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Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013 1 UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI Spunti per insegnare.

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1 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici 3 dicembre 2013

2 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO (da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.168) Sandra ha un cartoncino rosso rettangolare i cui lati consecutivi sono lunghi 22cm e 11cm. Da esso vuol ritagliare dei bigliettini segnaposto rettangolari i cui lati consecutivi siano lunghi 5cm e 3cm. Quanti bigliettini segnaposto, al massimo, Sandra può ottenere dal cartoncino rosso? Qual è l’area della parte di cartoncino che avanza? oRispondi alle domande e spiega il procedimento che hai seguito. ………………………………………………………………………………

3 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Nel disegno è rappresentato il cartoncino in scala, in modo che ad ogni quadretto corrisponde 1cm 2. Mostra come devono essere disposti i bigliettini segnaposto che Sandra può ricavare. Se hai bisogno di fare più tentativi utilizza un foglio con la stessa quadrettatura. Sei riuscito a rappresentare nel cartoncino il numero massimo di bigliettini che avevi calcolato? …………………………………………………. Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno e discutine con l’insegnante.

4 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO Sandra ha anche un cartoncino giallo rettangolare i cui lati consecutivi sono lunghi 22cm e 11cm. Da esso vuole ricavare il massimo numero di bigliettini segnaposto di forma rettangolare e con i lati consecutivi lunghi 6cm e 4cm. Quanti bigliettini segnaposto, al massimo, Sandra può ottenere dal cartoncino giallo? Qual è l’area della parte di cartoncino che avanza? * Rispondi alle domande e spiega il procedimento che hai seguito. ………………………………………………………………………………………

5 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Nel disegno è rappresentato il cartoncino in scala, in modo che ad ogni quadretto corrisponde 1cm 2. Mostra come devono essere disposti i bigliettini segnaposto che Sandra può ricavare. Se hai bisogno di fare più tentativi utilizza un foglio con la stessa quadrettatura. Sei riuscito a rappresentare nel cartoncino il numero massimo di bigliettini che avevi calcolato? …………………………………………………. Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno e discutine con l’insegnante.

6 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO Analisi del compito e dei possibili sviluppi Il problema si presta a significativi confronti tra le strategie risolutive adottate dagli alunni, strategie che possono condizionare la soluzione. Entrambe le parti di cui si compone il problema possono essere risolte aritmeticamente, operando sulle misure, in centimetri quadrati, delle aree dei rettangoli -Misura dell’area del cartoncino rosso: 22  11 = 242 -Misura dell’area bigliettino segnaposto: 5  3 = 15 -numero bigliettini: 242  15 = 16 con resto 2 -Misura dell’area bigliettino segnaposto: 6  4 = 24 -numero bigliettini: 242  24 = 10 con resto 2

7 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO Il problema maggiore consiste nel disporre il numero di bigliettini, ricavato aritmeticamente, nel cartoncino: la divisione dà il numero massimo di bigliettini ottenibili dal cartoncino, ma non è detto che tale numero possa essere concretamente ricavato, dato che si deve tenere conto non solo dell’area, ma anche della forma e delle lunghezze dei lati dei bigliettini. Si suggerisce di prevedere la possibilità che gli alunni lavorino anche manipolativamente, oltre che graficamente. Gli alunni in genere tendono a sistemare i bigliettini con lo stesso orientamento nel rettangolo più grande, ma in tal modo non si riescono a ottenere i bigliettini calcolati. Nella prima parte della scheda 43a, alcuni tentativi errati possono essere quelli di seguito rappresentati in scala:

8 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO Bigliettini ottenuti : 12 Area della parte di cartoncino avanzato: 62cm 2

9 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO Bigliettini ottenuti : 15 Area della parte di cartoncino avanzato: 17cm 2

10 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Sono possibili diverse disposizioni del numero massimo di bigliettini; per ottenerle, spesso gli alunni riformulano il problema: tentano di ricoprire il più possibile la metà del cartoncino, poi “ripetono” la disposizione nella seconda metà. Tale “ripetizione” avviene con l’uso, più o meno esplicitamente verbalizzato, di diverse isometrie, come mostrano i seguenti disegni in scala: Bigliettini ottenuti : 16 Area della parte di cartoncino avanzato: 2cm 2 Il rettangolo principale è diviso in due parti congruenti dal segmento più marcato; la disposizione dei rettangoli più piccoli in una parte è la traslata di quella nell’altra parte.

