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Dispense per il corso di Filosofia della Fisica (parte III) Le conseguenze filosofiche della meccanica quantistica Mauro Dorato, Dipartimento di Filosofia,

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1 Dispense per il corso di Filosofia della Fisica (parte III) Le conseguenze filosofiche della meccanica quantistica Mauro Dorato, Dipartimento di Filosofia, Università di Roma3 NB Le note che seguono sono per uso strettamente didattico e non sono state ancora controllate in modo accurato. Si prega quindi di non far circolare il materiale che segue e di non usarlo per citazioni. Aggiornate al 12/11/2013

2 Struttura della 3 parte 1 Lesperimento della doppia fenditura e il principio di indeterminazione di Heisenberg 2 Le posizioni filosofiche dei padri fondatori 3 Il dibattito Einstein-Bohr 4 La non-località come risultato sperimentale dellargomento EPR 5 Il problema della misura e le varie interpretazioni della meccanica quantistica

3 Capitolo 1 Lesperimento della doppia fenditura e il principio di indeterminazione di Heisenberg

4 Lesperimento della doppia fenditura Perché il + della sovrapposizione deve essere interpretato come un vel e non come un aut Il dualismo onda-corpuscolo secondo linterpretazione standard: la natura potenziale degli stati quantici e lindeterminazione di Heisenberg La possibilità che onda e corpuscolo siano elementi con-presenti: i flashes di Ghirardi

5 Things on a very small scale behave neither like particles nor like waves…all of direct, human experience and intuition applies to large object. We know how large objects will act, but things on a small scale just do not act that way. We choose to examine a phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain in classical terms and which has in it the heart of quantum mechanics. In reality, it contains the only mystery (Feynman, Lectures in physics, vol.3, p. 1)

6 Dobbiamo comparare tre esperimenti, uno con proiettili, uno con onde dacqua e uno con elettroni. Cominciamo con i proiettili (1) P 12 =P 1 +P 2 rivelatore x Con questo apparato si può rispondere sperimentalmente alla domanda: con quale probabilità P un proiettile che passa in uno dei due fori arriva in un punto dello schermo a distanza x dal centro?Questa probabilità, che dipende dal numero di proiettili che colpiscono il punto x, è una funzione di x, P(x). Perché P 12 -che è la probabilità che dipende dal fatto che i proiettili possono essere passati attraverso 1 o 2- è massima per x =0? Perché lì la somma di P 1 (foro 2 chiuso) e P 2 (foro 1 chiuso) è massima. In P 1 (P 2 ) il massimo è allineato con il primo (secondo) foro rispettivamente. schermo P(x) x 1 2

7 2) esperimento: onde dacqua Londa originale generata dalla sorgente è diffratta ai due fori, che originano unaltra serie di onde circolari che interferiscono. Lintensità del fenomeno risultante I 12 non è la somma delle intensità ricavabili dalla chiusura di uno dei due fori I i =|h i | 2 (h altezza dellonda). Nei punti in cui ci sono massimi in I 12 le singole onde interferiscono costruttivamente, nei punti di minima interferiscono distruttivamente: I 12 = |h 1 | 2 + |h 2 | 2 +2 |h 1 | |h 2 | cos con differenza di fase tra I 1 e I 2 P(x) I 2 =|h 2 | 2 I 1 =|h 1 | 2 x assorbitore I 12 =|h 1 + h 2 | 2 2 1

8 P(x) P 2 =| 2 | 2 P 1 =| 1 | 2 x P 12 =| | ) Esperimento con elettroni 1)Se mettiamo due rivelatori dopo lo schermo con le fenditure, solo uno dei due scatta e mai entrambi contemporaneamente. 2) se abbassiamo la frequenza di emissione, il click non è meno forte, ma solo meno frequente: ogni elettroni arriva in un pacchetto e viene assorbito tutto e mai a metà. Sembrerebbe un comportamento da particella. E invece 3)la probabilità che gli elettroni arrivino a una certa distanza x dal centro, che è proporzionale al numero di arrivi in quel punto, è data dalla figura che avevamo trovato per le onde marine! Cannone di elettroni

9 Ne concludiamo che quando entrambe le fenditure sono aperte,gli elettroni si comportano come onde Il punto è però che quando vengono assorbiti, si localizzano in un punto piccolo dello schermo, come se fossero proiettili in miniatura (arrivano in un pacchetto discreto). Sembrerebbe dunque che passino o in una o nellaltra delle due fenditure. Ma se fosse così, la curva complessiva dovrebbe essere ottenuta sommando le due curve P 1 e P 2 che si ottengono chiudendo prima una e poi laltra delle due fenditure, ovvero contando gli elettroni che passano in una, e quelli che passano nellaltra, come nel caso dei proiettili (particelle) Invece il risultato che si ottiene lasciando le due fenditure aperte non è ciò che si ottiene sommando i risultati relativi ai due casi in cui una delle due fenditure è chiusa: cè interferenza:

10 Ci sono punti dello schermo nei quali arrivano meno elettroni quando sono aperte entrambe le fenditure che quando ne è aperta solo una: è come se chiudere una delle due fenditure aumenta il numero di elettroni che passa per laltra. Daltra parte, al centro del sistema la probabilità quando sono aperte entrambe le fenditure è assai più che la somma delle probabilità ottenibili tenendone una delle due chiusa. E allora sembra che chiudendone una delle due diminuisce il numero di elettroni che passa per laltra. Entrambi gli effetti non possono essere spiegati supponendo che un elettroni entri in 1 e poi anche in 2 girando attorno allo schermo. Dunque è falso affermare che lelettrone passi o nelluna o nellaltra delle due fenditure: lo stato di sovrapposizione non può essere interpretato come un o esclusivo. Gli elettroni arrivano in pacchetti, come particelle, e la probabilità di arrivo di questi pacchetti è distribuita come lintensità di unonda. È in questo senso che un elettrone si comporta talvolta come una particella e talvolta come unonda (Feynman, vol 3 p. 6).

11 Si può azzardare lipotesi che è questa proprietà dei sistemi quantistici che spinse Bohr a formulare il principio che i contrari sono complementari (contraria sunt complementa): osservabili mutuamente incompatibili nella misura (mutually exclusive in measurement) sono tuttavia entrambi presenti, ma solo in potenza, in un certo stato, e sono quindi entrambi necessari per la descrizione del sistema (jointly exhaustive for the description of the system). I microsistemi quindi non sono né onde né particelle Ecco anche lorigine della lettura disposizionalistica di Heisenberg:«Such a probability function [i.e. the statistical algorithm of quantum theory] combines objective and subjective elements. It contains statements on possibilities, or better tendencies (potentiae in Aristotelian philosophy), and such statement are completely objective, as they dont depend on any observer…the passage from the possible to the real takes place during the act of observation» (Heisenberg 1958, Physics and Philosophy, p )

12 Contro Feynman, si deve però notare che nello stesso esperimento lelettrone sembra comportarsi come unonda e come una particella, in stadi diversi dellevoluzione del sistema stesso. Ovvero, quando entrambe le fenditure sono aperte, un elettrone passa per entrambe, ed è quindi simile a unonda dacqua o a un campo esteso, ma quando colpisce lo schermo si comporta come una particella, e si localizza in suo punto preciso dello schermo collassando in un autostato della posizione. Tale versione dellesperimento che qui suggerisco (onda e particella) richiede però il passaggio dallo stato di sovrapposizione che descrive il microsistema quando passa in entrambe le fenditure aperte in uno solo dei due stati sovrapposti, che caratterizza una particella localizzata. In effetti, se provassimo a localizzare lelettrone illuminandolo dietro una delle due fenditure, sapremmo per quale delle due fenditure è passato, eliminando però linterferenza tipica delle onde

13 P 12 =P 1 +P 2 rivelatore x schermo P(x) x 1 2 Se osserviamo per quale fenditura è passato lelettrone, anche quando le fenditure sono tutte e due aperte, lelettrone si comporta in modo particellare: linterferenza e dunque il suo carattere ondulatorio è svanito o distrutto. La distribuzione degli elettroni nei due casi, conclude Feynman, è diversa a seconda se guardiamo, e invece di andare in un punto di massimo di P 12 lelettrone andrà in uno di minimo P2P2 P1P1

14 Poiché il momento di un fotone p=h/ usando luce con lunghezza donda maggiore diminuiremo limpatto con lelettrone perché diminuiremmo p. Quindi disturberemo meno la traiettoria dellelettrone (il suo momento) Ma a un certo punto, diminuendo p, non riusciremmo più a sapere per quale delle due fenditure è passato lelettrone (posizione), e ciò avverrà quando la lunghezza donda della radiazione sarà dellordine della distanza tra le due fenditure. E allora ritroveremo il pattern ondulatorio dellinterferenza! È impossibile disegnare un apparato che determini per quale fenditura sia passato lelettrone senza al tempo stesso distruggere il pattern dellinterferenza PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE (Feynman, p. 9). In questa forma, si vede che lelettrone è dotato di entrambe le nature (particellare e ondulatoria) in potenza, ma il tipo di natura evidenziato dagli esperimenti in atto è sempre uno dei due (particellare o ondulatorio) e mai entrambi.

15 Si può invece avanzare lipotesi di prima, ovvero che un insieme di elettroni identicamente preparati di fatto mostri sia il comportamento ondulatorio (interferenza) sia quello particellare, evidenziato dalla localizzazione discreta su un punto dello schermo. Ma lo stato di sovrapposizione delle posizioni nellesperimento delle due fenditure non può interpretarsi mai come un aut, ma solo come un vel. Avanziamo lipotesi che gli elettroni (pace le interpretazioni come quella di Bohm) in realtà passino in entrambe le fenditure, anche se il loro diametro classicamente inteso è assai più piccolo della distanza tra le fenditure: ovvero non sono particelle, se non quando le vado a misurare! Processo di localizzazione

16 Abbiamo sovrapposizione di posizioni distinte sia nel caso dellesperimento di Stern-Gerlach che nel caso di quello delle due fenditure. In entrambi i casi, lo stato del sistema è una sovrapposizione lineare di due stati che corrispondono, nella base delle coordinate spaziali, a funzioni donda che sono diverse da zero in due precise e limitate regioni dello spazio, regioni che sono disgiunte. Se uno schermo con due fenditure non registra larrivo di una particella, lo stato del sistema a misura avvenuta è una funzione di x che è diversa da zero solo nelle regioni corrispondenti alle due fenditure. Se lapertura delle fenditure è e è la funzione caratteristica che vale 1 se la particella è passata nella fenditura i e 0 se è passata nellaltra. allora la funzione donda che descrive il passaggio nelle fenditure è incompatibile con lidea che la particella sia passata nelluna o nellaltra delle due I due singoli stati normalizzati corrispondono alla situazione in cui possiamo dire che con certezza la particella è passata in una delle due fenditure. Come si vedrà però, tale conoscenza distrugge il fenomeno della sovrapposizione e quindi laspetto ondulatorio del fenomeno (linterferenza). Illustrazione del dualismo onda-corpuscolo. La sovrapposizione dei due stati di posizione non è una miscela

17 Heisenberg non derivò le sue relazioni nel modo visto ma propose argomenti più qualitativi.(Ghirardi,1997, pp 413-4) Immagine geometrica del foro di ampiezza x: non conosciamo la posizione della particella lungo x ma la componente verticale del momento p x è perfettamente definita, perché è nulla z x Se restringiamo lampiezza della fenditura fino a renderla paragonabile a quella della lunghezza donda =h/p associata allelettrone, allora abbiamo unindeterminazione piccola della posizione x dellelettrone, ma il suo momento p x è non nullo a causa della diffrazione (immagine allargata del foro), in modo che il prodotto x p x > h/4 diffrazione

18 z =-1 z = +1 x =+1 x =-1 Spin e indeterminazione (Ghirardi p. 407) Le proiezioni di lungo gli assi degli autovettori danno, attraverso il quadrato dei loro moduli, la probabilità di ottenere i vari esiti per losservabile spin. Nella figura, tutte le proiezioni sono non nulle z x x

19 z = +1 x =+1 x =-1 z = -1 Per rendere quasi determinato il valore di z si deve partire da uno stato quasi parallelo ai due autovettori di z (un suo autostato), ma in questo caso le due componenti di x tendono a (2) 1/2 /2 e si ha dunque una massima indeterminazione per losservabile x (e viceversa). Il valor medio tra i due soli esiti (1 e –1) è 0, = 0, mentre lo scarto quadratico medio vale, secondo la formula già vista, proprio 1, che è il massimo x 1/2(1-0) 2 +1/2(-1-0) 2 ] 1/2 = 1

20 Le relazioni di indeterminazione di Heisenberg derivate formalmente Ricordiamo che lo scarto quadratico medio di A è Il prodotto dello scarto o indeterminazione delle due quantità A e B per un insieme statistico associato a uno stato puro sarà allora Poiché gli operatori A- e B- sono entrambi simmetrici, si possono portare a destra del prodotto scalare Questo passaggio dipende dal fatto che il modulo di un numero complesso è maggiore del modulo della parte immaginaria

21 Indicando con le parentesi graffe il commutatore tra A- e B->B> si ha Poiché e sono numeri, essi commutano con qualunque operatore, ciò che spiega perché lespressione a sinistra nella formula qui sopra si riduce a quella a destra. Per es., poiché il commutatore tra posizione e quantità di moto vale ih/2 si ha In relatività lo spazio x è legato al tempo t come limpulso p è legato allenergia E

22 Lindeterminazione tempo-energia implica la conservazione dellenergia. Se lo stato del sistema coincide al tempo t=0 con un autofunzione propria dellenergia, ovvero se (0)= j ove H| j> = E j | j > allora il sistema evolve in questo modo: in cui lesponenziale è loperatore unitario (al posto dellhamiltoniana H abbiamo messo il suo valore E j ). Ciò implica che la probabilità di trovare lesito E j in una misura dellenergia è 1. Ma se lenergia è perfettamente definita, allora il tempo è indeterminato, cioè lenergia si mantiene uguale a se stessa assai a lungo.

23 Capitolo 2 Le posizioni filosofiche dei padri fondatori ( )

24 Latomo di Bohr, De Broglie e lipotesi ondulatoria della materia (1924) Heisenberg e la meccanica matriciale (1925) Schroedinger e la meccanica ondulatoria (1926) Born e le due leggi dinamiche di evoluzione (1926) Von Neumann e il teorema sullimpossibilità del determismo (1932)

25 Lamine doro e particelle alfa Bombardando le prime con le seconde, Geiger e Marsden scoprirono che mentre la maggior parte delle particella alfa (due protoni) subiva deviazioni minime dalla traiettoria iniziale, altre venivano deviate in misura considerevole, se non addirittura respinte dalla lamina. Nell'interpretare questo esperimento, Rutherford nel 1911 ipotizzò che l'atomo fosse composto da un centro massivo (il nucleo) circondato da cariche negative: il modello compatto a plum cake di Thomson, con cariche positive e negative uniformemente sparse, nellatomo venne abbandonato.

