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L’algebra di Clifford e il rasoio di Occam Giorgio Vassallo Silvia Franchini Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo.

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1 L’algebra di Clifford e il rasoio di Occam Giorgio Vassallo Silvia Franchini Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo 27/11/2013

2 Conoscenza e modelli La conoscenza scientifica si fonda sulla creazione e la validazione di modelli e paradigmi in grado di codificare e interpretare sia concetti astratti che dati sperimentali. E’ possibile definire formalmente la qualità di un modello/paradigma? 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

3 Il Rasoio di Occam Il principio logico del rasoio di Occam afferma il valore della semplicità e della sinteticità. Tra i diversi modelli che consentono di spiegare un dato fenomeno, si deve preferire il modello più semplice, che non introduce enti inutili. 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo “Pluralitas non est ponenda sine necessitate” “Frustra fit per plura quod potest fieri per pauciora” “Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem” Guglielmo di Occam

4 Formalizzazione del rasoio di Occam La qualità di un modello è definita da: 1. Aderenza ai dati e concetti che si vogliono codificare o interpretare (misura di distanza delle informazioni fornite dal modello rispetto alle informazioni attese, es. dati sperimentali) 2. Complessità (numero di assi concettuali, paradigmi, postulati, parametri, variabili necessari alla costruzione del modello) 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

5 Modelli di massima entropia Principio della Massima Entropia o MaxEnt (E. T. Jaines) “In presenza di dati e/o evidenze sperimentali riguardanti un ben determinato fenomeno fisico o statistico, per stimarne la relativa distribuzione di probabilità, è sufficiente scegliere un modello che sia [il più possibile] consistente con i dati disponibili ma che altrove abbia la massima entropia.” 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

6 I modelli della conoscenza scientifica La conoscenza scientifica si fonda sul linguaggio matematico. Dal punto di vista strettamente epistemologico, seguendo il principio del rasoio di Occam, è fondamentale, quindi, utilizzare un linguaggio ottimale in termini di semplicità e universalità. Ad esempio, il paradigma classico per formalizzare i concetti della geometria e della fisica mette insieme una serie di simbolismi e linguaggi matematici diversi che violano il principio di massima semplicità portando ad una costosa e pesante frammentazione della conoscenza. 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

7 Il paradigma classico Il paradigma tradizionalmente usato per formalizzare i concetti della geometria e della fisica è fondato sull’algebra lineare. L’algebra lineare classica utilizza un insieme limitato di elementi (scalari e vettori) che sono manipolati attraverso un insieme limitato di operatori (prodotto scalare, definito per tutte le dimensioni, e prodotto vettoriale, definito solo in tre dimensioni). 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

8 Il paradigma classico Le limitazioni dell’algebra lineare hanno portato alla formulazione di tanti micro-modelli separati e alla creazione di una Babele di linguaggi matematici diversi: Numeri complessi Quaternioni Algebra vettoriale Matrici di Dirac Coordinate di Plücker Coordinate omogenee Spinori Forme differenziali Trasformazioni di Lorentz Equazioni di Maxwell 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

9 Il paradigma classico Gli stessi concetti sono rappresentati in tanti sistemi diversi. Ciò comporta costi enormi in termini delle necessarie traduzioni per passare da una rappresentazione all’altra. Tutte le algebre usate per modellare la fisica e la geometria si possono rappresentare come algebre di matrici. Le matrici nascondono la semantica delle informazioni, per esempio il significato geometrico delle informazioni codificate. Ad esempio, le matrici ortogonali per rappresentare le rotazioni nascondono il piano e l’angolo di rotazione. 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

10 Un nuovo paradigma La complessità introdotta dal formalismo classico basato sull’algebra lineare con la sua miriade di micro- modelli e la sua Babele di linguaggi matematici diversi è necessaria? Esiste un paradigma capace di unificare tutti questi micro-linguaggi in un contesto unico? 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

11 Una risposta ottimale: l’Algebra di Clifford L’Algebra di Clifford (o Algebra geometrica) risponde pienamente al principio di Occam in quanto Introduce un formalismo unico ed estremamente semplice. Fornisce un modello semplificato e un linguaggio matematico unificante per la codifica della conoscenza. Reinterpreta ed integra diversi linguaggi e termini scientifici in un unico contesto. 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

12 Due semplici postulati ! L’algebra di Clifford è fondata su questi due semplici postulati, ovvero gli assiomi del prodotto geometrico. Le caratteristiche e le potenzialità dell’algebra derivano esclusivamente da questi due assiomi. 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