11 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre In questo caso la disposizione dei bigliettini in una parte è simmetrica, rispetto alla retta del segmento evidenziato, di quella nell’altra parte.

12 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre O. In questo caso la disposizione dei bigliettini è invariante rispetto alla simmetria centrale (o rotazione di 180°) di centro O.

13 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Osserviamo che… In ognuna delle disposizioni, otto rettangoli sono disposti con orientamento 5  3 e otto con orientamento 3  5. Infatti, confrontando le misure, in centimetri delle lunghezze dei lati dei due tipi di rettangoli si ha: 11 = (3  2) + 5 quindi sul lato lungo 11cm possono essere appoggiati, senza resto, due rettangoli con il lato lungo 3cm e un rettangolo con il lato lungo 5cm 22 = (3  4) + (5  2)quindi sul lato lungo 22cm possono essere appoggiati, senza resto, quattro rettangoli con il lato lungo 3cm e due rettangoli con il lato lungo 5cm.

14 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Nella seconda parte del problema nella scheda 43a, la situazione si complica perché il calcolo non dà il numero di cartoncini effettivamente contenuti nel rettangolo. Infatti il numero 11 non può essere ottenuto con gli addendi 6 e 4, mentre per il 22 si hanno due possibilità: (4  4 ) + 6 = 22 oppure (6  3) + 4 = 22 Bigliettini ottenuti : 9 Area della parte di cartoncino avanzato: 26 cm 2.

15 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO Esecuzione di spostamenti nello spazio Rappresentazione di spostamenti nel piano: avvio allo studio delle linee livello 6 – 8 anni

16 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre ITINERARIO DIDATTICO 1. Esecuzione di spostamenti nello spazio 1.1Esecuzione di percorsi legati - all’esplorazione dell’ambiente - al gioco - alla fiaba

17 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED ESTERNO ALL’EDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a: Far conoscere ai bambini il nuovo ambiente Mettere in rilievo la necessità dei punti di riferimento Sperimentare la nozione di verso ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO I giochi come il girotondo contribuiscono all’intuizione di linea chiusa I percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare all’intuizione di linea aperta

18 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO FANTASTICO Racconti come Pollicino, Cappuccetto Rosso presentano uno svolgimento anche spaziale IN GENERALE L’ ESECUZIONE DI PERCORSI FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITÀ DI ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO L’esecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e la padronanza del linguaggio (verbale e grafico).

19 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre VARI TIPI DI PERCORSI Percorsi liberi Percorsi guidati ATTENZIONE I percorsi che si considerano devono essere accompagnati dalla condizione secondo la quale non è possibile “ritornare sui propri passi”

20 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre RIFLESSIONE E ANALISI caratteristiche dei percorsi effettuati il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti si passa una sola volta da ogni punto si passa più di una volta per uno stesso punto

21 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre ITINERARIO DIDATTICO 2.Rappresentazione di spostamenti nel piano 2.1 Rappresentazione di percorsi su foglio bianco - esplicitazione dei concetti di linea e verso - distinzione di linee aperte/chiuse, semplici/intrecciate - confini e regioni

22 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONI Diagramma ad albero APERTA CHIUSA SEMPLICE INTRECCIATA SEMPLICE INTRECCIATA LINEE

23 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Diagramma di Carroll SEMPLICEINTRECCIATA CHIUSA APERTA

24 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Diagramma di Eulero - Venn LINEE semplicechiusa a b d c

25 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre REGIONI E CONFINI Una linea chiusa e semplice suddivide il piano in due regioni, distinte in regione interna e regione esterna rispetto alla linea che funge da confine. Come si definisce una regione esterna e interna a livello teorico? REGIONE ESTERNA è quella che può contenere una retta per intero; quella INTERNA non può contenere una retta.

