Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

65 Secondo caso x0x0 -+ f’f’ f decrescentecrescente x 0 è punto di massimo relativo 65Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

66 MASSIMO RELATIVO x0x0 f’(x 0 )=0 f’(x 0 )>0f’(x 0 )<0 66Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

67 Terzo caso x0x0 --f’f’ f decrescente x 0 è punto di flesso a tangente discendente 67Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

68 Flesso a tangente orizzontale discendente x0x0 f(x 0 ) P 0 ( x 0 ; f(x 0 )) 68Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

69 Quarto caso x0x0 ++ f’f’ f crescente x 0 è punto di flesso a tangente ascendente 69Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

70 Flesso a tangente orizzontale ascendente f(x 0 ) P 0 ( x 0 ; f(x 0 )) x0x0 70Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

71 Esempio 16 71Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

72 12 decrescente crescente 8/5 (x-1) 2 ≥0 8-5x≥0 2-x≥0 + + + - crescente 0 0 0 72Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

73 Uso delle derivate successive Consideriamo ora alcuni teoremi relativi alle informazioni che possiamo ottenere sull’andamento di una funzione dall’esame delle sue derivate successive 73Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

74 Teorema 74Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

75 Interpretazione geometrica del teorema x0x0 f’(x 0 )>0f’(x 0 )<0 f’(x 0 )=0 75Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

76 Interpretazione geometrica del teorema x0x0 f’(x 0 )>0f’(x0)<0 f’(x0)=0 76Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

77 Esempio 17 77Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

78 Osservazione Il teorema precedente non consente di decide- re la natura del punto x 0 nel caso in cui anche la derivata seconda sia nulla. Lo consente il seguente teorema 78Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

79 Teorema 79Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

80 Esempio 18 80Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

81 Esempio 19 0 81Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

82 Esempio 20 0 82Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

83 Osservazione sui massimi e minimi locali I metodi dello studio del segno della derivata prima e quello dell’uso delle derivate successive si riferiscono a funzioni derivabili in tutti i punti di un intervallo ]a;b[. Nel caso in cui le funzioni non siano derivabili in qualche punto di tale intervallo occorrerà considerare, nella ricerca dei punti di massimo o di minimo, oltre agli zeri della derivata prima anche tali punti di non derivabilità. 83Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

84 Esempio 20 1 + - f’f’ f crescentedecrescente ∞ 84Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

85 1 x=1 1 Il punto x=1 di minimo relativo è una cuspide 85Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

86 Concavità, convessità e flessi Il comportamento di una funzione derivabile può essere precisato descrivendo l’andamento del suo grafico rispetto alle proprie tangenti. Analizzeremo queste tre situazioni: 86Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

87 Prima situazione Su tutto l’intervallo (c, b], il grafico della funzione G f sta sopra tutte le tangenti : f è convessa su (c, b] b c 87Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

88 Seconda situazione Su tutto l’intervallo (c, b], il grafico della funzione G f sta sotto tutte le tangenti : f è concava su (c, b] b c 88Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

89 terza situazione nel punto c, Gf attraversa la tangente: f ha un flesso in c b c Punto di flesso 89Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

90 Definizione di convessità 90Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

91 x0x0 P 0 (x 0 ;f(x 0 )) t: y = f(x 0 )+f’(x 0 )(x-x 0 ) f(x 0 ) 91Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

92 Definizione di concavità 92Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

93 x0x0 P 0 (x 0 ;f(x 0 )) t: y = f(x 0 )+f’(x 0 )(x-x 0 ) f(x 0 ) 93Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

94 Definizione di flesso 94Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

95 x0x0 P 0 [x 0 ;f(x 0 )] t: y = f(x 0 )+f’(x 0 )(x-x 0 ) f(x 0 ) 95Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

96 x0x0 P 0 [x 0 ;f(x 0 )] f(x 0 ) x0x0 P 0 [x 0 ;f(x 0 )] f(x 0 ) Il flesso è detto ascendente se la f(x) è concava a sinistra di P 0 e convessa a destra di P 0 Il flesso è detto discendente se la f(x) è convessa a sinistra di P 0 e concava a destra di P 0 96Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

97 Definizione di convessità e concavità in un intervallo 97Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

98 Vediamo ora come sia possibile collegare la derivata seconda di una funzione con la concavità o con la convessità o con eventuali punti di flesso 98Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

99 Teorema 99Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

100 Esempio 21 Data la funzione: y = xe -x determinare: a)i punti di massimo e di minimo relativo; b)b) gli intervalli di concavità e di convessità e gli eventuali punti di flesso; c)c) i limiti a ±∞ 100Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

101 101Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

102 1 2 Punto di massimo Punto di flesso 102Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013

103 Fine presentazione 103Teoremi sulle funzioni derivabili - IISS "Medi" Galatone - prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2012/2013