13 Prodotto geometrico Dati due vettori a e b, il loro prodotto geometrico è la somma del prodotto interno a  b e del prodotto esterno a ∧ b. Il prodotto geometrico (o prodotto di Clifford) è il prodotto fondamentale introdotto da Clifford, dal quale è possibile derivare tutti gli altri prodotti. 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

14 Prodotto geometrico 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo a0a0 a1a1 a2a2 a3a3 b0b0 b1b1 b2b2 b3b3 ab = (a 0 b 0 +a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ) + (a 0 b 1 – a 1 b 0 )e 0 e 1 + (a 0 b 2 – a 2 b 0 )e 0 e 2 + (a 0 b 3 – a 3 b 0 )e 0 e 3 + (a 1 b 2 – a 2 b 1 )e 1 e 2 + (a 1 b 3 – a 3 b 1 )e 1 e 3 + (a 2 b 3 – a 3 b 2 )e 2 e 3 a = a 0 e 0 +a 1 e 1 +a 2 e 2 +a 3 e 3 b = b 0 e 0 +b 1 e 1 +b 2 e 2 +b 3 e 3 scalare bivettore

15 Prodotto interno e prodotto esterno Il prodotto interno di due vettori coincide con il classico prodotto scalare. Il prodotto esterno (o wedge product) di due vettori può essere interpretato geometricamente come un segmento di piano orientato ed è chiamato bivettore. A differenza del prodotto vettoriale a × b, il prodotto esterno è definito per qualsiasi dimensione. 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

16 Blades Il prodotto esterno di tre vettori può essere interpretato geometricamente come un elemento di volume orientato ed è chiamato trivettore. In generale, il prodotto esterno di k vettori è un sottospazio orientato a k dimensioni ed è chiamato blade di grado k o k-blade. 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo a∧b∧ca∧b∧c

17 Multivettori In uno spazio ad n dimensioni le blades sono in tutto 2 n, mentre il numero di blades di grado k è pari a Gli elementi generali dell’algebra di Clifford sono detti multivettori. Il multivettore dell’algebra di Clifford ad n dimensioni è una combinazione lineare con coefficienti reali delle 2 n blades di base. Nello spazio 2D il multivettore ha la forma: 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

18 Codifica binaria delle blades 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo Il prodotto geometrico di due blades è lo XOR delle due maschere di bit corrispondenti Esempio: e 0 e 1 * e 1 e 2 e 3 = e 0 e 2 e  1110 = 1101 Blades 4DMaschera di bit e0e e1e e0e1e0e e2e e0e2e0e e1e2e1e e0e1e2e0e1e e3e e0e3e0e e1e3e1e e0e1e3e0e1e e2e3e2e e0e2e3e0e2e e1e2e3e1e2e e0e1e2e3e0e1e2e3 1111

19 Prodotto geometrico Qual è il significato geometrico del prodotto geometrico? Se a e b sono ortogonali ( a  b=0) Se a e b sono collineari ( a ∧ b=0 ) Il prodotto geometrico dà una misura della direzione relativa di due vettori. Commutatività => Vettori collineari Anticommutatività => Vettori ortogonali 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

20 Numeri complessi L’algebra dei numeri complessi è isomorfa all’algebra di Clifford ad 1 dimensione con signature − L’algebra dei numeri complessi è pure isomorfa alla sottoalgebra di grado pari dell’algebra di Clifford a 2 dimensioni con signature ++ 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

21 Il bivettore i La moltiplicazione per i ruota i vettori di un angolo retto: 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

22 Quaternioni L’algebra dei quaternioni è isomorfa all’algebra di Clifford a 2 dimensioni con signature − − L’algebra dei quaternioni è pure isomorfa alla sottoalgebra pari dell’algebra di Clifford a 3 dimensioni con signature /11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

23 Riflessioni Riflessione di un vettore a in un piano con normale m 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

24 Riflessioni Dimostrazione Pre-moltiplichiamo e post-moltiplichiamo a per m e invertiamo di segno Essendo si ottiene da cui Essendo ed m ortogonali e a || ed m collineari, si ha da cui 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

25 Riflessioni Dimostrazione (cont.) Essendo m 2 = 1 si ottiene Ma per cui 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

26 Rotazioni La rotazione del vettore a si può ottenere attraverso due riflessioni in due piani con normali m ed n, dove il bivettore m ∧ n è il piano di rotazione e l’angolo θ tra i due vettori m ed n è la metà dell’angolo di rotazione. 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo Rotazione di un vettore a

27 Rotazioni Prima riflessione Seconda riflessione da cui è il rotore 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

