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differenziale, gradiente, matrice Jacobiana titolo.

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Presentazione sul tema: "differenziale, gradiente, matrice Jacobiana titolo."— Transcript della presentazione:

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2 differenziale, gradiente, matrice Jacobiana titolo

3 x y xoxo f(x o ) y = f(x) non lineare

4 h h k f( X o )(h) L(h) funzione differenza di f in X o df( X o ) differenziale di f in X o XoXo Xo+hXo+h f(X o +h) f(X o ) k = L(h)

5 L : R n R m lineare p j : R n R

6 f : R n R f : R R ( n = 1 )

7 f : R R f : R n R derivata parziale rispetto ad x j notazione di Leibnitz

8 f : R n R derivata parziale rispetto ad x j GRADIENTE di f in X o

9 df(X o ) f(X o ) f(X ) := potenziale elettrico in X XoXo

10 R2R2R2R2Rf campo scalare

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12 0 punto di minimo punto di massimo 0

13 PUNTO DI SELLA

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49 x yO punto stazionario

50 trasformazione lineare campo scalare

51 RnRnRnRn RmRmRmRmf RnRn RmRm df(Xo)df(Xo) M( df(X o ) ) = campo vettoriale trasformazione lineare Jf(X o ) = matrice Jacobiana di f in X o

52 R RmRmRmRmf RRmRm df(t o ) M( df(t o ) ) = campo vettoriale trasformazione lineare n = 1

53 f( R ) f (t o ) t o

54 f (t o + h) t o f( R ) t o + h f (t o )

55 f (t o + h) t o f( R ) t o + h f (t o )

56 f (t o + h) f( R ) f (t o ) t o + h

57 f (t o + h) f( R ) f (t o ) t o + h

58 f (t o + h) f( R ) f (t o ) t o + h

59 f (t o + h) f( R ) f (t o ) t o + h

60 f (t o + h) f( R ) f (t o ) t o + h

61 f( R ) f (t o ) t o + h

62 f( R ) f (t o ) t o + h velocità istantanea

63 X RnRn R R f regola della catena

64 integrali ed equazioni differenziali titolo

65 x y x1x1 xoxo x2x2 x3x3 f(x o ) integrale definito di tra x o ed X Integrale definito

66 insieme delle primitive di integrale indefinito di Integrale indefinito

67 Tabella degli integrali

68 Unapplicazione: velocità media tra gli istanti t o e t o +h : spazio percorso dopo un tempo t : oggetto in moto rettilineo velocità istantanea nellistante t o : Moto rettilineo

69 Unapplicazione: accelerazione di gravità costante: g velocità raggiunta dopo un tempo t : v(t) = g t spazio percorso dopo un tempo s(t) spazio percorso dopo un tempo t : s(t) oggetto in caduta libera con velocità iniziale nulla ? Grave in caduta libera

70 Esercizio Calcolare la derivata della funzione: Per la regola della catena : Esercizio

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72 iperbole

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74 CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE ISOLATA IN UN AMBIENTE CON RISORSE ILLIMITATE ( ad esempio: batteri in coltura ) x(t) = numero di batteri vivi nellistante t variazione x nellintervallo t : tasso di crescita tasso di natalità tasso di mortalità Crescita di batteri

75 x(t) variazione x nellintervallo t : CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE ISOLATA IN UN AMBIENTE CON RISORSE ILLIMITATE ( ad esempio: batteri in coltura ) = numero di batteri vivi nellistante t EQUAZIONE DIFFERENZIALE Equazione differenziale

76 x Separazione delle variabili

77 condizione iniziale : INTEGRALE PARTICOLARE INTEGRALE GENERALE Condizione iniziale

78 DECADIMENTO RADIOATTIVO N(t) = nuclei radioattivi nellistante t variazione N nellintervallo t : ( k > 0 ) Decadimento radioattivo

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81 integrazione per parti Regole di integrazione

82 Risolvere gli esercizi da pagina 387 a pagina 390 sul testo consigliato (le pagine non possono essere presentate sul web, perché appartengono allEditore) Esercizi sugli integrali indefiniti

83 a b y = f(x) rettangoloide di f su [a, b] x y Area di un rettangoloide

84 y = f(x) x a b y

85 x a b y

86 xa b y c additività additività

87 Teorema della media

88 Soluzioni degli esercizi proposti a pagina 404 Esercizi sugli integrali definiti

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101 Soluzioni degli esercizi proposti a pagina 472

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110 Polinomi di Taylor

111 Funzioni potenza

112 Confronto tra infinitesimi

113 infinitesimo di ordine n per x che tende ad x o Se f è una funzione differenziabile in x o, allora : infinitesimo di ordine 2 infinitesimo di ordine 1 infinitesimo di ordine n derivata di ordine k polinomio di Taylor di f di ordine n con punto iniziale x o Polinomi di Taylor

114 Esempio f(x) = sin x x o = Esercizio

115 Esempio f(x) = sin x x o = 0 Polinomi di Taylor

116 Polinomi di taylor del seno

117 Polinomio di grado 101

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