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1/7 DERIVATA DI UNA FUNZIONE Il problema da cui partiamo Concetti introduttivi Definizione di derivata Derivata destra, sinistra Significato geometrico.

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1 1/7 DERIVATA DI UNA FUNZIONE Il problema da cui partiamo Concetti introduttivi Definizione di derivata Derivata destra, sinistra Significato geometrico

2 Il problema da cui partiamo: la ricerca della retta TANGENTE al grafico di una funzione ?...ma non lo sappiamo già fare? =0 in quale contesto? In generale secante/tangentesecante/tangente 2/7

3 3/7 SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA O x 1 x 2 x y Promemoria: Il coefficiente angolare di una retta passante per i due punti P 1 (x 1,y 1 ) e P 2 (x 2,y 2 ) è : y1y1 y2y2.. P1P1 P2P2 Data una funzione f(x), il rapporto incrementale relativo al punto x 0 : y f(x 0 ) f(x 0 +h).. O x 0 x 0 +h x risulta essere il coefficiente angolare della retta passante per i punti: Questa retta la chiameremo retta secante passante per il punto di ascissa x 0 retta secante

4 4/7 O x y f(x 0 ) x0x0. h. h. h f(x 0 +h) x 0 +h. h Quando h 0 accade che: la retta secante tende l alla retta tangente analogamente a quanto accade al concetto di velocità media che diventa la velocità istantanea retta tangente. retta secante

5 5/7 CONCETTI INTRODUTTIVI Perché ci interessa il coefficiente angolare della retta tangente in un punto ad una curva? Perché è un numero che misura la variazione della f(x) in un intorno del punto, ovvero la rapidità con cui cresce o decresce la f(x) in un intorno di x 0. Lo chiamiamo DERIVATA di una funzione in un punto x 0 e lo indicheremo col simbolo f(x 0 ) La derivata risulta quindi essere legata alla PENDENZA del grafico della funzione in un intorno di x 0 : f(x) O x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x f (x). f (x 0 ) = 2.. f (x 2 ) = 0. f (x 3 ) = -1. f (x 4 ) = -2. f (x 5 ) = 0. f (x 6 ) = 4. f (x 1 ) = 1

6 6/7 DEFINIZIONE DI DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO O x y f(x 0 ) f(x 0 +h) x = h f Consideriamo una funzione f(x) definita in un intervallo ( a, b ) Sia x 0 un punto interno ad ( a, b ) e sia x 0 + h il punto ottenuto aggiungendo ad x 0 la quantità h Siano f = f(x 0 +h) – f(x 0 ) x = x 0 +h – x 0 = h Chiameremo infine rapporto incrementale relativo al punto x 0 e allincremento h il seguente rapporto: e le chiameremo rispettivamente incremento della funzione ( f ) e incremento della variabile ( x = h) ab. x0x0. x 0 +h

7 7/7 Definizione: derivata di y= f(x) in un punto Diremo derivata della f(x) nel punto x 0 il risultato del limite e lo indicheremo con uno qualunque dei simboli: f (x 0 ) y (x 0 ) derivata in simboli:

8 8/7 Definizione: funzione derivabile in un punto Una funzione si dice derivabile in un punto x 0 se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale della funzione quando lincremento h della variabile tende a zero, cioè se esiste ed è finito il seguente limite: Se il precedente limite non esiste, oppure non dà come risultato un numero finito, allora diremo che la funzione f(x) non è derivabile nel punto x 0

9 9/7 DERIVATA DESTRA E DERIVATA SINISTRA Certe volte, pur non esistendo il limite per h 0 del rapporto incrementale, possono esistere finiti il limite destro e/o il limite sinistro: Allora possiamo dare la seguente: Definizione: derivata destra e derivata sinistra Diremo derivata destra e derivata sinistra di f(x) in x 0, e le indicheremo con i simboli e i risultati, se esistono e sono finiti, dei seguenti limiti: Osservazione: Quando una funzione è derivabile in x 0 nel senso della definizione ordinaria allora esistono anche la derivata destra e quella sinistra e sono uguali fra loro

10 10/7 SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA O x 1 x 2 x y Promemoria: Il coefficiente angolare di una retta passante per i due punti P 1 (x 1,y 1 ) e P 2 (x 2,y 2 ) è : y1y1 y2y2.. P1P1 P2P2 Data una funzione f(x), il rapporto incrementale relativo al punto x 0 : y f(x 0 ) f(x 0 +h).. O x 0 x 0 +h x risulta essere il coefficiente angolare della retta passante per i punti: Questa retta la chiameremo retta secante passante per il punto di ascissa x 0 retta secante

11 11/7 O x y f(x 0 ) x0x0. h. h. h f(x 0 +h) x 0 +h. h Quando h 0 accade che: 2. la retta secante tende l l alla retta tangente 1. il rapporto incrementale t tende alla derivata, infatti: Quindi: La derivata di una funzione in un punto x 0 è uguale al coefficiente angolare della tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa x 0 retta tangente Osservazione: Ricordando che lequazione della retta passante per un punto è y – y 0 = m (x – x 0 ) allora lequazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa x 0 è: y – f(x 0 ) = f (x 0 ) ( x – x 0 ) retta tangente. retta secante


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