28 Regola di Cramer Utilizzando l’algebra di Clifford, si ottiene una dimostrazione semplice e immediata della regola di Cramer per la soluzione di un sistema di equazioni lineari. Sia dato un sistema di equazioni lineari: 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

29 Regola di Cramer Pre-moltiplichiamo e post-moltiplichiamo per dove il pedice i indica l’assenza del termine Semplificando in base alle regole del prodotto esterno, si ottiene: 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

30 Regola di Cramer Essendo con al posto di si ottiene che è proprio la regola di Cramer. 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

31 Equazioni di Maxwell 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo ρ☐ρ☐ H xy H xz E xt -H xy ρ☐ρ☐ H yz E yt -H xz -H yz ρ☐ρ☐ E zt -E xt -E yt -E zt ρ☐ρ☐ Algebra dello spazio-tempo ovvero Algebra di Clifford 4D con metrica di Minkowski Le 4 equazioni di Maxwell si riducono ad una sola. ρ ☐ è la quadridensità di carica simile all’equ. di Dirac con m = 0 J ☐ è la quadricorrente

32 Equazione di Dirac 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

33 Applicazioni dell’algebra di Clifford 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

34 Un po’ di storia W. K. Clifford, “On the Classification of Geometric Algebras”, Mathematical Papers, R. Tucker, ed., pp , Macmillian, /11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo William K. Clifford ( ) Hermann Grassmann ( ) David Hestenes (1933-) William R. Hamilton ( ) D. Hestenes, “New Foundations for Classical Mechanics”, Kluwer Academic, D. Hestenes, G. Sobczyk, “Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics”, Kluwer Academic, D. Hestenes, “Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics”.

35 Un po’ di storia (2) 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo Leo Dorst Stephen Mann L. Dorst, S. Mann, “Geometric Algebra: A Computational Framework for Geometrical Applications (Part 1: Algebra),” IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 22, no. 3, pp , May/June L. Dorst, S. Mann, “Geometric Algebra: A Computational Framework for Geometrical Applications (Part 2: Applications),” IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 22, no. 4, pp , July/Aug L. Dorst, D. Fontijne, S. Mann, “Geometric Algebra for Computer Science: An Object Oriented Approach to Geometry”, Morgan Kaufmann, 2007.

36 Ambiti applicativi 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo Algebra di Clifford Computer grafica Visione artificiale Robotica Elaborazione di immagini

37 Coprocessori grafici innovativi Le attuali schede video utilizzano, per le elaborazioni grafiche tridimensionali, i modelli geometrici tradizionali basati sull’algebra lineare e sui calcoli matriciali. Il nuovo paradigma fondato sull’algebra di Clifford consente lo sviluppo di coprocessori grafici innovativi. 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

38 L’algebra di Clifford e la computer grafica Per le applicazioni grafiche si utilizzano le algebre di Clifford 4D e 5D. Le algebre di Clifford 4D e 5D rappresentano i modelli più potenti della geometria euclidea tridimensionale: Modello omogeneo (coordinate omogenee) Modello conforme 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo Modello omogeneo (coordinate omogenee) Algebra di Clifford 4D Modello conforme Algebra di Clifford 5D

39 Il modello omogeneo 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo L’intersezione di due rette si ottiene applicando semplicemente l’operatore “meet” ai due bivettori Gli oggetti geometrici sono rappresentati direttamente dagli elementi dell’algebra 4D

40 Il modello conforme 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo Punto= c ∧ ∞ Retta= a ∧ c ∧ ∞ Cerchio= a ∧ b ∧ c Piano= a ∧ b ∧ c ∧ ∞ Sfera= a ∧ b ∧ c ∧ d Tutti gli oggetti geometrici (compresi cerchi e sfere) sono rappresentati direttamente dagli elementi dell’algebra 5D Tutte le operazioni geometriche conformi (rotazioni, traslazioni, dilatazioni) si ottengono attraverso il prodotto geometrico con operatori detti versori X può essere di qualsiasi dimensione !