26 Un elettrone di carica e che si muove di velocità v attorno al nucleo costituito da Z protoni classicamente può stare a qualunque distanza dal nucleo.Basta che la forza centrifuga mv 2 /r sia esattamente compensata dalla forza elettrostatica Ze 2 /r 2 (forza coulombiana esercitata dai Z protoni). Ne risulta che v 2 = (Ze 2 /mr). La condizione di Bohr è che non tutte le orbite classiche siano ammesse, ma solo quelle per cui il momento angolare L= mrv sia multiplo intero di h/ Latomo di Bohr (1913) L= mrv= nh/ n=1,2,3... mr( Ze 2 /mr) 1/2 = nh/2 I raggi ammissibili risultano allora n=1,2,3... E total e = E cin +E potenz =1/2mv 2 - Ze 2 /r

27 La posizione di De Broglie

28 Il dualismo onda-corpuscolo di De Broglie Nella sua tesi, presentata alluniversità di Parigi nel 1924, de Broglie era partito da unidea che Einstein aveva suggerito senza mai però svilupparla appieno e pervenire ad un lavoro pubblicato su come andasse intesa lassociazione tra fotoni e onde elettromagnetiche. In base a questa idea, i campi elettrici e magnetici di unonda elettromagnetica svolgono il ruolo di campi fantasma che in qualche modo guidano il moto dei fotoni nello spazio. De Broglie congetturò che dovessero esistere campi analoghi che guidano il moto delle particelle nello spazio: una particella di massa m e velocità v, e di conseguenza con impulso p = mv, è guidata da unonda che (per piccole velocità rispetto alla luce) ha una lunghezza donda data dalla formula =h/p. (citato da Allori, Dorato, Laudisa, N. Zanghì, Metafisica Empirica, in corso di pubblicazione, Carocci,)

29 « Questa ipotesi fornì una prima spiegazione non ad hoc della regola di quantizzazione di Bohr: se questonda esiste, quando lelettrone in un atomo di idrogeno si muove lungo unorbita circolare stabile di raggio r, l onda deve essere stazionaria (le proprietà dellatomo non mutano nel tempo se latomo non è radioattivo) e devono quindi essere soddisfatte le stesse condizioni in base a cui una corda di chitarra può vibrare: ovvero la lunghezza totale dellorbita l = r sia pari ad un multiplo intero di una lunghezza donda 2 r =n con n=1,2,3,…n (si veda la figura di Zanghì nella pagina successiva): da cui, sostituendo la formula di de Broglie per la lunghezza donda, si ottiene mrv =nh/2, n = 1, 2, 3,..., che è proprio la regola di quantizzazione di Bohr del momento angolare«. (Zanghì, ibid.)

30 Quando lelettrone in un atomo di idrogeno si muove lungo unorbita circolare stabile di raggio r devono essere soddisfatte le stesse condizioni che permettono la vibrazione di una corda di chitarra di lunghezza l: che la lunghezza totale dellorbita, l = 2 r sia pari ad un multiplo intero di una lunghezza donda. Poiché la lunghezza donda decresce al crescere della massa, i corpi macroscopici non presentano aspetti ondulatori, visto che la lunghezza donda ad essi associata dovrebbe incontrare ostacoli assai più piccoli delle dimensioni che li caratterizzano

31 De Broglie influenzò moltissimo Schroedinger nella prima formulazione delle meccanica ondulatoria. In una lettera di Einstein a Lorentz del Dicembre del 1924, leggiamo: …De Broglie ha fatto un tentativo molto interessante di interpretare le regole quantistiche di Bohr. Io credo che questo rappresenti il primo debole raggio di luce sul peggiore dei nostri enigmi nel campo della fsiica. Io stesso ho trovato qualcosa che punta nella stessa direzione. Einstein non pubblicò i suoi risultati che però, come vedremo, influenzarono sia Schroedinger che Max Born, lautore dellinterpretazione probabilistica della funzione donda. E poi, nel 1952, vennero riscoperti da David Bohm

32 La posizione di W. Heisenberg

33 Nel 1925, H. scrive: è meglio …ammettere che laccordo parziale delle regole quantistiche con gli esperimenti sia più o meno accidentale e provare a sviluppare una meccanica quantistica teorica, analoga alla meccanica classica, nella quale compaiano solo relazioni tra quantità osservabili. Influsso delloperazionismo di Einstein (1905) Ueber quantentheoretische Umdeutung kinematischer and mechanischer Beziuhungen, Zeitschrift der Physik, 43, Sulla reinterpretazione delle relazioni cinematiche e meccaniche operata dalla meccanica quantistica

34 Più tardi però H. cambiò opinione. Per H. la non è solo uno strumento di calcolo, visto che egli si riferiva alle onde di probabilità come ad una the quantitative formulation of the concept of or, in the later Latin version, potentia, in Aristotles philosophy. The concept that events are not determined in a peremptory manner, but that the possibility or tendency for an event to take place has a kind of reality – a certain intermediate layer of reality, halfway between the massive reality of matter and the intellectual reality of the idea or the image- this concept plays a decisive role in Aristotles philosophy. In modern quantum theory this concept takes a new form; it is formulated quantitatively as probability and subject to mathematically expressible laws of nature Heisenberg, Plancks discovery and the philosophical problems of atomic physics, in On Modern Physics, Orion Press, London, 1961, pp.9-10

35 La posizione di E. Schroedinger (1926)

36 Allinizio S. pensava che la funzione donda da lui scoperta corrispondesse, con il quadrato del suo modulo (che per Born fornisce la probabilità), alla densità di massa o di carica dellelettrone cui è associata. Lelemento ontologico essenziale è per lui londa: Schroedinger pensava ad unonda che, a causa di effetti di interferenza, al di fuori di una certa regione era nulla e simulava dunque il comportamento di una particella. Non si deve attaccare alcun significato essenziale al cammino dellelettrone…e ancora meno alla posizione di un elettrone sul suo cammino [accenno a De Broglie?]…londa…non solo riempie tutto il cammino simultaneamente, ma si estende addirittura notevolmente in tutte le direzioni. Queste contraddizione è sentita così fortemente che si è persino posto in dubbio che quello che accade in un atomo possa inquadrarsi in uno schema spazio-temporale. Da un punto di vista filosofico, io considererei una decisione conclusiva in questo senso come una resa incondizionata. Infatti, poiché noi non possiamo assolutamente evitare di pensare in termini di spazio e tempo [Kant?], quello che non possiamo ricondurre a siffatti concetti, non possiamo comprenderlo affatto (Ghirardi 1997, p.421)

37 Ben presto (1927) Heisenberg attaccò linterpretazione puramente ondulatoria di Schroedinger. Si consideri un elettrone libero il quale al tempo t=0 si trova in uno stato la cui rappresentazione delle coordinate è una funzione gaussiana di ampiezza x(0). Se si parte con unindeterminazione iniziale x(0) di cm, risolvendo lequazione di Schroedinger, dopo un 1/3 di secondo il pacchetto che rappresenta lelettrone libero occupa circa un Km =10 5 cm! La relazione tra lindeterminazione iniziale e quella al tempo t è Dallultima formula sulla destra segue laffermazione di cui sopra, facendo le sostituzioni

38 Ma misurare lelettrone implica sempre localizzarlo, dice G. (1997, p.421); Questa non è però lunica difficoltà: il fatto è invece che varie onde associate a n particelle richiedono uno spazio di configurazione n-dimensionale Lorentz preferiva linterpretazione ondulatoria di Schroedinger finché si aveva a che fare con una sola particella: so long as one only has to deal with the three coordinates x, y, z. If however, there are more than three degrees of freedom then I cannot intepret the waves and vibrations physically, and I must therefore decide in favor of matrix mechanics(M. Jammer, The Philosophy of QM, p. 32).

39 Ma Jammer continua. In rebuttal of this objection one could, of course, point out that in the treatment of a macromechanical system the vibrations, which undoubtely have real existence in the three dimensional space, are most conveniently computed in terms of normal coordinates in the 3n-dimensional space of Lagrangian mechanics. Altre tre difficoltà di una lettura ondulatoria della afferma Jammer, sono: (1) è una funzione a valori complessi; 2) dipende dal sistema di osservabili che viene impiegato per rappresentare il sistema;3) è soggetta al mutamento discontinuo indotto dal processo di misura. Esercizio: secondo te, quali di queste difficoltà è seria?

40 La posizione di Max Born

41 Per Schroedinger era necessario poter visualizzare i processi quantistici salvando la descrizione spaziotemporale (visualizzare e descrivere spaziotemporalmente qui sono sinonimi). Born (1926) avanza linterpretazione probabilistica del modulo quadro della funzione donda, affermando che essa è la densità di probabilità di trovare la particella in un certo punto se si esegue una misura di posizione su di essa. | (x)| non è dunque la probabilità che lelettrone sia in una certa posizione, ma la probabilità che esso sia in una certa posizione in dipendenza del fatto che su di esso si è eseguita una particolare misura. Per Born, esistono solo particelle, non onde, e sono rivelate dagli esperimenti di scattering. Come affermò Jordan, è losservatore che, costringe lelettrone ad assumere una posizione definita; in precedenza esso non era né qui né là

42 Interessante che nel 1954, quando Born prese il Nobel per i suoi contributi alla MQ, raccontò che esperimenti sulla collisione di elettroni appeared to me as new proof of the corpuscolar nature of the electron (Jammer 1974, p. 39). E nel saggio originale scrisse queste parole profetiche rispetto al problema della misura: Die Bewegung der Partikel folgt Wahrscheinlichkeitsgesetzen, die Warhscheinlichkeit selbst aber breitet sich im Einklang mit dem Kausalgesetz aus, (Il moto delle particelle segue le leggi della probabilità, ma la probabilità stessa si propaga invece in accordo con la legge della causalità) Born, Die Quantenmechanich der Stossvorgaenge, 1926, p.804. Si noti che da questa frase si evince che per Born esistono due tipi di evoluzione dinamica delle particelle, una probabilistica che regola il moto delle particelle (allatto di misura), una deterministica che regola la propagazione nel tempo dellonda di probabilità (equazione di Schroedinger.).

43 Sempre nel 1954, Born disse che applicò lidea del campo fantasma di Einstein dai fotoni (in base alla quale lintensità dellonda fantasma che guida i fotoni – ovvero il quadrato dellampiezza – determina la probabilità di trovare un fotone) a tutta la materia. Ecco ancora lidea di De Broglie-Einstein. Per Born, le probabilità quantistiche non sono dovute allignoranza della situazione fisica (non sono come quelle della meccanica statistica): sono ontiche. Contrariamente al punto di vista di Schroedinger, per Born non descrive nulla di fisico, ma solo la nostra conoscenza del sistema. Così il fatto che nellinterpretazione originaria di Schroedinger si sparpagliasse rapidamente non costituiva per lui alcuna difficoltà, perché non denota nulla di reale. Analogamente, per Born il collasso della funzione donda non è una transizione fisica reale, ma solo un mutamento della nostra conoscenza.

44 Ma la posizione particellarista di Born non da conto dellautointerferenza di un singolo elettrone quando passa per uno schermo con due fenditure, ovvero richiede che il pattern ottenuto con due fenditure aperte sia la somma dei singoli patterns ottenuti con una sola delle due fenditure aperte, il che, come è noto, non è. Ne segue che la rappresenta qualche cosa di fisico!

45 Il teorema di impossibilità di von Neumann Nessuna teoria predittivamente equivalente alla MQ può assegnare valori precisi (anche se sconosciuti, o nascosti e inaccessibili) a tutte le osservabili di un sistema fisico

46 (a)Se A e B sono operatori autoaggiunti, allora ogni loro combinazione lineare con arbitrari scalari reali è ancora un operatore autoaggiunto [1] (b)Se le osservabili A e B rappresentate da A e B sono osservabili del sistema, allora cè unosservabile C rappresentata da C : [2] (c) Se A è limitato, il sistema è in uno stato P è il proiettore sullo stato, e il valore medio < Tr(P è simbolizzato da, allora vale [3]

47 Indichiamo ora i valori di A, B e C con v(A), v(B), v(C) rispettivamente e consideriamo una variabile nascosta V che li determini. Nellottica di una teoria che assegna valori definiti a tutte le variabili fisiche, i valori medi misurati dalla MQ saranno medie sui vari valori nascosti ma definiti v(A), In generale però, i valori medi banali, identificati con i valori posseduti V = v(A) non coincideranno con [4] Se però richiediamo che anche gli V obbediscano alla regola lineare [3] che vale per i valori medi, abbiamo [5] v(C) = αv(A) + βv(B).

48 La [5], insieme alle altre, è unassunzione indispensabile del teorema di von Neumann contro la possibilità di variabili nascoste o contro lesistenza di stati a dispersione nulla, dove la dispersione è definita come il valor medio delloperatore (B - ) 2, ovvero la media pesata con la probabilità |c j | 2 del quadrato dello scarto tra lesito b j e il valor medio di B. Assumendo infatti che i c i i ; e che B i =b i i

49 Il teorema, che non vedremo in dettaglio (cfr., I fondamenti matematici della meccanica quantistica, capitolo 4, Il Poligrafo, 1998) è logicamente corretto, e se fossero vere le premesse, la conclusione sarebbe ineccepibile Il punto è che la [5] è irragionevole quando le tre osservabili in questione non formano un insieme compatibile, ovvero simultaneamente misurabile. Il primo ad aver mostrato perché la [5] è irragionevole nel caso di operatori non simultaneamente diagonalizzabili è stato J.S. Bell nel 1966, dando il seguente semplicissimo controesempio con le componenti di spin lungo x e y, che come noto, obbediscono alla relazione [6] [ x, y ]=2i z e permutazioni cicliche di queste

50 Controesempio di J.S. Bell Sia A = σ x e B = σ y, allora loperatore C C = (σ x + σ y )/2 1/2 corrisponde allosservabile della componente dello spin lungo la direzione che biseca langolo dato da x e y. Poiché tutte le componenti dello spin, in opportune unità di misura, hanno come valori possibili solo ±1, ne segue che una teoria a variabili nascoste deve assegnare ad A, B, C solo i valori ±1, e lo stesso deve fare con i valori certi che le osservabili assumono come funzioni delle variabili nascoste (valori medi triviali). Questo implica che la (5) non possa essere soddisfatta, dato che Nulla impone che gli autovalori della somma dei due operatori, che coincidono con i valori v(A), etc, siano combinazione lineare degli autovalori dei componenti

51 Come afferma Bell: A measurement of a sum of noncommuting observables cannot be made by combining trivially the result of separate observations on the two terms – it requires a quite distinct experiment. For example, the measurement of x must be made with a suitable oriented Stern-Gerlach magnet. The measurement of y would require a different orientation, and that of ( x + y ) a third and different orientation…There is no reason to demand it [addivity] individually of the hypothetical dispersion free states, whose function is to reproduce the measurable peculiarities of quantum mechanics when averaged over. (Bell, Speakable and unspeakable in QM, 1987, p.4)

52 A causa dellenorme prestigio di von Neumann, questo teorema contro la possibilità di variabili nascoste fu ritenuto per vari anni la prova decisiva dellimpossibilità del determinismo, fino a quando Bohm nel 1952 e poi Bell nel 1964 ne mostrarono linfondatezza, o meglio, la mancanza di generalità, il primo con un controesempio costituito da una nuova teoria fisica, il secondo con largomento appena visto. Gleason (1957) e Kochen-Specker (1967) rimediano a questo problema supponendo che la [5] valga solo per osservabili compatibili, fatto che non è messo in discussione nemmeno dai teorici delle variabili nascoste.