26 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Osserviamo, rappresentiamo, riflettiamo Progressivamente l’insegnante proporrà situazioni indipendenti dall’esperienza diretta dei bambini e già rappresentate graficamente; si suggerisce di proporre inizialmente schede che mettono in evidenza di volta in volta uno solo dei concetti geometrici che si intendono analizzare.

27 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre AVVENTURE NEL BOSCO Cappuccetto Rosso deve portare le provviste alla nonna. Per arrivare alla sua casa attraversa il bosco Traccia una delle strade che C.R. può percorrere per arrivare alla casa della nonna Segna la casella con la risposta giusta La linea che hai tracciato è APERTACHIUSA Sempliceintrecciata e

28 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre C. R., mentre va dalla nonna, incontra lo scoiattolo Codalunga che vuol fare merenda con le ghiande. Per raggiungere le ghiande Codalunga attraversa il bosco; sulla strada incontra alcuni animaletti, nell’ordine indicato dalle frecce Traccia la strada percorsa da Codalunga per arrivare alle ghiande Segna la casella con la risposta giusta. La linea che hai tracciato è APERTACHIUSA Sempliceintrecciata e

29 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre ATTENZIONE Nel caso di percorsi in cui sono fissati i punti di partenza, di arrivo e alcuni di passaggio, la traiettoria che unisce tali punti non è univocamente determinata, quindi le linee che rappresentano i diversi spostamenti possono presentare caratteristiche diverse. Ne segue che le risposte alle consegne formulate non sono uniche; per tale ragione si suggerisce di confrontare le diverse soluzioni fornite dai bambini per mettere in evidenza la loro validità. Esempio Se si fissano P come punto di partenza, Q come punto di passaggio e A come punto di arrivo, sia la linea continua che quella tratteggiata rispettano i vincoli dati ma sono una intrecciata e l’altra semplice. P Q A

30 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Ora lo scoiattolo Codalunga osserva la farfalla Cleo che si è posata sulla viola. Poco dopo Cleo riprende il volo: va sulla margherita, poi sul tulipano, quindi sulla rosa e infine torna al punto di partenza. Traccia il percorso di Cleo Segna le caselle con la risposta giusta Il percorso di Cleo è rappresentato da una linea APERTACHIUSA INTREC.SEMPL.

31 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre GLI ANIMALI DELLA FATTORIA Claudio e Silvia stanno giocando con le costruzioni della fattoria e decidono di unire con un filo quelli che appartengono alla stessa specie. Ecco come hanno collegato i cani e le oche. Segna le caselle con la risposta giusta La linea che rappresenta il filo che unisce i cani è La linea che rappresenta il filo che unisce le oche è

32 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Anche Luca e Mara partecipano al gioco: ecco come hanno collegato i maiali e i gatti della fattoria Segna le caselle con la risposta giusta La linea che rappresenta il filo che unisce i maiali è La linea che rappresenta il filo che unisce i gatti è

33 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre LA STRADA NASCOSTA Dopo un’intera giornata passata a pascolare nel prato, la pecorella Camilla vuole tornare a casa. Speriamo che in mezzo a questo labirinto Camilla trovi la strada giusta. Segna le caselle con la risposta giusta Il percorso di Camilla è rappresentato da una linea Traccia il percorso che deve fare la pecorella Camilla

34 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre CRICRI A SPASSO Cricri si è così divertito a saltellare nel prato che decide di fare un altro giretto. Parte ancora dalla sua tana, ma va prima a salutare il bruco, poi a chiacchierare con la chiocciola e, infine, prima di tornare nella sua tana, passa dalla coccinella. Traccia il percorso del grillo Cricri Metti una crocetta nella tabella per indicare le caratteristiche della linea che hai tracciato apertachiusa Sempl. Intrec.

35 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre CRICRI A SPASSO Fare salti nel prato per andare a trovare i suoi amici diverte tanto Cricri, che decide di continuare. Parte sempre dalla sua tana e, saltando saltando, va dal bruco, poi dalla coccinella, infine si ferma a giocare dalla chiocciola Traccia il percorso del grillo Cricri Metti una crocetta nella tabella per indicare le caratteristiche della linea che hai tracciato apertachiusa Sempl. Intrec.