41 Implementazioni dell’algebra di Clifford Lo sviluppo di coprocessori grafici basati sull’algebra di Clifford richiede la ricerca di implementazioni efficienti dal punto di vista computazionale delle algebre di Clifford 4D e 5D Implementazioni esistenti: Implementazioni software Implementazioni hardware 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

42 Algebra di Clifford 4D Un generico multivettore dell’algebra di Clifford 4D contiene 2 4 = 16 blades, dove ogni blade è una coppia coefficiente-blade di base Come è possibile rappresentare le blades del generico multivettore? 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo m = s 0 + a 0 e 0 +a 1 e 1 +a 2 e 2 +a 3 e 3 + a 01 e 0 e 1 +a 02 e 0 e 2 +a 03 e 0 e 3 +a 12 e 1 e 2 +a 13 e 1 e 3 +a 23 e 2 e 3 + a 012 e 0 e 1 e 2 +a 013 e 0 e 1 e 3 +a 023 e 0 e 2 e 3 +a 123 e 1 e 2 e 3 + a 0123 e 0 e 1 e 2 e 3

43 Codifica binaria delle blades Il prodotto geometrico di due blades è lo XOR delle due maschere di bit corrispondenti Esempio: e 0 e 1 * e 1 e 2 e 3 = e 0 e 2 e  1110 = /11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo Blades 4DMaschera di bit e0e e1e e0e1e0e e2e e0e2e0e e1e2e1e e0e1e2e0e1e e3e e0e3e0e e1e3e1e e0e1e3e0e1e e2e3e2e e0e2e3e0e2e e1e2e3e1e2e e0e1e2e3e0e1e2e3 1111

44 Una rappresentazione orientata all’hardware Qual è la migliore rappresentazione degli elementi dell’algebra di Clifford nell’ottica di una esecuzione delle operazioni di Clifford direttamente in hardware? La rappresentazione naturale, basata sugli elementi omogenei, ha il difetto di utilizzare elementi di dimensione variabile. 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

45 Elementi omogenei spazio 4D 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo Blades Elemento omogeneo 1scalare (s) e0e0 e1e1 e2e2 e3e3 vettore (v) e0e1e0e1 e0e2e0e2 e0e3e0e3 e1e2e1e2 e1e3e1e3 e2e3e2e3 bivettore (b) e1e2e3e1e2e3 e0e2e3e0e2e3 e0e1e3e0e1e3 e0e1e2e0e1e2 trivettore (t) e0e1e2e3e0e1e2e3 pseudoscalare (p) multivettore 4D – rappresentazione basata su elementi omogenei m = (s, v, b, t, p) Necessità di una rappresentazione più compatta Blades 1 e0e0 e1e1 e2e2 e3e3 e0e1e0e1 e0e2e0e2 e0e3e0e3 e1e2e1e2 e1e3e1e3 e2e3e2e3 e0e1e2e0e1e2 e0e1e3e0e1e3 e0e2e3e0e2e3 e1e2e3e1e2e3 e0e1e2e3e0e1e2e3

46 Una rappresentazione di dimensione fissa Qual è il modo ottimo di posizionare le 16 blades del multivettore 4D in una matrice 4x4? 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo 1 e0e0 e1e1 e2e2 e3e3 e0e1e0e1 e0e2e0e2 e0e3e0e3 e1e2e1e2 e1e3e1e3 e2e3e2e3 e0e1e2e0e1e2 e0e1e3e0e1e3 e0e2e3e0e2e3 e1e2e3e1e2e3 e0e1e2e3e0e1e2e3 2 4  4 2 ?

47 Dalle blades alle quadruplette 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo Blades Quadruplett a e0e0 e1e1 e2e2 e3e3 V e1e2e3e1e2e3 e0e2e3e0e2e3 e0e1e3e0e1e3 e0e1e2e0e1e2 T 1e0e1e0e1 e0e2e0e2 e0e3e0e3 S e0e1e2e3e0e1e2e3 e2e3e2e3 e1e3e1e3 e1e2e1e2 P vettore scalare trivettore bivettore pseudoscalare multivettore 4D – rappresentazione basata su quadruplette m = (V, T, S, P) Blades 1 e0e0 e1e1 e2e2 e3e3 e0e1e0e1 e0e2e0e2 e0e3e0e3 e1e2e1e2 e1e3e1e3 e2e3e2e3 e0e1e2e0e1e2 e0e1e3e0e1e3 e0e2e3e0e2e3 e1e2e3e1e2e3 e0e1e2e3e0e1e2e3

48 Quadruplette - Vantaggi Elementi di dimensione fissa Architettura hardware compatta e veloce 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo Semplificazione delle operazioni algebriche Il prodotto di due quadruplette dà come risultato la somma di due quadruplette Tutte le operazioni di prodotto possono essere ricondotte ad un’unica operazione: prodotto di due vettori V

49 Quadruplette - Vantaggi 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo V T S P V e0e0 e1e1 e2e2 e3e3 T e1e2e3e1e2e3 e0e2e3e0e2e3 e0e1e3e0e1e3 e0e1e2e0e1e2 S1 e0e1e0e1 e0e2e0e2 e0e3e0e3 P e0e1e2e3e0e1e2e3 e2e3e2e3 e1e3e1e3 e1e2e1e2 XOR con 1111 XOR con 0001 XOR con 1110 T, S e P possono essere ottenute attraverso operazioni XOR tra V e opportune maschere di bit I = e 0 e 1 e 2 e 3  1111 W = e 0  0001 Z = e 1 e 2 e 3  1110 Maschere di bit