53 I fondamenti concettuali e le implicazioni epistemologiche della teoria 1)Il principio di sovrapposizione: è il cuore della meccanica quantistica e per Dirac (The Principles of Quantum Mechanics, 1930, pp.10-18) rappresenta la maggiore differenza con la meccanica classica. Esso afferma che dati due stati possibili di un sistema, e ogni loro combinazione lineare a + b con due arbitrari scalari a e b è ancora un possibile stato del sistema. 2) Abbiamo già visto che a causa della linearità dellequazione di Schroedinger, levoluzione temporale U di una combinazione lineare di stati (o di una sovrapposizione di stati) è la combinazione lineare delle evoluzioni temporali dei singoli stati della sovrapposizione U( = U(a + b aU ( + b U(

54 Completezza della descrizione quantistica: ogni elemento della realtà fisica è colto dal formalismo della teoria: every element of the physical reality must have a counterpart in the physical theory (EPR, Phys Rev.1935 p.777) Nellinterpretazione standard, il formalismo viene considerato come completo. Ovvero la conoscenza del vettore di stato (uno stato puro) viene considerata come massimale, per cui linformazione che esso contiene è completamente esauriente. Sia lo stato del sistema preparato con spin lungo x uguale a +1, che è la combinazione lineare dei due autovettori relativi a z

55 La teoria afferma che è solo quando lo stato del sistema (un elettrone, per es.) è in un autostato dellosservabile (spin x=+1 nellesempio) che possiamo attribuire probabilità 1 allesito di misura, dato da x EPR codificano questo requisito affermando il loro principio di realtà, che è una condizione sufficiente per lesistenza di proprietà indipendentemente dalla misura e dunque di proprietà oggettivamente possedute: Se, senza disturbare in alcun modo un sistema, possiamo prevedere con certezza (cioè, con probabilità uguale a 1) il valore di una quantità fisica, allora esiste un elemento di realtà fisica che corrisponde a questa quantità fisica (Einstein, Podolsky Rosen ibid., 1935, 777) Se la condizione di EPR è anche necessaria, allora se la proprietà è posseduta prima della misura (se esiste un elemento di realtà) il sistema è in un autostato dellosservabile in questione.

56 Ci si può chiedere se il nostro elettrone possiede anche una proprietà di avere spin definito lungo z oltre a quella data di avere spin nella direzione x. Nel caso della sovrapposizione di due autovettori di spin z, si può mostrare che non è così. Se linsieme di risultati E fosse quantisticamente inomogeneo, una miscela, avremmo la probabilità epistemica che un sistema individuale scelto a caso abbia probabilità ½ di avere spin z = 1 e ½ di avere spin z=-1, dove gli autostati del sistema potrebbero essere a z e b z e si potrebbe pensare che ogni membro individuale dellinsieme possiede oggettivamente un preciso valore per losservabile spin lungo z, cosicché una percentuale p + =1/2 dei sistemi siano nello stato a z e il resto nello stato b z (con p - =1/2). Poiché ogni membro dellinsieme E è in uno di questi due stati, lo sviluppo di questi stati in termini degli autostati di x è

57 Entrambi questi stati danno probabilità ½ per i due possibili esiti di misura, contro lipotesi che lo stato del sistema sia tale che la probabilità di trovare x =1 è 1. Ne segue che non è possibile che il sistema abbia valori definiti per z e che sia in una miscela di stati rispetto a z se è in uno stato definito rispetto a x Ne segue che nello stato di sovrapposizione, il + che lo caratterizza non è interpretabile con una disgiunzione, che andrebbe bene per le miscele: non è vero che il sistema è o in uno stato o nellaltro, e nemmeno che non è in nessuno dei due stati. In un certo senso il sistema è in entrambi gli stati, anche se nella misura ne troviamo solo uno dei due, visto che gli stati sono ortogonali. Questo argomento vale per osservabili non commutanti, come sono le due componenti di spin lungo x e lungo z. E quindi possibile distinguere sperimentalmente uno stato puro (sovrapposizione) da una miscela statistica

58 Unaltra importante implicazione concettuale è tratta da Ghirardi (1996, p. 401) la teoria implica che non si possano attribuire troppe proprietà a un sistema fisico individuale: se la particella ha, per esempio, la proprietà di avere un preciso spin lungo lasse x allora non possiede proprietà relative alla componente dello spin in altre direzioni. Il fatto che nel caso classico possa essere impossibile conoscere perfettamente lo stato del sistema non implica che questultimo non abbia proprietà definite per ogni stato che definisce in modo massimale il sistema stesso. E per questo che le probabilità di cui parla la fisica classica sono epistemiche o dipendenti dalla nostra ignoranza. Ecco la differenza, secondo linterpretazione standard, con la MQ. Due osservazioni che qualificano questa asserzioni di Ghirardi: Per i bohmiani, tutte le probabilità della MQ non relativistica sono epistemiche. Ma la teoria bohmiana della MQ relativistica è non ancora sufficientemente sviluppata… Lassunzione che per un qualunque stato esiste sempre unosservabile di cui tale stato è autovettore con un preciso autovalore ci garantisce però che il sistema possiede sempre qualche proprietà in modo oggettivo. Ciò è evidente nel caso di una particella in un arbitrario stato di spin : è sempre possibile trovare una direzione n rispetto alla quale è autovettore con autovalore 1 (G. p. 402)

59 Il dibattito Bohr Einstein e le sue varie fasi

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62 La posizione filosofica di Bohr La preminenza del linguaggio della fisica classica: poiché gli eventi del mondo quantistico devono essere amplificati da apparati classici, la fisica classica rimane un prerequisito per poter parlare del mondo quantistico Per Bohr i microsistemi esistono (egli è un realista sulle entità, ma un antirealista sulle teorie): le proprietà non dinamiche dei microsistemi, massa carica e spin sono intrinseche ad essi, ma il possesso di quelle dinamiche è puramente relazionale e dipende dallesperimento che intendiamo condurre

63 Il principio di complementarietà (in base al quale i concetti della fisica classica, se applicati al mondo quantistico, sono mutuamente esclusivi e congiuntamente esaustivi) per Bohr vale per ogni dominio dellindagine empirica, anche in biologia e nelle scienze umane (I quanti e la vita). La complementarietà (mutual exclusive and jointly exhaustive) non riguarda tanto e solo laspetto onda e corpuscolo applicato allontologia della MQ ma ha a che fare anche e soprattutto con la complementarietà tra descrizione spazio-temporale del mondo e lapplicazione delle leggi causali di conservazione: il contrario di una verità profonda è ancora una verità profonda. Ecco una buona sintesi del principio di complementarietà di BohrMatter should be regarded as having potentialities for developing either comparatively well-defined causal relationships between poorly defined events or comparatively poorly defined causal relationships between comparatively well-defined events, but not both together. (Bohm, Quantum Theory, 1951, p.157).

64 Molti dei cosiddetti problemi filosofici della MQ per Bohr sono dovuti allapplicazione al mondo quantistico di categorie classiche che funzionano solo in un altro ambito (appunto quello classico). In questo senso il linguaggio della fisica classica è la condizione trascendentale per poter parlare del mondo quantistico. E la misura diventa una categoria essenziale della fisica Mentre Ghirardi sottolinea, in modo forse eccessivo, il debito di Bohr nei confronti del neopositivismo logico (=enfasi sul linguaggio), in realtà nel suo pensiero cè anche una certa componente kantiana, soprattutto considerando quel che si è appena scritto sulle condizioni sine quibus non. Il mondo quantistico considerato in sé è un noumeno, e se proviamo a descriverlo utlizzando categorie classiche prima e indipendentemente dallesperimento, otteniamo antinomie e contraddizioni.

65 Per Bell, la vaghezza della separazione tra classico e quantistico è il problema principale della interpretazione standard di Bohr Bohr ha due possibili risposte a questa critica, che è alla base della presentazione di teorie alternative alla MQ ortodossa: (1) non è possibile specificare in modo chiaro e una volta per tutte la separazione tra classico e quantistico, dato che la distinzione è irrimediabilmente vaga e contestuale, ovvero dipende dallesperimento in questione; (2) lo strumento di misura classico e il microsistema quantistico sono non-separabili a causa del quanto di azione, che lega, nella sua indivisibilità, i due sistemi in ogni scambio energetico. Si noti però che la seconda risposta sembra suggerire un trattamento unificato del micro e macro, che Bohr non ritiene possibile

66 Bohr e il realismo scientifico Il ruolo indispensabile dellindivisibilità del quanto dazione: ogni correlazione tra microsistemi e macrosistemi (interazione causale) lo presuppone, ma per Borh la sua discontinuità, o atomizzazione, rende impossibile la descrizione nello spazio e nel tempo dellinterazione stessa. E a causa dellindivisibilità del quanto di azione (energia x tempo) che non possiamo assegnare energia e momento ben definiti a un sistema da una parte e simultaneamente descriverlo spazio-temporalmente dallaltra: in più, i due sistemi non hanno realtà indipendente. A causa della finitezza del quanto di azione, segue infatti che poiché nellosservazione dei fenomeni [atomici], non possiamo trascurare linterazione tra loggetto e lo strumento di misura, la questione delle possibilità di osservazione viene di nuovo in primo piano. Così, qui incontriamo, in una nuova luce, il problema delloggettività dei fenomeni, che ha sempre attatto così tanta attenzione nelle discussioni filosofiche (Bohr, 1929, Il quanto di azione e la descrizione della natura, citato in Faye, p.137) Due letture di Bohr sul ruolo della Y. Bohr viene a volte presentato come un antirealista sulla teorie: la funzione di una teoria fisica è solo quella di specificare predizioni empiriche su ciò che si può osservare; la Y non descrive nulla, anche se le particelle esistono.

67 Daltra parte, in unaltra interpretazione del pensiero di Bohr, Bohr e i fisici che lo seguono ritengono che la MQ sia completa, ovvero che il vettore di stato fornisca una descrizione accurata e completa della realtà fisica di un sistema, malgrado tale descrizione non assegni valori simultaneamente definiti a grandezze come posizione e momento o tempo e energia, o a grandezze in sovrapposizione. Ciò significa che, come abbiamo visto molte volte, uno stato quantistico di sovrapposizione come questo (che se valesse linterpretazione a ignoranza si riferirebbe al fatto che cè una pallina o nella scatola A o in B ma noi non sappiamo dove) implica invece che prima della misura la pallina non è né in A né in B, né in nessuna delle due e che quando guardiamo è trovata in A o in B con probabilità 1/2

68 Cioè, linterpretazione a ignoranza o epistemica delle probabilità quantistiche in questo senso non funziona, perché in uno stato scritto così ci sono effetti di interferenza: le proprietà disposizionali di uno stato in sovrapposizione non sono quelle tipiche di uno stato in cui la pallina è definitamente in A o in B. Nella misura in cui cè una certa tensione tra il sostenere che una teoria non ha capacità descrittiva e il sostenere che essa è completa, Bohr non può essere descritto come un antirealista sulle teorie (contro Jan Faye, Niels Bohr, His heritage and legacy, Kluwer)

69 Ripasso Le relazioni di indeterminazione di Heisenberg Ricordiamo che lo scarto quadratico medio di A è Il prodotto dello scarto o indeterminazione delle due quantità A e B per un insieme statistico associato a uno stato puro sarà allora Poiché gli operatori A- e B- sono entrambi simmetrici, si possono portare a destra del prodotto scalare Questo passaggio dipende dalle proprietà del prodotto scalare e dal fatto che il modulo di un numero complesso è maggiore del modulo della parte immaginaria

70 Indicando con le parentesi graffe il commutatore tra A- e B- si ha Poiché e sono numeri, essi commutano con qualunque operatore, ciò che spiega perché lespressione a sinistra nella formula qui sopra si riduce a quella a destra. Per es., poiché il commutatore tra posizione e quantità di moto vale ih/2 si ha In relatività lo spazio x è legato al tempo t come limpulso p è legato allenergia E

71 Lindeterminazione tempo-energia implica la conservazione dellenergia. Se lo stato del sistema coincide al tempo t=0 con un autofunzione propria dellenergia, ovvero se (0)= j ove H| j> = E j | j > allora il sistema evolve in questo modo: in cui lesponenziale è loperatore unitario (al posto dellhamiltoniana H abbiamo messo il suo valore E j ). Ciò implica che la probabilità di trovare lesito E j in una misura dellenergia è 1. Ma se lenergia è perfettamente definita, allora il tempo è indeterminato, cioè lenergia si mantiene uguale a se stessa assai a lungo.

