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CORRELAZIONE (AUTO e CROSS) DECONVOLUZIONE MODELLO CONVOLUZIONALE DEGLI STRATI ATTENUAZIONE MULTIPLE PRIMARIE.

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Presentazione sul tema: "CORRELAZIONE (AUTO e CROSS) DECONVOLUZIONE MODELLO CONVOLUZIONALE DEGLI STRATI ATTENUAZIONE MULTIPLE PRIMARIE."— Transcript della presentazione:

1 CORRELAZIONE (AUTO e CROSS) DECONVOLUZIONE MODELLO CONVOLUZIONALE DEGLI STRATI ATTENUAZIONE MULTIPLE PRIMARIE

2 Il grado di similitudine tra due funzioni f 1 (t) ed f 2 (t) può essere misurato moltiplicando le due funzioni tra loro e integrando il risultato. Se le due funzioni hanno fasi molto diverse risulterà un numero negativo, ma se vogliamo una informazione connessa con la forma dei segnali converrà ripetere la moltiplicazione e lintegrazione dopo avere shiftato un segnale rispetto allaltro di un particolare shift temporale. Questa operazione si chiama Cross – Correlazione: AUTOCORRELAZIONE E CROSS - CORRELAZIONE Se f 1 = f 2 = f la misura di similarità di f rispetto a se stessa si chiama A(t) = Autocorrelazione Ovviamente, la funzione di A avrà valore massimo a tempo di shift uguale a 0, ma se Il segnale ha spiccate periodicità, la funzione di A mostrerà dei massimi a shift Temporali uguali a questi periodi. La trasformata di Fourier della funzione di Aautocorrelazione è la potenza spettrale del segnale stesso

3 La convoluzione: La convoluzione è strutturalmente simile alla correlazione sono diverse per il segno – di Sistema(f2) f1x

4 Esempi convoluzione/cross - correlazione Date le sequenze a e b In Matlab: AUTOCORRELAZIONE E CROSS - CORRELAZIONE a=[ ]; b=[3 3 3 ]; c=conv(a,b) c = figure(1) plot(c) stem(c) hold Current plot held plot(c) c=xcorr(a,b) c = Columns 1 through e e e e e e+001 Columns 7 through e e e+000 figure(2) plot(c) hold Current plot held stem(c)

5 DECONVOLUZIONE Se la sorgente fosse un pulso ideale, una serie di pulsi riflessi molto stretti sarebbero ricevuti dalle varie discontinuità di impedenza del sottosuolo. Si è precedentemente visto che le sorgenti reali danno segnali complessi, che saranno riflessi a ciascuna interfaccia. Questa struttura dei segnali tenderà ad oscurare la registrazione dei treni donda provenienti dalle varie riflessioni. Possiamo considerare la forma donda riflessa ricevuta come la convoluzione della forma donda di ingresso con la risposta allimpulso del sottosuolo. Per riottenere la risposta alla forma donda ideale potremo de-convolvere

6 Tale deconvoluzione equivale a trovare un filtro che opera sulla forma donda della sorgente e la trasforma in un singolo pulso (filtro inverso). Un filtro, come abbiamo visto, è un sistema nel quale avviene la convoluzione tra il segnale dingresso e la risposta allimpulso del filtro. Nel caso dei segnali sismici reali più che funzioni analogiche, si opera su sequenze numeriche, che sono la rappresentazione dei segnali elaborati dai computer. Qui useremo una rappresentazione simbolica compatta. Obiettivo: Progettare un operatore D (filtro numerico) che, quando viene convoluto, con il segnale S produce un singolo impulso : D*S= operatore di convoluzione Il segnale riflesso osservato R sarà la convoluzione della risposta del sottosuolo (earth) allimpulso E (insieme dei segnali riflessi) con il segnale sorgente: R=E*S E SR

7 Quindi se si applica loperatore D al segnale osservato (ricevuto) si ha: D * R = D * E * S = E * D * S = E * = E (Risposta del suolo) Dove abbiamo sfruttato la proprietà commutativa della convoluzione ed anche il fatto che la convoluzione di un segnale con limpulso dà il segnale stesso. Qundi: Se progettiamo un operatore D che riesca a collassare il segnale sorgente in un singolo pulso, possiamo applicarlo al segnale riflesso per rimuovere gli effetti della forma del segnale estraendo così la vera risposta del sottosuolo. Cerchiamo quindi il migliore operatore, in senso statistico, di lunghezza finita, che minimizzi lo scarto quadratico medio tra il segnale ideale e quello ottenuto. Tale operatore è dato dalla soluzione del set di equazioni: J = 0, 1………….n xx = funzione di autocorrelazione di ingrasso f = coefficienti delloperatore convoluzione xz = cross-correlazione tra ingresso e uscita idelale