36 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre CRICRI A SPASSO Il grillo Cricri e il suo amico bruco insieme si divertono sempre moltissimo, per questo Cricri vuole andare da lui per una gara di salto in alto ma, prima di arrivare da lui, passa a salutare la chiocciola e poi la coccinella. Metti una crocetta nella tabella per indicare le caratteristiche della linea che hai tracciato apertachiusa Sempl. Intrec. Traccia il percorso del grillo Cricri

37 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre MILENA COMPIE TRE ANNI Milena compie tre anni: la mamma le ha fatto una torta speciale e i nonni le hanno regalato due libri di fiabe. Se Milena parte dal punto P e segue il percorso descritto dalle frecce seguenti, andrà a mangiare la torta o a leggere i libri? OB.:percorsi su griglia formati da tratti rettilinei – uso di codici   Traccia sulla griglia il percorso fatto da Milena, sapendo che ogni freccia corrisponde a un lato del quadretto della griglia Milena è andata a ………

38 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre LA FAMIGLIA LEPROTTINI Papà Leprottini ha corso tutto il giorno ed ora si sta riposando. Deve ancora percorrere il tratto di strada che vedi disegnato per raggiungere mamma Leprottini e il loro piccolo leprotto * Descrivi, usando le frecce, il percorso che papà Leprottini deve fare per arrivare dal suo leprotto, usa una freccia per ogni lato – quadretto, abbiamo iniziato il lavoro. ………………… …………………………

39 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre MAMMA CAPRA VA E TORNA Mamma capra, per raggiungere il suo capretto, fa il seguente percorso: 2d, 3a, 6d, 1a, 1d, 2a. a significa alto rispetto al foglio d significa destra rispetto a te Il numero indica di quanti lati quadretto è ogni spostamento. Con un codice simile al precedente, ora scrivi tu le istruzioni che permettono a mamma capra di tornare al punto di partenza, percorrendo lo stesso tragitto Confronta le istruzioni dei due percorsi. Che cosa noti?

40 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre STELLINA È GOLOSA D’INSALATA La chiocciolina Stellina ha molta fame. Per raggiungere il cespo d’insalata deve muoversi sulle linee del reticolo e può spostarsi solo in basso rispetto al foglio o a sinistra rispetto a te. Traccia con un colore un percorso che stellina può fare per arrivare al cespo d’insalata. Descrivi il percorso che hai segnato utilizzando i codici: s significa sinistra b significa basso Indica con un numero di quanti lati quadretto è ogni spostamento di Stellina. 1b 1s 1b 2s

41 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre STELLINA È GOLOSA D’INSALATA Anche oggi la chiocciolina Stellina ha molta fame e decide di ritornare a mangiare alcune foglie d'insalata. Non vuole ripetere il percorso già fatto, ma deve sempre rispettare le regole precedenti. Traccia con un colore un secondo possibile percorso di Stellina Descrivi il percorso con lo stesso codice che hai usato l’altra volta 2b 3s  Confronta i tuoi due percorsi con quelli dei tuoi compagni. Che cosa noti? ……………..

42 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre POSSIBILI PERCORSI SU RETICOLO Le schede presentate sono relative all’individuazione dei possibili percorsi su un reticolo, quando si fissano punti di partenza e di arrivo e si vincola all’utilizzo di un solo verso per ognuna delle due direzioni del reticolo stesso; questo significa che le situazioni devono essere formulate con i termini di una sola delle seguenti possibilità: Destra, alto Destra, basso Sinistra, alto Sinistra, basso

43 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Si invitano i bambini a confrontare le misure rispetto al lato quadretto, dei vari percorsi, in modo da evidenziare che la loro lunghezza resta invariata. Gli alunni noteranno che la lunghezza complessiva dei tratti orizzontali e quella dei tratti verticali sono uguali rispettivamente alle lunghezze dei due lati perpendicolari del rettangolo che ha come vertici opposti i punti di partenza e di arrivo.

44 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Disegniamo quattro dei possibili percorsi che uniscono P con A, in ciascuno di essi la misura, rispetto al lato-quadretto, dei tratti orizzontali è 5 e quella dei tratti verticali è 3, quindi ogni percorso è lungo 8 lati-quadretto. In attività simili si dovrà fare attenzione a non richiedere tutti i diversi percorsi possibili tra due punti fissati, perché il loro numero è il risultato di un calcolo combinatorio e può essere molto elevato.