72 Heisenberg non derivò le sue relazioni nel modo visto ma propose argomenti più qualitativi. (Ghirardi,1997, pp 413-4) Immagine geometrica del foro di ampiezza x: non conosciamo la posizione della particella lungo x ma la componente verticale del momento p x è perfettamente definita, perché è nulla z x Se restringiamo lampiezza della fenditura fino a renderla paragonabile a quella della lunghezza donda =h/p associata allelettrone, allora abbiamo unindeterminazione piccola della posizione x dellelettrone, ma il suo momento p x è non nullo a causa della diffrazione (immagine allargata del foro), in modo che il prodotto x p x > h/4 diffrazione

73 z =-1 z = +1 x =+1 x =-1 Spin e indeterminazione Le proiezioni di lungo gli assi degli autovettori danno, attraverso il quadrato dei loro moduli, la probabilità di ottenere i vari esiti per losservabile spin. Nella figura, tutte le proiezioni sono non nulle

74 z = +1 x =+1 x =-1 z = -1 Per rendere quasi determinato il valore di z si deve partire da uno stato quasi parallelo ai due autovettori di z (un suo autostato), ma in questo caso le due componenti di x tendono a (2) 1/2 /2 e si ha dunque una massima indeterminazione per losservabile x (e viceversa). Il valor medio tra i due soli esiti (1 e –1) è 0, = 0, mentre lo scarto quadratico medio vale, secondo la formula già vista, proprio 1, che è il massimo x [ p i ( a- ) 2 ] 1/2 = 1/2 1/2(1-0) 2 + 1/2(-1-0) 2 ] 1/2 = 1

75 Capitolo 6 Le critiche di Einstein alla meccanica quantistica, ovvero il dilemma tra incompletezza e non- località

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77 your formulation of quantum mechanics is certainly imposing…but an inner voice tells me that it is not yet the real thing (Einstein a Born 1926, 91) Nel 1927 (5 conf. Solvay), E. avanza due interpretazioni della r) o dellonda De-Broglie-Schroedinger, che in questo esperimento si suppone colpisca la lastra fotografica simultaneamente ma che poi si trova localizzata in un punto specifico r, di cui la | r) | 2 determina solo la probabilità, in funzione dellintensità dellonda in quel punto. Sorgente e - Pellicola fotografica semisferica

78 I) incompletezza della teoria, ovvero, la meccanica quantistica non descrive i processi singoli di diffrazione dellonda e poi di localizzazione, ma si riferisce a insiemi statistici di particelle non tutte nello stesso stato, ognuna delle quali con condizioni iniziali diverse. Le probabilità sarebbero allora epistemiche e i punti di localizzazione si riferirebbero alla probabilità che in r ci sia qualche particella dellinsieme; II) non-località: la meccanica quantistica descrive processi singoli ed è quindi completa, ma londa elettronica si trova in un istante su tutta la lastra e listante successivo è localizzata in un punto, in contraddizione con la relatività, dato che ogni singolo processo elementare deve agire simultaneamente su due o più punti distinti dello schermo, con un meccanismo che fa andare a 0 lampiezza in tutti i punti del fronte donda tranne che in uno. Le due ipotesi

79 Se | r)| 2 fosse semplicemente considerata la probabilità che un processo elementare si trovi in un certo luogo a un certo istante, potrebbe succedere che lo stesso processo elementare agisca in due o più punti dello schermo. Ma linterpretazione secondo la quale | r)| 2 esprime la probabilità che questa particella si trovi in un certo luogo presuppone un meccanismo molto particolare di azione a distanza che impedirebbe allonda distribuita in modo continuo nello spazio di agire in due luoghi dello schermo…Se si lavora soltanto con le onde di Schroedinger, linterpretazione II di | r)| 2 implica a mio avviso una contraddizione con il postulato di relatività Einstein in Bohr, Collected Works, vol. 6, p. 102 Molti storici hanno insistito non su questo dilemma, ma sulle critiche di Einstein al principio di indeterminatione di Heisenberg. Come sono connessi questi due fatti? Vediamo la critica al principio di Heisenberg

80 Le critiche di Einstein (al principio di indeterminazione?) (1927) S1S2 Un fascio monocromatico (con particelle di uguale impulso iniziale sparate una alla volta) investe uno schermo mobile: applicando la conservazione del momento, si potrebbe determinare in quale fenditura passa la particella in S2, senza distruggere linterferenza. Si violerebbe così il principio di indeterminazione di Heisenberg: se il primo schermo si sposta verso il basso, la particella andrà verso la fenditura in alto di S2, e viceversa z

81 E solo linterazione delle particelle con S 1 che può deviare la loro traiettoria, visto che prima avevano momento perpendicolare nullo (p z =0). In linea di principio, anche se praticamente è quasi impossibile, è possibile per Einstein misurare il rinculo dellapparecchio verso lalto o verso il basso senza influire sul moto della particella e stabilire quindi per quale fenditura questa passa. Bohr risponde che o si fissa S1 ad una base, e allora si sa con precisione dove è la fenditura, oppure, per stabilire il verso del suo rinculo (in alto o in basso) si deve avere un schermo sospeso con molle e si deve poter misurare con estrema precisione la componente della velocità lungo z. Ma allora, a causa del principio di indeterminazione di Heisenberg, si deve avere una corrispondente indeterminatezza nella posizione dello schermo lungo z. Si deve allora mediare su tutte le posizioni dello schermo S1 che rientrano nella indeterminazione della posizione, ciò che corrisponde a fare una media di tutte le possibili figure di interferenza che corrispondono ad ogni posizione. Fare tale media comporta distruggere la figura di interferenza!

82 Scrive Bohr: risulta decisivo che, contrariamente ai veri e propri strumenti di misura, questi corpi [vale a dire il diaframma S1], assieme alle particelle, costituirebbero, nel caso in esame, il sistema cui deve applicarsi il formalismo quantistico. Per quanto riguarda la precisazione delle condizioni sotto le quali si può correttamente applicare il formalismo, risulta essenziale che si tenga conto di tutto il dispositivo sperimentale (cit. in Ghirardi, p.426). Si noti che però Bohr, che respinge lobiezione di E., considera il diaframma macroscopico S1, solo perché utilizzato nella misura, come tale da cadere sotto lapplicazione del formalismo quantistico. Sebbene sia un corpo chiaramente di dimensioni che rientrano nella fisica classica. Il suo argomento potrebbe essere difeso affermando che solo un corpo quantistico può misurare il rinculo. Ma questa risposta esige di sapere a quali scale possiamo usare la fisica classica e a quali no: e questo è proprio il problema posto dalla tutta la filosofia di Bohr.

83 Ambiguità della separazione classico/quantistico (J. Bell). Bohr direbbe, con termine più benevolo, constestualità della separazione. Il punto è che se tutti i sistemi fisici, anche quelli macroscopici classici, possono essere descritti dalla MQ, non ci si può più avvalere della separazione classico/quantistico per evitare il problema della misura. Per questo Bohr, conscio del problema, scrive:..si deve aver ben chiaro che – oltre che nella descrizione della disposizione nello spazio e nel tempo degli strumenti che formano lapparato sperimentale – luso non ambiguo di concetti spazio-temporali nella descrizione dei fenomeni atomici va interamente limitato alla registrazione di osservazioni che si riferiscono a immagini su una lastra fotografica o ad analoghi effetti praticamente irreversibili di amplificazione, come la formazione di una goccia dacqua attorno a uno ione in una camera a nebbia (Ghirardi, ibid.) La nozione di irreversibile (e non più di macroscopico) diventa sinonimo di classico

84 Ecco il legame tra il dilemma incompletezza/non-località non colto dagli interpreti e il principio di indeterminazione, legame che non si evince affatto dal resoconto di Bohr nel volume in onore di E. di Schilpp, che in parte non capisce la critica di Einstein. E questo punto non viene colto nemmeno da vari libri recenti su Bohr: il fatto essenziale è chela particella e il diaframma, sia per B che per E, sono un sistema composto, e in più inseparabile, a causa del fatto che tra le grandezze del sistema valgono le relazioni di indeterminazione di Heisenberg. Non possiamo dire che la particella ha una posizione definita se la velocità lungo z del diaframma è non nulla; viceversa, se la velocità lungo z della particella è non nulla, questo comporta che la posizione del diaframma sia indeterminata, proprio perché deve essere definito il suo momento verticale. Il punto centrale che muove E. a criticare il Principio di H. ha quindi a che fare con la non-separabilità di sistemi spazialmente distanti che obbediscano al principio di H. Bohr non capisce il legame tra principio di indeterminazione e non-separabilità, malgrado teorizzi e comprenda forse per primo la seconda. Ma la non-separabilità per Bohr riguarda le condizioni di possibilità dellattribuzione di una proprietà a un microsistema (è linevitabilità dellapparato di misura) e e non coinvolge minimamente la non-località spaziotemporale, che E. invece coglie molto bene per primo.

85 In un saggio non pubblicato del 1927, studiato da D. Belousek in SHPMP, 1996, 27, E. deriva una sorta di equazione di Hamilton-Jacobi quantistica, in cui lenergia cinetica complessiva del sistema è la somma dellenergia cinetica assegnata alle sue n componenti, e tale che la velocità di ogni componente è determinata a ogni istante e contribuisce allenergia complessiva del sistema. lassegnazione di moti completamente determinati a soluzioni dellequazione differenziale di Schroedinger è, almeno dal punto di vista formale, possibile tanto quanto lo è lassegnazione di moti determinati dellequazione di Hamilton-Jacobi della meccanica classica (Einstein, in Belousek 1996) Ma poi ritira la pubblicazione, perché si rende conto che due sottosistemi qualsiasi in questo schema sarebbero entangled, cioè il moto di uno dipenderebbe strettamente da quelle dellaltro e lui rifiuta tale non-separabilità non-locale.

86 Largomento di E. si può allora ricostruire così. Supponiamo che si misuri la velocità e il verso del moto di S1: allora, tramite il principio di conservazione dellimpulso, possiamo calcolare limpulso della particella lontana senza disturbarla; per il principio di H., la particella dovrà avere una posizione indefinita. Ma se avessimo invece deciso di misurare la posizione dello schermo dopo linterazione con la particella, avremmo reso indefinito limpulso della particella. Le due variabili non sono simultaneamente misurabili, naturalmente, ma come fa la realtà delle proprietà della particella lontana (posizione e impulso) a dipendere dal tipo di misura che decidiamo di effettuare sullo schermo, che può essere separato da intervalli di tipo spazio dalla particella?

87 Largomento della scatola e del fotone (Solvay 1930) La presentazione standard è la seguente: Einstein considera una scatola contenente radiazione elettromagnetica, dotata di un orologio che fa aprire una fessura dalla quale può uscire radiazione ad un tempo fissato. Se ipotizziamo che idealmente T 0, e che dallapertura sia uscito un solo fotone, pesando la scatola prima e dopo la fuoriscita della particella, mediante la formula E= mc 2 si può determinare, oltre al tempo, anche lenergia emessa dalla scatola attraverso lespulsione del fotone, in contraddizione con la formula dellindeterminazione tempo-energia T > h/2, ( 1 )

88 Ghirardi, Unocchiata alle carte di Dio, p. 145 La risposta di Bohr utilizza il principio di equivalenza della Relatività generale. Al solito, per determinare il peso della scatola, la velocità lungo la verticale dellindicatore deve essere nulla, e quindi si finisce con lavere una posizione lungo la verticale assai indefinita. Questa incertezza si traduce in una indefinitezza del peso, e perciò dellenergia Unruh e Opat, nellAmerican Journal of Physics, 1979, mostrano che la risposta di Bohr può evitare il ricorso al principio di equivalenza, che sfrutta lincertezza nella posizione dellorologio per affermare che diventa incerta la sua quota e quindi la scansione temporale dellorologio

89 Come risposta, Bohr deriva la disuguaglianza (1) Bohr usando queste formule: E = m c 2, (2) p q > h, (3) p < Tg m, (4) T/T= (1/c 2 )g q. (5) Sia T lintervallo corrispondente al tempo necessario per le procedure di peso, m laccuratezza nella procedura di peso. Limpulso m v= p

90 Spieghiamo la (5):g q è energia potenziale, nel nostro caso, differenza di potenziale legata allincertezza nella posizione; il red-shift gravitazionale implica che lorologio posto in basso nel campo gravitazionale vada più lentamente. Nellesperimento di Briatore e Leschiutta (1975), si trovò che un orologio a Torino dopo 68 giorni perdeva 2, s. rispetto a quello sul Plateau Rosa. Se l è la differenZa di quota, la differenza tra gli intervalli di tempo è data dalla formula T- gl/c 2 )

91 Un critica contemporanea allesperimento mentale del fotone nella scatola Indeed, if the shutter is open during a vanishing time interval (for just one photon to escape, Einstein thought) then the electromagnetic pulse must be very sharp, ideally a Dirac delta. According to classical electrodynamics, the Fourier components of such a pulse involve a wide spectrum of frequencies. Therefore the electromagnetic pulse does not have a precisely defined frequency. On the other hand the unique escaping photon should have, according to Einstein, a precisely defined energy, that is, a precisely defined frequency (E = h ) in contradiction with the sharp pulse. At least in 1949, Einstein was well aware of this contradiction as he stated that...indivisible point-like localized quanta of the energy h (and momentum h /c)...contradicts Maxwells theory [6]. We know today that the photon concept is compatible with Maxwells theory provided that we abandon the simultaneous requirement of point-like localization and precise energy-momentum. (de La Torre et. al. 1999, arXiv:quant-ph/ v1 8 Oct 1999 ). Per gli autori, il fotone ipotizzato da Einstein non può esistere

92 This is a hybrid set involving classical mechanics (4), special relativity (2), quantum mechanics (3) and general relativity (5). … this hybrid mixture is precisely the root of the weakness of the argument... However, in order to provide a proof of the inequality, the relations (2) to (5) must be valid and the symbols used in these formulas must have the same meaning as the one in the inequality (1). We will see that these two requirements are not satisfied by Bohrs reply ( de La Torre et. al. 1999, arXiv:quant-ph/ v1 8 Oct 1999) In Bohrs reply to Einstein, T is the interval of balancing procedure, m is the weighing... accuracy, q is the position... accuracy and p is the minimum latitude in the control of the momentum of the box. In these definitions there is a mixture of classical uncertainties and quantum indeterminacies. (de La Torre et. al. 1999, arXiv:quant- ph/ v1 8 Oct 1999)

93 The first difficulty that we find with Bohrs argument is that the symbol T has not the same meaning in the set of relations (2) to (5) as in relation (1). In Einsteins argument, T is the indeterminacy in the moment of escape of the photon (more precisely, the time-width of the electromagnetic pulse) and in Bohr it means the indeterminacy in the balancing time of the box during the weighing procedure. These indeterminacies need not be the same. The weighing of the box can, indeed, be made a long time after the escape of the electromagnetic pulse. We have here sufficient reason to take Bohrs reply as inconclusive. (de La Torre et. al. 1999, arXiv:quant- ph/ v1 8 Oct 1999)

94 Ma anche in questo caso, il punto che stava a cuore ad Einstein è completamente diverso: riguardo allincontro Solvay del 1930, gli storici hanno troppo insistito sulla ricostruzione di Bohr. In una lettera di Eherenfest a Bohr del leggiamo: [Einstein] mi disse che già da molto tempo non dubitava più delle relazioni di indeterminazione, e che perciò egli non aveva assolutamente inventato la scatola a lampo di luce pesabile contra le relazioni di indeterminazione, ma per uno scopo completamente diverso In Howard D. (1990), Nicht sein kann was nicht sein darf or the prehistory of EPR, , in Sixty-Two Years of Uncertainty, a cura di A. I. Miller, New York, Plenum Press

95 Vedi Laudisa (1998), p. 46: nella stessa lettera Ehrenfest descrive una variante dellesperimento della scatola a fotone pesabile, in cui una macchina emette un proiettile, che viene riflesso da uno specchio posto a grande distanza (separazione di tipo spazio). Dopo lemissione, lavorando solo sulla macchina, è possibile predire due valori non commutativi, a seconda di ciò che scegliamo di misurare Dice Ehrenfest: E interessante chiarire il fatto che il proiettile, che si muove già isolato e per conto proprio, deve essere pronto a soddisfare predizioni non commutative molto diverse, senza sapere ancora quale di queste predizioni verrà fatta.