50 Quadruplette - Vantaggi Il prodotto di due quadruplette dà come risultato la somma di due quadruplette Formato unico per i dati di input e di output 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo *VTSP VS + P V + T TS + P V + T S S + P PV + T S + P

51 Quadruplette - Vantaggi Tutte le operazioni di prodotto tra due quadruplette di qualsiasi tipo possono essere ricondotte ad un prodotto tra due vettori 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo TS Pre-processing I r T=V V=SW Vector_Product S + P Post-processing I (S + P) W r Le due quadruplette sono trasformate in due vettori attraverso uno stadio di pre-processing che consiste in semplici cambiamenti di segno dei coefficienti Si esegue il prodotto geometrico dei due vettori Le due quadruplette del risultato sono ottenute attraverso uno stadio di post-processing che consiste in semplici operazioni di cambiamenti di segno e/o swapping

52 Esempio 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo a0a0 a1a1 a2a2 a3a3 T - a 0 a1a1 - a 2 a3a3 V = I r T b0b0 b1b1 b2b2 b3b3 b0b0 - b 1 - b 2 - b 3 S SW = V c0c0 c1c1 c2c2 c3c3 c4c4 c5c5 c6c6 c7c7 V * V c4c4 c5c5 - c 6 c7c7 - c 0 - c 1 c2c2 - c 3 Pre-processing  solo cambiamenti di segno Post-processing  solo cambiamenti di segno e swapping Esempio: T*S

53 Conclusioni La rappresentazione semplificata basata sull’uso delle quadruplette ha consentito lo sviluppo di un’architettura hardware veloce e compatta. E’ stata progettata e realizzata una famiglia di architetture dedicate per l’esecuzione nativa delle operazioni di Clifford 4D e 5D. I risultati sperimentali hanno mostrato un significativo aumento delle prestazioni rispetto all’esecuzione su processori general-purpose tradizionali. 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

54 Bibliografia D. Hestenes, “New Foundations for Classical Mechanics”, Kluwer Academic, D. Hestenes, G. Sobczyk, “Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics”, Kluwer Academic, D. Hestenes, “Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics”. L. Dorst, S. Mann, “Geometric Algebra: A Computational Framework for Geometrical Applications (Part 1: Algebra),” IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 22, no. 3, pp , May/June L. Dorst, S. Mann, “Geometric Algebra: A Computational Framework for Geometrical Applications (Part 2: Applications),” IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 22, no. 4, pp , July/Aug L. Dorst, D. Fontijne, S. Mann, “Geometric Algebra for Computer Science: An Object Oriented Approach to Geometry”, Morgan Kaufmann, Silvia Franchini, Giorgio Vassallo, Filippo Sorbello, “A brief introduction to Clifford algebra”, Rapporto tecnico N. 2/2010, Dipartimento di Ingegneria Informatica - Università degli Studi di Palermo, 2010, 27/11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo

55 Bibliografia Silvia Franchini, Antonio Gentile, Filippo Sorbello, Giorgio Vassallo, Salvatore Vitabile, “Design and implementation of an embedded coprocessor with native support for 5D, quadruple-based Clifford algebra”, IEEE Transactions on Computers, Vol. 62, No. 12, pp , Silvia Franchini, Antonio Gentile, Filippo Sorbello, Giorgio Vassallo, Salvatore Vitabile, “Design Space Exploration of Parallel Embedded Architectures for Native Clifford Algebra Operations”, IEEE Design and Test of Computers, Volume 29, Issue 3, May-June 2012, pp Silvia Franchini, Antonio Gentile, Filippo Sorbello, Giorgio Vassallo, Salvatore Vitabile, “Fixed-size Quadruples for a New, Hardware-Oriented Representation of the 4D Clifford Algebra”, “Advances in Applied Clifford Algebras”, Volume 21, Issue 2, June 2011, pag , Springer Basel AG. Silvia Franchini, Antonio Gentile, Filippo Sorbello, Giorgio Vassallo, Salvatore Vitabile, “An Embedded, FPGA-based Computer Graphics Coprocessor with Native Geometric Algebra Support”, Integration, The VLSI Journal, Vol. 42, No. 3, June 2009, pp , ISSN: , doi: /j.vlsi /11/2013 Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo


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