8 Nel seguito della presentazione troviamo il procedimento analitico per la determinazione dell operatore (filtro inverso) che applicato al segnale emesso (wavelet source reale o firma) riesce a collassarlo in un pulso ideale ( diverso da zero solo in un punto). Ora daremo solo la parte applicativa:Supponiamo di avere un wavelet source WS definito dalla sequenza di valori WS= [ ] ; vedi Nota Supponiamo di aver ottenuto, con il procedimento statistico (minimi quadrati), riportato nelle pagine seguenti l operatore D=[ ]; v.Nota Eseguendo ora la convoluzione di D con WS otteniamo il WI ideale: WI=D*WS ovvero: WI=conv(D,WS); v Nota, WI= e e e e e-003 Nota:le espressioni in colore possono essere incollate in Matlab ed eseguite in linea.I comandi per eseguire i grafici Per ottenere i grafici; figure(1);plot(WS); hold;stem(WS);figure(2);plot(WI);hold;stem(WI)

9 Supponiamo di voler calcolare un operatore di lunghezza 2 (n=1), il cui effetto sia per quanto possibile una spike (impulso) nellorigine. Tenendo conto che la funzione di autocorrelazione è di tipo pari Avremo quindi: Calcoliamo i valori dellautocorrelazione xx (0) = 7 x 7 + (-3) x (-3)+1 x 1 = 59 xx (1) = 7x (-3) +(-3 x 1) = -24 xx (2) = 7 x 1 = 7 Sostituendo nel sistema: +59 f f 1 = 7f 0 = f f 1 = 0f 1 = Esempio numerico: una forma donda (7, -3, 1) che può essere assimilata ad un segnale reale: t

10 Cosicché loperatore richiesto è (0.142, 0.058), che produce una forma donda in uscita: D = (0.142, 0.058) S = (7, -3, 1) Eseguendo la convoluzione abbiamo: t = 07 x 0,142= 0,99 t = 1(-3) x x 0.058= 0.02 t = 2(1) x (-3) x 0.058= 0,03 t = 3(1) x 0.058= 0.06 Che è una buona approssimazione dellimpulso. Teniamo conto che: La convoluzione è y = A*B n = 0, 1, 2, 3, 4…

11 t=0 t=1 t=2 t=3 b0b0 b1b1 b2b2 a0a0 a1a1 =a 0 b 0 a0a0 a1a1 =a 1 b 0 + a 0 b 1 a0a0 a1a1 =a 1 b 1 + a 0 b 2 a0a0 a1a1 = a 1 b 2 n = 0, 1, 2, 3, 4…

12 Se scegliessimo un operatore di lunghezza 3 invece che 2, riusciremmo a concentrare meglio lenergia in una singola spike, avremmo le seguenti equazioni: +59 f f 1 +7 f 2 = f f f 2 = 7 +7 f f f 2 = 7 D= (0.145, 0.062, 0.008) Leffetto di questo operatore sulla forma donda è: D*S = (1.015, 0.015, 0.038, 0.008) Quindi conoscendo la forma donda della sorgente possiamo trovare un opportuno operatore che, applicato alle tracce sismiche, ci fornisce la migliore risoluzione, cioè la risposta dellimpulso. Risulta quindi necessario conoscere la funzione di autocorrelazione del segnale sorgente. Ma considerato che la sequenza dei coefficienti di riflessione di un suolo stratificato può essere considerata random e che il rumore può essere trascurato (rapporto segnale – rumore molto grande), la funzione di autocorrelazione della generica traccia (segnale di uscita) è uguale alla funzione di autocorrelazione del segnale sorgente. In realtà, a causa delle modificazioni che il segnale ha nellattraversamento degli strati, quali lassorbimento delle alte frequenze, sarà necessario calcolare la funzione di autocorrelazione a tratti lungo la traccia sismica.