96 Ovvero potrei misurare il tempo di andata e ritorno del proiettile o la sua energia, senza in alcun modo influenzarlo. Devo quindi assumere che entrambe le quantità sono misurabili, a meno di non far dipendere la realtà delle proprietà del proiettile da ciò che faccio sulla scatola, a distanza. In nuce, cè EPR, e comunque di nuovo la questione della non-separabilità tra macchina e proiettile, che invoca il problema della completezza. Se scegliessi di misurare losservabile E sulla macchina avrei una funzione donda pro di un certo tipo, senza influenzare la realtà a distanza del proiettile a causa del postulato di relatività; ma se scegliessi di misurare T, avrei una funzione donda diversa pro, senza che la realtà a distanza del proiettile sia modificata. Poiché esistono due diverse rappresentazioni della medesima realtà, il rapporto tra funzione donda e sistema rappresentato non è biunivoco ed esiste dunque incompletezza, nella misura in cui per la completezza la biunivocità tra funzione donda e realtà è CNES (cè un elemento di realtà che non è descritto dalla teoria, che si riferisce allo stesso elemento).

97 Capitolo 4 Il problema della non- località nella MQ

98 Largomento EPR-Bohm-Bell 1 Stati Entangled 2 Esposizione qualitativa di EPR 3 Dimostrazione del teorema di Bell 4 Risultati sperimentali 5 Conseguenze concettuali e implicazioni filosofiche

99 7.1 Stati entangled Io considero lentanglement non uno ma il tratto più caratteristico della meccanica quantistica, quello che implica il suo completo distacco da qualsiasi concezione classica E. Schroedinger

100 Stati fattorizzati e non fattorizzati (Ghirardi p. 430 e ss) Uno stato fattorizzato è uno stato dello spazio composto H che risulta il prodotto diretto (o tensoriale) di stati appartenenti ai sistemi componenti H 1 e H 2 : Nello spazio H associato al sistema composto esistono anche stati non fattorizzati, che corrispondono a combinazioni lineari di stati fattorizzati in cui i fattori sono autovettori con autovalori distinti. Il problema concettuale principale in questo contesto è se e quando è possibile attribuire proprietà definite o oggettive ai componenti di uno stato non fattorizzato di H. Se lo stato fattorizzato ha come fattori autovettori di osservabili A e B relative ai sistemi componenti, allora i componenti possiedono proprietà oggettive.

101 Se lo stato fattorizzato è F = e allora gli stati componenti posseggono le proprietà a i e b j indipendentemente da un processo di misura, dato che F è autostato di e di (ciascun prodotto tensore è un operatore autoaggiunto relativo a H) con gli autovalori sopra riportati. Se, dato un qualsiasi stato di uno spazio di Hilbert esiste sempre un operatore autoaggiunto di cui esso è autostato e se si assume che ogni operatore autoaggiunto rappresenti unosservabile, allora può concludersi che nel caso di un sistema fisico individuale (…) associato a uno stato fattorizzato, i costituenti del sistema possiedono, ciascuno, una precisa proprietà oggettiva (Ghirardi p. 431)

102 Ecco uno stato puro entangled (verschraenkt) del sistema composto associato a H, in cui i fattori dei due termini della sovrapposizione risultano autovettori delle osservabili A e B con autovalori distinti. Abbiamo quindi una probabilità |a| 2 che dopo una misura i due sistemi componenti rivelino lautovalore a i per losservabile A e lautovalore b j per losservabile B (lato sinistro della sovrapposizione) e probabilità |b| 2 di rivelare invece gli autovalori a r e b s per il sistema associato a H (1) e H (2) rispettivamente ( con a e b diversi da 0 e 1) Ne segue che le due parti del sistema composto (il tutto) il cui stato è la sovrapposizione qui in alto non hanno proprietà oggettive o definite!

103 È solo se si suppone che (1) i e r siano autovettori relativi allo stesso autovalore c di un operatore degenere C (1) - cosicché i due autovettori appartengano alla stessa autovarietà - che il vettore di stato del sistema composto è un autostato di unosservabile e i componenti hanno proprietà definite Per un sistema composto in uno stato di sovrapposizione di due o più stati fattorizzati, i costituenti del sistema non hanno proprietà oggettive, anche se il sistema come un tutto ha sempre qualche proprietà (cè un osservabile di cui lo stato è un autostato). In generale, se si lascia evolvere liberamente uno stato fattorizzato dopo aver fatto interagire le sue parti, i costituenti perdono le proprietà definite e solo il tutto le mantiene nel senso visto.

104 Dato che tutto interagisce prima o poi con tutto il resto, le particelle che compongono il nostro corpo sono inestricabilmente entangled con tutto il resto delluniverso Luniverso indiviso di cui parlano Bohm e Hiley (1989) è una forma di olismo in cui solo la funzione donda che descrive luniverso ha una sua definitezza, mentre tutte le sue componenti non possiedono alcuna proprietà oggettiva Dunque non è vero, come spesso pensano i filosofi che non conoscono le scienze naturali ma ne pontificano spesso, che lolismo è una caratteristica che si ritrova solo nella mente o nelle scienze umane. Ovviamente, ci sono vari olismo: olismo delle credenze, del significato, della conferma (Duhem-Quine), e lolismo della MQ è diverso da questi altri tipi di olismo

105 In tutti i casi, nellolismo cè lidea che le proprietà delle parti dipendano da quelle delle altre parti o addirittura da quelle del tutto. A volte cè lidea che il tutto sia più della somma delle parti. Nel caso quantistico, lolismo ha vari significati, che apprezzeremo fino in fondo quando tratteremo la non-località. Per ora, cè lidea che le parti di un tutto che hanno interagito e che sono in uno stato non fattorizzato non possiedono proprietà definite prima della misura e le acquisiscono tutte insieme con una misura. ESERCIZIO (Si veda Ghirardi 1997, pp ) Dopo aver ricordato la generica forma di un generico vettore di spin semintero dimostriamo per esercizio che per ogni stato dello spazio di spin esiste sempre una direzione n tale che risulta autovettore delloperatore n che da la componente dello spin in quella direzione prescelta) con autovalore unitario n | +1 | n >. Scriviamo il nuovo operatore in funzione del versore n = (n x +n y +n z ), proiettando quindi le matrici di Pauli = ( x, y, z ) in quella direzione,ovvero facendo il prodotto scalare tra n e

106 Dopo aver moltiplicato entrambi i membri per i complessi coniugati di a e b, sommo membro a membro, ottenendo 1 a destra perché il vettore di spin è normalizzato

107 I coefficienti che moltiplicano le componenti del versore n (le espressioni tra parentesi) sono quindi(d x =2Re[ab*], d y = -2Im[ab*], d z =1-2|b| 2 ). Quadrando i coefficienti si ha d x 2 + d y 2 + d z 2 =1, come devessere per un vettore di spin Sostituiamo ora i valori di d nella matrice trovata z,, verificando quel che volevamo dimostrare, ovvero che esiste una direzione rispetto alla quale lo stato di spin di componenti generiche (a, b) è austostato con autovalore 1 (in unità di h/2 QED!

108 Troviamo gli autovettori z e z delloperatore z Sostituiamo i due autovalori trovati nella matrice di cui sopra

109 Scriviamo gli autovettori di z Poiché gli autovettori di z sono una base completa dello spazio di spin, possiamo esprimere gli autovettori di n come loro combinazione lineare In uno stato fattorizzato di un sistema composto, esistono per le ragioni viste una direzione relativa al primo e una al secondo componente, con autovalore +1, che ci consentono di dire che F è autostato di entrambe e i componenti hanno proprietà di spin definite

110 In questo stato di singoletto, si ha uno stato entangled, e si ha probabilità ½ di trovare la prima particella con spin lungo z in su e la seconda con spin lungo z in giù, e ½ di trovare la situazione opposta (la prima particella con spin lungo z in giù e la seconda con spin lungo z in su). Queste conclusioni valgono per qualunque direzione n si scelga: come si può verificare prima sostituendo alle espressioni per n e n le espressioni trovate nella pagina precedente e poi facendo i prodotti tensori che così si trovano

111 Condizione di realtà di EPR Se, senza disturbare in alcun modo un sistema, è possible prevedere con certezza (vale a dire, con probabilità pari a 1) il valore di una quantità fisica, allora esiste un elemento di realtà fisica che corrisponde a questa quantità Condizione di località di EPR Gli elementi di realtà fisica di un sistema non possono essere influenzati istantaneamente a distanza 4.2 Esposizione qualitativa di EPR A B a b A e B sono separati da intervalli di tipo spazio, ovvero non sono connettibili da alcun segnale, nemmeno dalla luce

112 posizionate in due zone A e B distanti nello spazio, in cui ci siano due apparati misuratori dello spin, e assumiamo la condizione di (i) realtà di EPR e di (ii) completezza. Allora il fatto di poter prevedere con certezza pari a 1, e prima di eseguire la misura, che cosa si otterrà dallaltra parte dellesperiemento, basta, in base alla condizione di realtà esplicitata nella pagina precedente, a concludere che esiste un elemento di realtà oggettiva e definita che la teoria ufficiale non descrive, dato che lo stato qui sopra è puro, ed è uno stato di sovrapposizione privo di proprietà relative allo spin lungo una direzione. Ne segue che o la MQ è non locale o incompleta ed EPR optano per la incompletezza, senza proporre alcuna teoria Prendiamo due particelle a e b in uno stato entangled:

113 È tra i risultati più importanti della fisica della seconda metà del 900, e non solo da un punto di vista concettuale e filosofica, visto che ha aperto la strada a numerosissimi esperimenti (vedi Entanglement di A. Aczel, Cortina editore, 2004, per una storia divulgativa degli esperimenti nati a partire dagli anni 70.) 7.3 Il teorema di Bell (On the EPR paradox, Physics 1, 1964)

114 Due particelle vengono sparate in direzioni opposte e misurate nelle regioni spazio-temporali A e B, separate da intervalli di tipo spazio. Sia il risultato di misura effettuato sulla prima particella in A, sia a la direzione spaziale in cui si effettua la misura e sia la eventuale variabile nascosta sia il risultato di misura in B effettuato nella direzione b sullaltra particella Il requisito di località di Bell è che la probabilità congiunta p AB di ottenere da una parte dellesperimento e dallaltra è dato dal prodotto delle due probabilità singolarmente considerate. Un altro modo per descrivere tale località è quello di affermare che gli eventi dati dai due risultati di misura sono probabilisticamente indipendenti luno dallaltro e il risultato di misura in A dipende solo dal parametro locale a e dalla variabile nascosta. Indichiamo con p( *a) la probabilità condizionata di ottenere il risultato se si misura nella direzione a e nessuna misura viene eseguita dallaltra parte (*). Analogamente per laltra probabilità. Si ha allora A B a b A e B sono separati da intervalli di tipo spazio, ovvero non sono connettibili da alcun segnale, nemmeno dalla luce

115 LB= p AB (a,b p A (a p B (b Questa formula rende precisa lidea originale di EPR che se cè località il risultato da un parte dellesperimento non deve dipendere da ciò che si misura dallaltra parte e addirittura dal fatto che si faccia una misura dallaltra parte. se un esperimento di tipo EPR-Bohm deve essere localmente spiegabile magari anche tramite variabili che completino la teoria standard, allora le probabilità dei risultati di misura alle due ali A e B dellesperimento devono essere statisticamente indipendenti. Per un semplice teorema del calcolo delle probabilità, ne segue che una qualsiasi teoria che intenda descrivere lo stato del sistema a+b in modo locale, deve assegnare una probabilità ai due eventi che sia uguale al prodotto delle probabilità assegnate ai due eventi di misura presi singolarmente.

116 posizionate in due zone A e B distanti nello spazio, in cui ci sono due apparati misuratori: uno che può misurare lo spin di a in direzione a o c, e il secondo che può misurare lo spin di b in direzione b o d. Prendiamo due particelle 1 e 2 in uno stato non fattorizzabile:

117 Consideriamo la quantità che esprime la differenza tra risultati discordi : E (a,b)= p AB (a,b;up, up)- p AB (a,b;up, down) - p AB (a,b;down, up)+ p AB (a,b;down, down) Per LB, si ottiene: E (a,b)= p A (a,*;up) p B (b,*;up)- p A (a,*;up) p B (b,*;down)- p A (a,*;down) p B (b,*;up)+p A (a,*;down) p B (b,*;down) Da cui: E (a,b)=[p A (a,*;up)- p A (a,*;down)] [p B (b,*;up)- p B (b,*;down)](1)

118 Ripetiamo il calcolo per la quantità per le due direzioni a (nella regione A) e d (nella regione B): E (a,d) = p AB (a,d;up, up)- p AB (a,d;up, down)- p AB (a,d;down, up)+ p AB (a,d;down, down) Che per LB diventa: E (a,d)= p A (a,*;up) p B (d,*;up)- p A (a,*;up) p B (d,*;down)- p A (a,*;down)p B (d,*;up)+ p A (a,*;down)p B (d,*;down) E quindi E (a,d)= [p A (a,*;up)- p A (a,*;down)] [p B (d,*;up)- p B (d,*;down)] (2) Sottraendo la quantità rossa da quella blu, ovvero la 2) dalla (1), si ottiene la (3) qui sotto: E (a,b)- E (a,d)= [p A (a,*;up)- p A (a,*;down)] [[p B (b,*;up)- p B (b,*;down)]- [p B (d,*;up)- p B (d,*;down)]] (3)

119 Ma p A (a,*;up)+ p A (a,*;down)=1, per cui p A (a,*;up)- p A (a,*;down)=1-2 p A (a,*;down) Poiché però 0< p A (a,*;down)<1, allora -1 < 1-2 p A (a,*;down) < 1 e dunque, prendendo il valore assoluto |1- 2 p A (a,*;down)|< 1(4) Poiché il valore assoluto del prodotto di due numeri è uguale al prodotto dei valori assoluti dei due numeri, applicando la (4), si ha: |E (a,b)- E (a,d)| = |1-2p A (a,*;down)| |[[p B (b,*;up)-p B (b,*;down)]-[p B (d,*;up)- p B (d,*;down)]]| |E (a,b)- E (a,d)| < p B (b,*;up)- p B (b,*;down)]- [(p B (d,*;up)- p B (d,*;down)]| (5)

120 Consideriamo adesso laltra direzione c lungo cui è possibile misurare la particella nellala A dellesperimento. Con lo stesso ragionamento si riottiene la (5) dellultimo lucido, con lunica differenza data dalla variabile c al posto di a e dal segno +: |E (c,b) + E (c,d)| < |[[p B (b,*;up)- p B (b,*;down)] + [p B (d,*;up)- p B (d,*;down)]]|(6) Sommando la (5) e la (6) si ottiene: |E (a,b)-E (a,d)| + |E (c,b)+E (c,d)| < |[[p B (b,*;up)- p B (b,*;down)] - [p B (d,*;up)- p B (d,*;down)]]| + + |[[p B (b,*;up)- p B (b,*;down)]+ [p B (d,*;up)- p B (d,*;down)]]| r s |E (a,b)-E (a,d)| + |E (c,b)+E (c,d)| < |r-s|+|r-s|

121 r-s r+srs r+s + r- s Positivo 2r PositivoNegativ o -2s Negativ o Positivo 2s Negativ o -2r Si noti che nella prima fila si ha r-s + r-s = 2r, nella seconda r-s –r-s = -2s, nella terza –r+s+r+s=2s e nellultima –2r. Ricordando che r = [p B (b,*;up)- p B (b,*;down) ], e s = [p B (d,*;up)- p B (d,*;down)] e che |1- 2 p A (a,*;down)|< 1 si ha che sia r che s sono minori o uguali a 1. Ne segue la DB: |E (a,b) - E (a,d)| + |E (c,b)+E (c,d)| < 2

122 La dimostrazione di Bell, però, vuole considerare la possibilità che una eventuale completamente locale della MQ sia governata da variabili che noi non possiamo controllare, e di cui, perciò, non conosciamo il valore se non in senso statistico. Perché la disuguaglianza appena provata valga anche per una teoria a variabili nascoste che riproduca le previsioni statistiche quantistiche, dobbiamo fare una media pesata della quantità che è argomento della disuguaglianza rispetto una distribuzione di probabilità su, che è poi lunica quantità fisicamente misurabile: In questo caso è la funzione che riproduce la distribuzione di probabilità che risulta dal procedimento di preparazione del sistema (7)

123 Dimostriamo che anche la media E(a,b) soddisfa la disuguaglianza vista prima, per cui |E(a,b)-E(a,d)| + |E(c,b)+E(c,d)| < 2 Per la dimostrazione, oltre alla (7), usiamo il fatto che la funzione è positiva e il suo integrale è unitario (è una probablità) e il fatto che lintegrale di un modulo maggiora il modulo dellintegrale:

124 Questa è la disuguaglianza di Bell nella forma di Clauser, Horne, Shimony e Holt (1969) Tale disuguaglianza è violata dalla MQ. In MQ le probabilità congiunte relative ai risultati delle misure in A e in B, relativi allangolo ab compreso tra le due direzioni a e b sono: p AB (a,b;up, up)= p AB (a,b; down, down)=1/2 sin 2 (ab) p AB (a,b;up, down)= p AB (a,b; down, up)=1/2 cos 2 (ab) Da cui si deriva che per la MQ: E (a,b) = 1/2 sin 2 (ab) + 1/2 sin 2 (ab) - 1/2 cos 2 (ab) -1/2 cos 2 (ab) =-cos (2ab)

125 Se applichiamo alla quantità E (a,b)-E (a,d) + E (c,b)+E (c,d) queste probabilità su determinati angoli a=0°, b=22.5°, c=45°, e d=67.5°, si ottiene un valore maggiore di 2, per cui si dimostra che le probabilità della MQ violano la disuguaglianza data. Bell, infine dimostra che la differenza tra E(a,b)=-cos(a-b) calcolato dalla MQ e E(a,b) calcolato da una teoria locale, non può essere resa arbitrariamente piccola. Per cui, conclude Bell, the quantum mechanical expectation value cannot be represented, either accurately, or arbitrarily closely, in the form On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox, J. S. Bell In Speakable and unspeakable in quantum mechanics.

126 Rimane in effetti ancora una possibilità che salverebbe la località della MQ. Si può ipotizzare che la semplice sistemazione dellapparato misuratore di A in posizione a, piuttosto che in c, influenzi il risultato della misura su B e che tale influenza sia locale. La sistemazione di un apparato misuratore, infatti, non è unoperazione eseguibile in un lasso di tempo abbastanza breve da poter cominciare dopo lemissione delle particelle e terminare prima del loro arrivo agli apparati- va dunque eseguita prima dellemissione delle particelle dalla fonte. Ciò significa che un segnale (un processo causale, uninformazione..) mandato dallapparato misuratore sino alle particelle (o sino allaltro apparato) avrebbe tutto il tempo di influenzare la misura allaltro capo dellesperimento mantenendo sempre una velocità al di sotto di quella della luce.

127 Cè quindi la possibilità, che la MQ sia una teoria di limitata validità: Essa si potrebbe applicare unicamente ad esperimenti in cui le sistemazioni degli strumenti sono fatte sufficientemente in anticipo per permettere ad essi di raggiungere qualche mutuo rapporto tramite scambio di segnali con velocità minore o uguale a quella della luce. Per dare una risposta definitiva a tale questione fu necessario aspettare sino al 1982, quando lesperimento di Alain Aspect falsificò questa ipotesi. Il risultato dellesperimento di Aspect è che le previsioni della MQ vengono nuovamente rispettate: questo esperimento è considerato la prova definitiva che la MQ non può subire un completamento locale.

128 7.4 Il significato concettuale del teorema di Bell e degli esperimenti ad esso seguiti

129 Si noti che la teoria a variabili nascoste considerata è del tutto generale, nel senso che fissa le probabilità dei risultati, e nulla impedisce che tali probabilità siano sempre 0 o 1, e si abbia dunque a che fare con una teoria deterministica. Nel caso in cui le disuguaglianze di Bell siano violate sperimentalmente, come effettivamente accade, si è così dimostrato che non può esistere una teoria a variabili nascoste (stocastica o deterministica che sia) che sia anche locale nel senso di Bell. Più in generale e tornando a EPR, ne segue che se lalternativa posta da EPR era tra completezza e località della MQ, qualunque teoria che riproduca le correlazioni quantistiche può essere completa solo se non- locale nel senso di Bell! La prova formale di questa asserzione è data nella pagina seguente. Ne segue, per esempio, che la luna cè solo se la si osserva, nel senso che se le proprietà di spin in una direzione non preesistono alla misura; piuttosto, esse sono create a distanza dalla misura, ovvero dallatto di osservare!

130 Molti fisici asseriscono che la violazione sperimentale delle disuguaglianze di Bell conferma la meccanica quantistica a scapito della teoria a variabili nascoste. Ma una teoria a variabili nascoste non-locale è compatibile con i dati sperimentali e non è refutata da questi. Inoltre, lipotesi di definitezza delle proprietà o realismo non è necessaria per ricavare le disuguaglianze stesse, cosicché anche la MQ è non-locale. 1)Anticorr 100% & LB Determinismo (dimostrata nella p. seguente) 2)Determinismo & LB Dis. Bell (teorema di Bell) 3)MQ -(Dis. Bell) 4) - Dis. Bell -Determinismo v –LB (dalla 2) nella seconda alternativa QED da 3 e 4,per cui esaminiamo solo la prima alternativa 5)-Determinismo -Anticorr 100% v –LB (dalla 1) ma la prima alternativa è falsa perché MQ implica Anticor 100% e rimane la seconda 6) MQ -LB QED

131 Se valgono le anti-correlazioni perfette, per una stessa direzione n, qualunque essa sia,non si hanno mai risultati identici, mentre è equiprobabile ottenere +1 a destra e –1 a sinistra o viceversa Dalla prima equazione a sinistra, applicando LB, e ricordando che i risultati sono 1 o –1, si ottiene che o è nullo o è nullo. Non sono nulli entrambi per le ultime 2 equazioni della pagina, ovvero non si può avere –1 da entrambe le parti con prob. 1, perché il prodotto deve dare 0

132 Dalla 1) e da questa eq. si ricava che seallora E quindi anche che In sintesi, dalla 1) si ricava che Ragionando sulla 2) nellidentico modo, si hanno le seguenti relazioni, che completano la dimostrazione: ogni probabilità relativa a una sola misura può quindi assumere solo i valori 1 e 0 e, nellipotesi di anticorr.100% e di LB, vale quindi il determinismo

133 Riassumendo, la disuguaglianza di Bell, che è tanto semplice matematicamente quanto concettualmente ricca, è deducibile solo da LB (la condizione di località di Bell) e dalle predizioni di anticorrelazione quantistiche. Poiché la disuguaglianza è violata sperimentalmente, se si vogliono riprodurre le predizioni di anticorrelazione, si deve abbandonare la non- località di Bell. In questo senso, qualunque teoria che riproduce le anticorrelazioni (e dunque anche la MQ ordinaria) è non-locale nel senso di Bell. È in questo senso che gli esperimenti hanno provato che la natura stessa è non-locale: un esempio di metafisica sperimentale

134 7.5 Non-località e segnali superluminale Ovvero, il rapporto tra QM e relatività speciale: coesistenza pacifica

135 Indichiamo con W (1,2) loperatore statistico relativo a un insieme composto S =S 1 +S 2 supponendo di avere a che fare con un insieme statistico (non omogeneo) di tali sistemi S. Restringiamo la nostra attenzione al sistema S 1 e ad una sua osservabile A 1, costruendo loperatore relativo al sistema composto A 1 I 2 con A operatore limitato di S 1 e I operatore identità di S 2. In generale, ricordiamo che per un operatore B limitato e uno stato puro si ha

136 Per una miscela di stati puri, ognuno dei quali ha probabilità p a,il valor medio di un operatore B è dato dal prodotto delle probabilità per i valori medi che possono assumeri i sistemi nei vari stati a = a p a = a p a Tr (P a B)=Tr(WB) Dove W= a p a P a Valutando la traccia su una base fattorizzata calcoliamo il valore medio o aspettato di S 1 I 2 Tr[(S 1 I 2 )W]= =

137 Loperatore W 1 tilde = j Come si vede, la fisica dellinsieme statistico di S 1 si può descrivere utilizzando loperatore statistico ridotto W 1 tilde, ottenuto facendo la traccia, nello spazio di Hilbert H 2, delloperatore statistico W 1,2 relativo allinsieme dei sistemi composti (ciò corrisponde a porre lo stesso indice e a sommare i valori degli indici del secondo sistema: vedi nota 23, p. 440, Ghirardi) è un operatore di H 1 Se S 1 è omogeneo, W 1,2 coincide con un proiettore P che proietta su uno stato monodimensionale

138 P 1 è loperatore di S 1 associato allo stato i. Poiché se lo stato non è fattorizzato lultima somma della pagina precedente contiene più di un termine, loperatore statistico W 1 non è idempotente, e quindi dal punto di vista del componente S 1 linsieme è come se fosse una miscela statistica, malgrado lo stato composto S sia puro. Ne segue che, per esempio, eseguendo misure solo su uno dei due stati di singoletto, non si può distinguere lo stato puro da unopportuna miscela di stati puri di spin, mentre le misure di correlazione sui due sistemi mostrano lentanglement. Tornando ora al nostro problema, sia P s la famiglia di proiettori di un operatore discreto: la misura trasforma loperatore statistico W prima nelloperatore W dopo = s P s W prima P s 5.4 Supponiamo ora di misurare S 2 e siano P s (2) gli operatori di proiezione sulle autovarietà corrispondenti: W 1,2 (misura) W# dopo 1,2 = s P s 2 W prima 1,2 P s 2 5.5

139 Daltra parte, sulla base di ciò che abbiamo visto in 5.3, qualunque informazione statistica relativa al sistema 1 si ottiene considerando loperatore statistico ridotto W# (1), ottenuto facendo la traccia parziale sullo spazio H 2 delloperatore statistico del sistema composto W 1,2 W# (1) =Tr (2) (W# dopo 1,2 ) = Tr (2) ( s P 2 s W 1,2 prima P 2 s ) = s Tr (2) (P 2 s W 1,2 P 2 s )= ciclicità traccia s Tr (2) (P 2 s P 2 s W 1,2 )= idempot P Tr (2) ( s P 2 s )W 1,2 = Tr (2) IW 1,2 = W 1tilde per la 5.3 Listantanea riduzione del pacchetto non consente effetti superluminali, visto che loperatore statistico W# (1) che si deve usare per valutare la probabilità di eventi fisici relativi a S 1 nel caso in cui laltro composto è stato assoggettato a misura è uguale alloperatore statistico W 1tilde che andrebbe utilizzato per la descrizione del sottosistema S 1 prima che si sia effettuata una misura.(Ghirardi p. 461). Si tratta quindi non di una azione ma di una passione a distanza

140 Per ciascuno di due osservatori ai lati di un esperimento di tipo Aspect, fatto con spin o con fotoni polarizzati, si ottiene una successione casuale sia che si misuri la polarizzazione e lo spin anche dallaltra parte sia che non si misuri: dunque cè una località di tipo statistico, perché dal tipo di successione che si ottiene da una parte o dallaltra (perfettamente random) non cè modo di sapere se laltro ha misurato oppure no. In altre parole, ciascun osservatore, non potendo controllare lesito delle misure, non può mandare segnali utilizzando la non-località.

141 Per concludere, osserviamo che la non località in questione NON può essere utilizzata per mandare segnali istantanei a distanza: ne segue che secondo molti studiosi (ma non tutti, vedi Maudlin, Quantum nonlocality and relativity) si può parlare di una coesistenza pacifica tra relatività speciale e meccanica quantistica, malgrado la violazione della località secondo Bell, ovvero malgado la non fattorizzabilità della probabilità di un sistema in stato di singoletto. La differenza che passa tra possibilità di segnalare e non- fattorizzabilità può anche vedersi come la differenza che cè tra la indipendenza dal parametro e la indipendenza dal risultato di misura. Se ci fosse dipendenza del risultato di misura in A dal parametro lontano in B, cambiando il tipo di misurazione potrei inviare segnali a distanza. La dipendenza probabilistica tra i risultati di misura implica invece solo una sorta di non-separabilità tra due sistemi posti in un certo stato, indipendentemente dalla distanza cui si trovano (questo rende la non-separabilità diversa dalla gravità nella meccanica newtoniana).