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16 TRASFORMATA DI FOURIER TRASFORMATA DI FOURIER, LAPLACE E TRASFORMATA Z Esiste se I f(t) I è integrabile(vincolo importante) TRASFORMATA DI LAPLACE s j La e - t va abbastanza velocemente a 0 per cui: Quasi tutti i segnali fisici soddisfano la precedente relazione.

17 Nel discreto, cioè nel caso di segnali campionati uniformemente, che sono quindi costituiti da sequenze di numeri è applicata la trasformata Z: TRASFORMATA Z Valida per IzI > R e stabile per R<1 e con Una sequenza: [x n ] = [x 0, x 1, …………………. X M ] Ha come trasformata Z:

18 I problemi che possono risolvere con la deconvoluzione sono anche: 1) GHOSTS MULTIPLE PRINCIPALI, SECONDARIE E GOST su TRACCE SISMICHE superficie sorgente ghost diretto ghost diretto ricevitore Il segnale ghost (fantasma) è uguale al segnale utile, nella forma, può avere quasi la stessa intensità e fase invertita r wair = 1 r wbottom ed un ritardo che può essere: - al minimo 2 per distanza ricevitore - superficie, - al massimo questultima più 2 volte distanza sorgente superficie. Per distanze intendiamo i percorsi ottici dei raggi. I segnali ghost si possono eliminare sia con una regolazione geometrica, cioè portando la sorgente ed il ricevitore quasi in superficie ovvero con un filtraggio, sia silenziando il ricevitore per un tempo opportuno.

19 Multipla secondaria Multipla primaria

20 2) MULTIPLE PRIMARIE La multipla si genera da una seconda riflessione superficie mare fondo S A B r -r Ricordiamo che A e B coincidono e che i raggi sono inclinati solo per comodità di visualizzazione, poiché in realtà sono verticali. Nelle registrazioni le multiple s riconoscono perché sono posizionate ad una profondità, che è esattamente il doppio di quella delleco diretta ed inoltre, le pendenze sono raddoppiate. Per fondali profondi le multiple sono stampate al di sotto del segnale utile, ma nel caso di bassi fondali, sono sovrapposte al segnale e tendono a mascherarlo. Anche le multiple posso essere filtrate, ovviamente non con un filtro tradizionale (di banda), perché esso eliminerebbe anche il segnale utile, ma con uno numerico. 3)MULTIPLE SECONDARIE Piu difficili da eliminare ma piu deboli. -r 2 r2r2 r

21 Eliminazione delle multiple tramite operatore DT Anche in questo caso se vogliamo tralasciare teoria e formalismi possiamo affrontare in modo speditivo il problema (Jones,pag85). Calcoliamo la risposta all impulso dello strato d acqua compreso tra aria e fondale. Consideriamo che la sequenza WT dei valori ottenuti dall idrofono e quindi dal registratore (dopo conversione A/D) supponendo che il coefficiente di riflessione acqua-aria e -1, quello acqua-fondale è r e la prima riflessione ha ampiezza A (arbitraria).I coefficienti sono 1 impulso primario, 2 prima multipla di riflessione, 3 seconda multipla etc.,l intervallo di tempo tra i due segnali è il tempo di andata ritorno attraverso lo strato d acqua. WT=[ (A) (-2*A*r) (3*A*r^2) (-4*A*r^3) (5*A*r^4)]; La sequenza inversa di WT ha solo elementi diversi da zero: DT=[ (1) (2*r) (r^2)]; convolvendo le due sequenze: T=DT*WT=[A ]; ovvero in Matlab : T=conv(DT,WT); con A=1: T=[ ];

22 Lapproccio nel dominio del tempo é utile sia quando il sistema e descritto in termini di equazioni differenziali sia quando ne è definita la risposta impulsiva. In particolare é utile la descrizione temporale nei casi in cui i dati sperimentali sono rappresentati da serie temporali, cioè dalle tracce sismiche in cui lordinata é il segnale trasdotto dal rivelatore e l'ascissa il tempo (discretizzato nei sistemi di acquisizione digitali). Il modello convoluzionale del suolo consiste nel considerare che il sismogramma registrato sia la convoluzione dei segnale sorgente s n, con la risposta allimpulso unitario del terreno h n, più un termine di rumore o disturbo d(t). Si ammettono per solito le ipotesi di cui in appresso: a) il processo sismico (attraversamento di uno o più strati di suolo con riflessioni, soddisfa la teoria di propagazione delle onde elastiche nei mezzi isotropi ed omogenei, senza perdite e non dispersivi e quindi con conservazione della forma durante Ia propagazione stessa. b) alla rappresentazione continua del segnale che tiene conto delle successive riflessioni di energia alle varie discontinuità, si sostituisce quella convertita in digitale (sequenza numerica} nel rispetto del teorema del campionamento. Sara allora t = k t essendo t il tempo di Campionamento o tempo tra due campioni successivi e k = 1, 2, 3, ….. (1)