142 Capitolo 8 Il problema delle variabili nascoste

143 Nel 1952 Bohm mostrò che un completamento della meccanica quantistica non-relativistica, da von Neumann ritenuto impossibile, era invece realizzabile! Le variabile nascoste sono le posizioni delle particelle, che non sono così nascoste, visto che vengono rivelate da ogni misura. Le posizioni sono le uniche osservabili non contestuali, mentre tutte le altre proprietà di un microsistema dipendono dal contesto di misurazione, proprio come aveva insegnato Bohr

144 Riassumiamo nel simbolo tutte le variabili addizionali o nascoste. Se A è unosservabile del microsistema in oggetto, assegnata la funzione A( deve avere un valore preciso appartenente allo spettro discreto o continuo delloperatore stesso Tutto il contenuto empirico della meccanica quantistica è espresso dalla conoscenza del valore medio dellosservabile A. Si assume quindi che le variabili nascoste siano distribuite secondo una funzione a valori reali e positiva che è una misura di probabilità (densità di probabilità) il cui integrale deve dare 1. La probabilità che il valore sia compreso tra e d è d

145 Ancora sul teorema di impossibilità di von Neumann

146 La conoscenza della variabile nascosta, che caratterizza in modo completo il sistema, permetterebbe di conoscere il valore A( ) di ogni osservabile A del sistema in funzione di. A( ) deve appartenere allo spettro delloperatore autoaggiunto A che la teoria gli associa Le variabili sono però non accessibili in linea di principio e quindi dobbiamo usare le probabilità, che diventano però epistemiche, nello stesso identico senso in cui lo sono in meccanica statistica classica. Si consideri unosservabile che è combinazione lineare di altre osservabili: Più in generale, consideriamo unosservabile C che è combinazione lineare con coefficienti reali di altre due osservabili C = aA +bB

147 In generale, vale anche in MQ come in meccanica classica che il valor medio della combinazione lineare è la combinazione lineare dei valori medi dei termini della combinazione Per il suo no-go theorem contro le variabili nascoste (contro lidea che si possano assegnare valori precisi a tutte le osservabili), von Neumann assunse che uneventuale teoria che completasse la MQ dovrebbe soddisfare le stesse condizioni di linearità che soddisfano i valori medi anche per le variabili nascoste. Ovvero, il suo teorema di impossibilità assume che in una teoria a variabili nascoste in cui unosservabile risulti combinazione lineare di altre, i valori precisi o certi A( ), B( ), C( ) delle osservabili, che vengono assunti quando si specificano le variabili nascoste, devono soddisfare le stesse condizioni che valgono per i valori medi: C( ) = aA( ) + bB( ) *

148 Ma questa premessa è irragionevole se i valori A( devono coincidere con gli autovalori. Nellesempio dello spin, se Poichè le quantità certe i ( devono coincidere con gli autovalori degli osservabili relativi alle matrici di spin, essi devono valere +1 cosicché Ma poiché deve valere anche per la componente di spin lungo n che si ha un risultato impossibile! Ne segue che la premessa * è irragionevole e Bohm (1952) fornì un controesempio al teorema di von Neumann

149 Immaginiamo una particella che si muove in una dimensione. | (x)| 2 rappresenta come sappiamo la densità di probabilità che la particella sia nel punto x se se ne misura la posizione. Lidea di Bohm è che se si prepara un sistema in modo identico n volte, a causa del fatto che non si può gestirlo in modo assoluto, ogni volta la sua posizione sarà leggermente diversa: esiste quindi sempre un intervallo di imprecisione nella posizione, che corrisponde, nella visione tradizionale della teoria, allintervallo in cui si troverebbe la particella se si andasse a misurarla. Per Bohm la posizione di ogni particella è però sempre oggettivamente e realmente posseduta, e la distribuzione delle posizioni delle n particelle individuali riproduce la densità di probabilità associata dalla funzione donda a un unico sistema la cui posizione prima della misura è indefinita

150 Non vi è modo di preparare un sistema in cui la posizione sia determinata in modo assoluto, per cui losservatore non la può conoscere: di qui luso della probabilità. Si prendono N particelle e si definiscono N campi di velocità. La velocità di una particella i dipende in modo non locale e olistico dalla posizione di tutte le altre e soddisfa a una equazione differenziale che lega le velocità alle posizioni, e che insieme alleq.deterministica di Schroedinger, reinstaura il determinismo completo della MQ non relativistica La meccanica bohmiana

151 Prima si determina una soluzione (r 1,r 2,…r n,t) dellequazione di Schroedinger (qui sopra) rispetto a date condizioni iniziali e poi, in funzione della soluzione ricavata, si definiscono N campi di velocità v i dove 2 1

152 Date la funzione donda al tempo t =0 e le posizioni iniziali r i (0), la soluzione delle due equazioni differenziali 1 e 2 determinano a ogni istante curve o traiettorie ben definite nello spazio-tempo. Prendiamo lequazione a una particella e poi moltiplichiamo per * a sinistra entrambi i membri Facciamo lo stesso per la complessa coniugata dellequazione di Schroedinger, moltiplicandola per a sinistra e poi sommiamo le due equazione così ottenute

153 Se v(r,t) e (r,t) sono velocità e densità di un fluido, le equazioni di conservazione della massa danno

154 Si osservi la corrispondenza formale tra densità del fluido e densità di probabilità | che obbediscono alla stessa equazione differenziale. Così r | r implica che la stessa eguaglianza vale al tempo t. Linsieme statistico che ha la distribuzione di posizioni | r evolve dunque nellinsieme che corrisponde allevoluta dellequazione di Schroedinger | r,t|

155 Derivazione delle equazioni di Bohm per una particella (1) Cominciamo a scrivere lequazione di Schroedinger (1) in forma polare, scrivendo prima la funzione (r,t) in forma polare Calcoliamo la derivata parziale rispetto al tempo (per la e, si applica la chain rule, ovvero si deriva parzialmente la e rispetto a S e poi si moltiplica per la parziale di S rispetto a t) (3) (2)

156 Per calcolare il laplaciano, calcoliamo prima il gradiente di (4) E poi applichiamo di nuovo loperatore del, per ottenere Sostituendo la 3 e la 5 nellequazione di Schroedinger, si ha (5) (abbiamo diviso per il fattore esponenziale comune ai 2 membri)

157 Raccogliendo ora la parte reale e quella immaginaria della funzione donda scritta in forma polare, si ottengono due equazioni: (6) Dividendo per A e raccogliendo i termini con S a sinistra, otteniamo (7) La parte immaginaria dà invece (dividendo per il fattore i): Moltiplichiamo per e riscriviamo (8)

158 Trasformazioni ausiliarie

159 Come si vede immediatamente, nella (10), per si ottiene lequazione classica di Hamilton-Jacobi per il moto di una particella in un potenziale U, con il momento p 2 = Eq. Hamilton- Jacobi classica (9) (10) Eq. di Bohm

160 Richiamo su Hamilton-Jacobi In generale, passando da variabili q i e p i definite nello spazio delle fasi ad altre variabili Q i e P i lequazione di Hamilton non è preservata. Però, se la trasformazione in questione è canonica, ovvero, se la funzione generatrice S obbedisce alle seguenti relazioni: allora le equazioni di Hamilton sono preservate. Se in più si ha che H=0, allora le due eq. di Hamilton rispetto alla nuova funzione forniscono due costanti del moto.

161 Se si ha che le p i in S = (q i,p i, t) sono date da questa relazione Allora lannullarsi della nuova hamiltoniana H è equivalente alla seguente condizione che è appunto lequazione di Hamilton Jacobi cercata

162 Nella (10), è il potenziale quantistico Cosicché lequazione quantistica di Hamilton-Jacobi è Mentre lequazione del moto della particella è, ovviamente, Dove, a fianco di una forza classica, cè una forza quantistica La particella è dunque guidata (e accelerata) dal campo quantistico!!!

163 A differenza di un campo classico, il campo quantistico non può essere influenzato dalle particelle e non ha sorgenti Moltiplicando il campo per una costante, la sua azione non varia, perché A è sia a numeratore che a denominatore di Q: Ciò significa che leffetto del potenziale quantistico dipende solo dalla sua forma e non dalla sua intensità: un elettrone si muove con la sua energia e il potenziale o londa lo guida e lo dirige, come una macchinetta teleguidata Leffetto del campo è altamente non-locale, cioè non dipende dalla distanza, in un modo che è stato verificato sperimentalmente

164 Il concetto di informazione attiva: qualcosa che ha poca energia guida ciò che ha molta più energia e fa ciò in modo non meccanico! Anche nel meccanismo di duplicazione del DNA, lenergia è data dalla cellula, e dallambiente, ma la informazione attiva è data dalla forma del DNA. La parte del DNA che non viene copiata è solo potenzialmente attiva. La capacità di compiere lavoro viene dalle particelle, e non si origina nel campo; le prime potrebbero avere una struttura interna. Poiché un sistema di fenditure diverso produce un campo Q diverso, un esperimento quantistico e la meccanica quantistica sono olistiche: detto semplicemente, il moto dellelettrone non può essere discusso astraendo da tutto il contesto sperimentale (Bohr)

165 Poiché | la probab. di trovare la particella =P=A 2 Riprendiamo la forma polare della funzione donda La prima a sinistra del segno di conseg. logica è la (9), la seconda è lequazione di continuità per la densità di probabilità P, ma il ruolo fondamentale di A = | non è quello di determinare la probabilità di trovare unosservabile con un certo autovalore se si va a fare una misura, ma di definire il potenziale quantistico Q. La P in questa interpretazione è epistemica, e dunque simile alla meccanica statistica classica

166 I teoremi limitativi dopo von Neumann: la contestualità delle teorie a variabili nascoste: VD+NC+MQ = contraddizione VD= ogni sistema quantistico ha tutti i valori delle osservabili simultaneamente definiti (definitezza proprietà, o realismo) NC ogni valore dellosservabile di un sistema non dipende da quali altri valori sono misurati insieme ad esso (non contestualità)

167 Gleason e Kochen-Specker rimediano allassunzione troppo forte del teorema di additività di Von neumann fatta per qualunque osservabile supponendo che la [5] di quel teorema (vedi p. 52 e vedi * p. 195) valga solo per osservabili compatibili, tesi che non è messa in discussione dai teorici delle variabili nascoste. Teorema di Gleason:In uno spazio di Hilbert di dimensione > 3, le uniche possibili misure di probabilità sono le misure [7] μ (P α ) = Tr(P α W), in cui P α è un operatore di proiezione, W è loperatore statistico che rappresenta lo stato del sistema e Tr loperatore traccia.

168 The P α can be understood as representing yes-no observables, i.e. questions concerning whether a QM system represented by a Hilbert space of dimension greater than or equal to 3 has a property α or not, and every possible property α is associated uniquely with a vector |α> in the Hilbert space -- so, the task is to unambiguously assign probabilities to all vectors in the space. Now, the QM measure μ is continuous, so Gleason's theorem in effect proves that every probability assignment to all the possible properties in a three-dimensional Hilbert space must be continuous, i.e. must map all vectors in the space continuously into the interval [0, 1]. On the other hand, an HV theory (if characterized by VD + NC) would imply that of every property we can say whether the system has it or not. This yields a trivial probability function which maps all the P i to either 1 or 0, and, provided that values 1 and 0 both occur (which follows trivially from interpreting the numbers as probabilities), this function must clearly be discontinuous (C. Held, The Kochen-Specker Theorem, p. 4) (Redhead 1987, Incompleteness and non-locality in QM, p.28)

169 Bell nel 1966 produce un teorema contro le variabili nascoste che poi critica mettendone in discussione una premessa. Egli prova che mentre la funzione di probabilità quantistica μ richiede che due vettori |α> and |α> mappati in 1 e 0 non possano essere arbitrariamente vicini, perché devono avere una certa separazione angolare, la funzione che assume come valori delle variabili nascoste richiede invece che i due vettori siano arbitrariamente vicini. La contraddizione si elimina mettendo in discussione una premessa di noncontestualità: it was tacitly assumed that measurement of an observable must yield the same value independently of what other measurements may be made simultaneously (Bell, 1987, p. 9).

170 In altre parole, malgrado Gleason supponga compatibilità tra coppie di osservabili che entrano nella [5], è possibile che la stessa osservabile V prenda valori diversi se misurata con W o se misurata con Y, anche se V e W sono tra loro compatibili e V e Y pure. La differenza tra Kochen-Specker e i due teoremi che abbiamo sommariamente esposto è che mentre i primi assumono un continuum di osservabili, KS indeboliscono questo assunto mostrando che persino con un numero finito di osservabili discrete si ha incompatibilità tra NC (noncontestualità), Value Definiteness e QM. Si rimuove così una possibile obiezione contro il no-go theorem di Gleason.

171 Formulazione del teorema KS Sia H è uno spazio di Hilbert di dimensioni x > 3, contenente un numero finito y di osservabili in un insieme M, definite da operatori corrispondenti su H. Allora per specifici valori di x e di y, le due assunzioni qui riportate sono contraddittorie: (KS1) Definitezza di valori: tutti i membri y di M hanno valori simultanei, ovvero per tre osservabili qualsiasi A B e C, v(A), v(B), v(C) sono numeri reali simultaneamenti definiti; (KS2) I valori delle osservabili obbediscono ai seguenti vincoli: (a) Se A, B, C sono tutte compatibili e C=A+B, allora v(C)= v(A) + v(B); (a) If A, B, C sono tutti compatibili e C=AB, allora v(C)= v(A)v(B)

172 La regola della somma e quella del prodotto sono conseguenze di un principio di composizione funzionale chiamato FUNC, che a sua volta, come vedremo, discende da unipotesi di non-contestualità. Nel teorema originale di KS, x =3 e y = 117. Ci sono però teorema più recenti, validi per x = 3 e y = 33 (Peres 1995, pp ) e Kernaghan (1994) per x = 4 e y =20, questultimo più debole degli altri due

173 Il teorema di Karnaghan (x=4 e y =20) Come vedremo, dalla (KS2) si può derivare la seguente condizione sugli operatori P i, corrispondenti a quattro distinti autovalori q 1, q 2, q 3, q 4 di unosservabile Q su H4: (VC1 ) v(P 1 ) + v(P 2 ) + v(P 3 ) + v(P 4 ) = 1, dove v(P i ) = 1 o 0, per i = 1, 2, 3, 4. Passando a uno spazio di Hilbert con scalari nel campo reale (il teorema vale lo stesso anche in questo caso, perché se lassegnazione di valori definiti è impossibili nello spazio di Hilbert definito sui reali (R3), allora è impossibile su H3 definito sul campo complesso), possiamo tradurre la condizione (VC) nella richiesta che in ogni quadrupla di raggi ortogonali in tale spazio esattamente uno deve essere colorato in bianco - v(P i ) = 1 - e gli altri tre in nero - v(P i ) = 0 - ciò che è impossibile

174 1,0,0,0 1,0,0,0 1,0,0,0 1,0,0,0 -1,1,1,1 -1,1,1,1 1,-1,1,1 1,1,-1,1 0,1,-1,0 0,0,1,-1 1,0,1,0 0,1,0,0 0,1,0,0 0,0,1,0 0,0,0,1 1,-1,1,1 1,1,-1,1 1,1,-1,1 1,1,1,-1 1,0,0,-1 1,-1,0,0 0,1,0,1 0,0,1,0 0,0,1,1 0,1,0,1 0,1,1,0 1,1,-1,1 1,0,1, 0 0,1,1,0 0,0,1,1 1,1,1,1 1,1,1,1 1,1,-1,-1 0,0,0,1 0,0,1,-1 0,1,0,-1 0,1,-1,0 1,1,1,-1 0,1,0,-1 1,0,0,-1 1,-1,0,0 1,-1,-1,1 1,1,-1,-1 1,-1,-1,1 Nella tabella, costituita da 44 elementi, ci sono 20 raggi distinti, perché 20 sono le osservabili considerate. In ognuna delle 11 colonne ci sono 4 raggi ortogonali (x = 4= dimensioni dello spazio): ci sono dunque 44 elementi, alcuni dei quali sono ripetuti 2 o 4 volte. Per specificare un raggio o una linea che passi per lorigine basta dare le coordinate della retta che passa per lorigine (non specificata) e per il punto. Per esempio, "1,0,0,0" denota lasse x. Dato che il numero delle colonne è dispari, e i quattro vettori di ogni colonna sono ortogonali, per la condizione VC1 il numero totale dei bianchi deve essere dispari (infatti in ogni insieme di vettori ortogonali cè solo un raggio colorato di bianco). Daltra parte, si vede che ogni raggio è ripetuto nella tabella o 2 o 4 volte; poiché a causa della premessa di noncontestualità, uno stesso raggio, anche se in colonne diverse, riceve sempre lo stesso colore (valore), ne segue che ogni volta che uno di questi raggi in una colonna è bianco (esattamente uno deve esserlo), dobbiamo colorare un numero pari di raggi bianchi. Ne segue che il numero totali di raggi bianchi deve essere pari, e quindi la contraddizione è provata!

175 Lidea del teorema di Kochen-Specker Lidea del teorema, che presuppone uno spazio di Hilbert di dimensioni x=3, è che, come prima, per ogni insieme di triple ortogonali in H3, un raggio vale 1 e gli altri due 0 e si pone dunque lo stesso problema di colorare due raggi di nero e uno di bianco. Per ottenere queste condizioni, si considera un arbitrario operatore Q, con autovettori |q 1 >, |q 2 >, |q 3 >, e relativi autovalori distinti q 1 q 2 q 3. Si considerano 3 proiettori P 1, P 2, P 3 che proiettano sui tre autovettori di cui sopra e che sono ovviamente degli osservabili si-no, dato che P i corrisponde alla domanda sperimentale: il sistema ha il valore q i per losservabile Q?

176 Poiché i tre proiettori P i sono per ipotesi mutualmente compatibili, possiamo applicare ad essi la regola della somma e del prodotto e derivare il seguente lemma, che ora dimostriamo (VC1) v(P 1 ) + v(P 2 ) + v(P 3 ) = 1, dove v(P i ) = 1 o 0, i =1,2,3 (A) P i 2 = P i (i proiettori P i sono idempotenti); (B) Se H è uno spazio di Hilbert di dimensione finita, e i P i sono operatori che proiettano su |q i >, dove gli insiemi {|q i >} formano un base ortonormale di H, allora i P i = I, ovvero i vari P i formano una risoluzione dellidentità).

177 Si consideri un arbitrario | >, un operatore non degenere Q con autovettori |q 1 >, |q 2 >, |q 3 >, e relativi autovalori distinti q 1 q 2 q 3. Si considerino 3 proiettori P 1, P 2, P 3 che proiettano sui tre autovettori di cui sopra. Allora, per lortonormalità, si ha [8] P 1 + P 2 + P 3 = I Ora, poiché P 1, P 2, e P 3 sono compatibili, dallassunzione KS2 si ha (a)(Regola della somma): v(P 1 ) + v(P 2 ) + v(P 3 ) = v(I); (b) Per la regola del prodotto, passiamo da P i 2 = P i P i a v(P i ) 2 = v(P i 2 ); per lidempotenza, si ha v(P i 2 ) = v(P i ) v(P i ) 2 = v(P i ) = 1 o 0

178 Sia R un osservabile tale che v(R) sia diverso da 0 nello stato | >. Da questa assunzione e KS2 (b) (Product Rule): v(R) = v(I R) = v(I) v(R). Ne segue allora che v(I) = 1 e per la regola della somma [9] (VC1) v(P 1 ) + v(P 2 ) + v(P 3 ) = 1 In cui v(P i ) = 1 or 0, for i = 1, 2, 3. Qed

179 Ghirardi si chiede (1997, p. 481): tenuto conto delle motivazioni che animano i proponenti delle teorie a variabili nascoste, il riconoscimento dellinevitabile contestualità di almeno alcune osservabili non entra in conflitto con la pretesa oggettività delle proprietà possedute da un sistema? Se il valore di verità (cioè il fatto che essa risulti vera o falsa) dellasserzioneA assume il valore A( dipende dal fatto che, per esempio, un osservatore decida (a suo libero arbitrio) se misurare losservabile B o losservabile C (entrambi compatibili con A ma incompatibili tra loro)…in che senso lasserzione in esame può ritenersi avere un valore oggettivo? La risposta a questa domanda è non solo che si possono sempre trovare osservabili non contestuali, ma che il mondo quantistico è fondamentalmente e irriducibilmente relazionale e privo di proprietà e dunque di identità definite: come un personaggio pirandelliano (uno nessuno e centomila), le proprietà che le microentità assumono dipendono dal contesto sperimentale

180 Ovvero, se persino nella teoria massimamente realistica (e cioè che assume quanta più definitezza di proprietà è possibile assumere) lindefinitezza deve essere riconosciuta, questa indefinitezza fa parte dellontologia della natura, visto che è comune anche allinterpretazione standard, nonché ad altre interpretazioni che verranno discusse Questo metodo di lettura o di interpretazione di una teoria fisica guarda a ciò che è comune a diverse interpretazioni di una teoria o a diverse teorie che hanno in comune lo stesso ambito sperimentale. Così come si deve dire che la non-località è una caratteristica della natura, si deve aggiungere che lindefinitezza delle proprietà, il loro carattere non intrinseco ma relazionale è parte della natura, perché è comune a tutte le interpretazioni Tale relazionalità, a causa dellentanglement non locale, è essa stessa non locale. Con uno slogan potremmo dire: ontologia della QM e dunque della fisica=relazionismo olistico non locale (RONL)

181 Capitolo 9 Il problema della macro-oggettivazione 1.Molte storie decoerenti 2.Linterpretazione modale 3.Il programma GRW

182 Le varie opzioni(vettore di stato, osservabili, dinamica) Completezza o incompletezza vettore di stato (se la teoria è incompleta, allora ci sono variabili nascoste, vedi Bohm come esempio) Se il vettore di stato è completo, si può assumere che linsieme di vettori di stato è formalmente omogeneo ma fisicamente disomogeneo (assunzioni sulle osservabili, rottura della connessione autovettore- proprietà, molti mondi) Insieme formalmente omogeneo e fisicamente omogeneo (due principi dellevoluzione o una sola dinamica)

183 1)Nella teoria di Bohm, il postulato del collasso è unaccurata approssimazione, nel senso che trascurare leffetto di uno dei due termini soppressi può significare trascurare un effetto fisico reale sul potenziale quantomeccanico: lo stato finale corretto è quello di sovrapposizione scritto sopra 2)Tuttavia, il gatto nella teoria in questione è di fatto vivo o morto, perché le posizioni delle particelle nei due casi sono assai diverse: si usano le equazioni irreversibili anche se quelle corrette sono quelle reversibili.

184 Omogeneità o disomogeneità dei sistemi nellipotesi di completezza di | La completezza formale di | non è incompatibile con il fatto che, facendo opportune assunzioni sulla misurabilità delle osservabili, si abbia a che fare con sistemi fisicamente disomogenei (ha senso parlare di completezza?) Supponiamo che non risulti possibile (o in linea di principio o di fatto) misurare tutte le grandezze fisiche che corrispondono a tutte gli operatori del microsistema e che le sole quantità osservabili dellequazione precedente commutino tutte: allora diventa impossibile distinguere uno stato puro da una miscela statistica (si veda 8.7 Ghirardi 1996)

185 Se la non misurabilità di osservabili incompatibili fosse dovuta a ragioni di principio, ne conseguirebbe che lenergia iniziale del sistema dellequazione di cui sopra e quella finale non sarebbero misurabili, visto che la situazione iniziale e quella finale sono macroscopicamente distinguibili e corrispondono ad autovarietà distinte. Inoltre, non si danno prescrizioni precise su come individuare le osservabili compatibili, perché non si dà distinzione precisa tra quantum e classico. Allora la non misurabilità deve essere di fatto: visto per es. il rapido accoppiarsi del sistema allambiente come misurare tutte le correlazioni finali del microsistema con tutto ciò che lo circonda, in modo da distinguere miscela e stato puro?

186 Lultima soluzione è accettabile a fini pratici, e per gli strumentalisti, ma lapprossimazione in questione è diversa da quella richiesta dalla teoria di Bohm. Per questultima, lindice è di fatto in una posizione definita e lapprossimazione che ci porta ad usare una miscela è giustificata, come è giustificato usare approssimate equazioni irreversibili per predire che un singolo gas si sta espandendo, malgrado il teorema di ricorrenza di Poincaré ci dica che le eq. corrette sono altre: non cè contraddizione tra il fatto che le equazioni corrette sono quelle reversibili con luso nel presente di equazioni approssimate irreversibili Nel caso della teoria che limita di fatto le osservabili misurabili, se in tempi di ricorrenza di Poincaré si riuscisse a misurare sovrapposizioni macroscopiche, avremmo invece che ora la teoria in questione è falsa

187 Il teorema di decomposizione biortogonale di un sistema composto asserisce che lo stato di un sistema composto da S e A può scriversi in un solo modo come la combinazione lineare di stati biortonormali. Indicati con p i gli autovalori comuni ai due operatori statistici W S e W A ottenuti facendo la traccia parziale su ciascuno dei due spazi costituenti, si ha (tralasciando questioni legate alla degenerazione)

188 Se siamo interessati al sottosistema S M scrivendo lo stato puro del sistema composto in forma biortogonale possiamo affermare che le due parti e X hanno proprietà definite, anche se lo stato del sistema non è in un autostato dellosservabile. Questo è tipico dellinterpretazione modale,, che rompe il se e solo se del legame autovalore autostato. Tali proprietà dipendono però dal tipo di decomposizione prescelta. Se si ha un protone, un neutrone e un elettrone con i loro spin, si potrebbe essere interessati alle proprietà del primo lasciando gli altri due insieme, o a quelle dei primi due e allultimo separatamente considerato

189 Ne segue che se scegliamo una decomposizione, il protone può avere spin definito, se ne scegliamo unaltra, esso nonavrà spin definito. Conclude Ghirardi: linterpretazione modale offre una soluzione puramente formale al problema di come siano possedute le proprietà (p. 538, 1996, Boniolo et al.)

190 Siano le osservabili, mentre i loro autovalori siano k( j( sia P k( i proiettori associati allautovalore k( Una storia è costituita da una successione di eventi, ovvero da una successione di istanti temporali, t 1, t 2, ….t n e dal fatto che a quegli istanti certi sistemi hanno certe proprietà. La probabilità P di una storia è la probabilità che si siano succeduti certi eventi: Per un dato osservabile, vale la decomposizione dellidentità Molte storie decoerenti

191 La teoria non si riferisce a riduzioni o a misure ma interpreta le probabilità di successioni di eventi, o di date storie. Si prenda ora unosservabile a un istante dato t. Prendiamo ora la famiglia di tutte le storie che affermano che a t il sistema in oggetto ha uno dei suoi possibili autovalori k La k-esima storia della famiglia è quella che afferma che a t vale k( Sommando su tutti i valori k( di questa osservabile, si ha che la probabilità è 1, ma considerando altre osservabili a quel tempo, la somma per le probabilità associate a tutte le storie date dallunione delle due famiglie sarebbe >1.

192 Limitandosi a famiglie di storie alternative decoerenti, si evitano problemi con la probabilità. Si consideri il seguente funzionale di decoerenza Supponiamo che questa espressione risulti nulla ogni volta che almeno uno tra gli indici corrispondenti è diverso (r da k, s da j, etc.), allora linsieme delle probabilità associate alla famiglia è consistente (famiglia decoerente). Per lespressione di cui sopra, si tenga conto che Ghirardi 1996, p. 392)

193 Un corpo macroscopico deve avere sempre una posizione quasi perfettamente definita in ogni descizione oggettiva del mondo reale (Einstein) GRW: levoluzione del vettore di stato è deterministica, la riduzione del pacchetto è non-lineare e stocastica Consideriamo una sola particella e una funzione di localizzazione L r* (r) una gaussiana di ampiezza 1/ centrata attorno al valore r* N è un fattore di normalizzazione; la localizzazione fa sì che tutti i valori di r in (r) che distano da r* più di 1/ siano posti = 0

194 Sia r L r* r) per GRW la densità di probabilità che una localizzazione avvenga in r* è data da | r | 2 ; cioè le localizzazioni spontanee avvengono in modo da rispettare la prescrizione probabilistica della teoria standard. Ovvero la localizzazione può avvenire attorno a un qualsiasi punto r* tale che la particella abbia secondo la teoria standard una prob. non nulla di venir trovata in un volume 1/ Se è la frequenza media, la probabilità che si verifichi un processo di localizzazione nellintervallo t, data da t, è irriducibile (stocasticità): non cè una causa per cui si verifica in uno piuttosto che in un altro istante. Dato che la probabilità dipende da | r | 2, il processo non è lineare nel vettore di stato

195 Due nuove costanti di natura I due stati di posizione (per una particella) sono localizzati attorno ai due punti r1 e r2, la cui distanza è assai maggiore di (1/ Poiché per come è costruito il modello, la localizzazione può avvenire solo attorno a uno dei due punti, ciò che costringe il sistema in sovrapposizione a localizzarsi attorno a uno dei due punti con probabilità 1/2


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