23 c) Il ritardo in tempo n può essere rappresentato da un multiplo intero di t. Cosicchè n =n t; n = 0, 1, 2, … per cui la 1 si sostituisce con la seguente: (2) definendo e la k t = k, la 15 diviene: Il sismogramma (y k ) inteso come sequenza numerica è la convolzione del segnale sorgente (s k ) con la risposta allimpulso del terreno (h k ) più il rumore (d k ) + sorgente sksk h k = risposta allimpulso del sist. Acqua-Fondale x k d k = rumore Y k = sismogramma Fig 3 – schematizzazione corrispondente alla la convolzione del segnale sorgente (sk) con la risposta allimpulso del terreno (hk) più il rumore (dk)

24 Tralasciamo la presenza del rumore e consideriamo il modello matematico di suolo costituito da un solo strato omogeneo ed isotropo (acqua) tra laria e il bedrock y k = x k, fig. 3 H1H1 Sorgente / rilevatore Aria z 00 r0=1r0=1 r 1 Acqua z 01 = 1 v 1 Suolo z 02 = 2 v 2 i = densità dello strato (i = 1, 2, ….); V i = velocità di propagazione (onde e s) nello strato(i = 1, 2, ….); r i = coefficiente di riflessione allinterfaccia strato acqua – fondale (sedimento – roccia); r 0 = coefficiente di riflessione allinterfaccia tra aria e lo strato di acqua; t i = coefficiente di trasmissione 1+r 1 ; H = spessore dello strato; r i, r 0, t i, sono numeri reali e Ir 0 I e Ir i I <=1 mentre It i I <=2. Fig 3

25 Supponendo di applicare come sorgente s k un impulso k, avremo al rilevatore della fig 5, nel quale i percorsi sono rappresentati inclinati solo per chiarezza, la situazione in appresso indicata. Sorgente S k= k ritardo 2 n 4 n 6 n r0r0 r1r1 r0r0 r0r0 r1r1 r1r1 r1r1 riv. = x k Fig. 5 La situazione è quindi la medesima della fig. 4 cioè incidenza normale.. Considerando che n = n t è il tempo di attraversamento dello strato H, ed si ha essendo r 0 =-1 (4) Per cui il comportamento del suolo può essere descritto da una struttura di ritardi e somme.

26 Eseguendo la trasformata di Laplace z che consente una agevole rappresentazione simbolica dei ritardi convolutivi, si ottiene: (5) Se r0 = +1 come si verifica per le vibrazioni se il mezzo superiore è laria, posto 2n= si ha: (6) La (18) è operativamente equivalente alla struttura riportata in fig 6, corrispondente ad un filtro generalizzato di tipo FIR (Finite Impulse Response) non ricorsivo (la trasf. z di k è 1) z - r1r1 r12r12 r13r X(z)

27 La funzione X(z) rappresenta la risposta allimpulso del sistema suolo. Ponendo in evidenza r 1 z si ottiene: (7) serie di potenze in r 1 ed in z. Se ora invece dellimpulso unitario si considera come sorgente un generico segnale s k si avrà: (8) Trasformando nel dominio delle Z abbiamo ovvero X(z) = S(z) H(z) ; H(z) = risposta Z

28 Poiché 1 è negativo I 1I<1, posto I I abbiamo: Poiché la somma della serie: è abbiamo quindi Noi vorremmo eliminare tutti i contributi dovuti alla riverberazione che corrispondono a lasciare solo, infatti la risposta ideale sarebbe:

29 (A) ; la reale è Cerchiamo un operatore F(z) tale che F(z) X(z) = X(z) Dividendo membro a membro (A) e (B) (B) Quindi loperatore cercato è


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