45 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Un po’ di esercizio … divertente Il rettangolo E' possibile percorrere il contorno delle figure qui sotto con un solo tratto di penna percorrendo tutti i segmenti, ma ciascuno una sola volta? Fig.1Fig.2Fig.3

46 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre E' possibile disegnare le figure qui sotto senza mai staccare la penna dal foglio e percorrendo ogni segmento una sola volta? Fig.1 Fig.2

47 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre I ponti di Königsberg

48 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre I ponti di Königsberg Siamo a Konisberg, nel Il fiume che attraversa la città si divide in due rami formando un'isola in corrispondenza della biforcazione. Il territorio è diviso in 4 aree come si vede nella figura qui sotto: l'isola A, le due sponde B, C e la parte interna alla biforcazione D

49 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Origini storiche Nel 1736, il matematico svizzero Eulero ( ), affrontò l’annoso problema dei 7 ponti di Königsberg (Prussia): E’ possibile o meno fare una passeggiata che parta da un qualsiasi punto della città, percorra una ed una sola volta ciascuno dei 7 ponti, e ritorni quindi al punto di partenza?

50 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Origini storiche Eulero affrontò il problema schematizzando la pianta della città … e così Königsberg venne rappresentata con un insieme di 4 punti (uno per ciascuna zona della città), opportunamente uniti da 7 linee (una per ciascun ponte) A B C D A B C D

51 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre I ponti di Königsberg Una figura di questo tipo, formata da punti nodali (A, B, C, D) e da linee che li congiungono (a, b, c, d, e, f, g), si chiama grafo. I punti A, B, C, D si chiamano nodi. Le linee a, c, d, e, f, g si chiamano archi ( o lati o segmenti). Le superficie chiuse limitate da una serie di archi si chiamano regioni

52 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Il numero di archi che escono da un nodo si chiama ordine del nodo. Ad esempio l'ordine del nodo A è 5, mentre l'ordine del nodo D è 3 I ponti di Königsberg

53 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Quando si dice "nodo pari" o "nodo dispari" si intende rispettivamente "nodo di ordine pari" o "nodo di ordine dispari” I ponti di Königsberg

54 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Il problema dei 7 ponti Teorema di Eulero: Un grafo G, connesso, è percorribile se e solo se ha tutti i nodi di grado pari, oppure se ha esattamente due nodi di grado dispari. NOTA: un grafo con tutti i nodi di grado pari può essere percorso partendo da un qualsiasi nodo (e terminando quindi su di esso). Invece, per percorrere un grafo avente due nodi di grado dispari e tutti gli altri di grado pari, è necessario partire da uno qualsiasi dei due nodi di grado dispari, e terminare quindi sull’altro nodo di grado dispari.  Il problema dei 7 ponti non ammette soluzione, in quanto i 4 nodi hanno tutti grado dispari!

55 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre I ponti di Königsberg Quello che sembrava un piccolo rompicapo senza importanza, nelle mani di Eulero diventò un grande problema matematico, punto di partenza della teoria dei grafi e di una nuova scienza: la topologia, destinata a grandi sviluppi, un secolo più tardi.

56 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Variazioni (8 ponti) I vertici del grafo sono identificati con personaggi e ruoli, in modo da verificare la comprensione dell'argomento mantenendo viva l'attenzione. Sulla riva settentrionale della città sorge il castello del principe Blu, sulla riva meridionale sorge quello del principe Rosso, suo fratello e rivale. Sull'isola orientale vi è la chiesa, sede del Vescovo mentre nell'isola centrale si trova un'osteria, nella quale molti abitanti della città avevano l'abitudine la sera di trattenersi per tentare poi l'impresa chiamata passare i ponti.

57 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre L'ottavo ponte del principe Blu Il principe Blu, dopo aver analizzato il sistema dei ponti cittadini con l'aiuto della teoria dei grafi, si convince dell'impossibilità di passare i ponti. Decide allora di costruire di nascosto un ottavo ponte che gli permetta la sera di passare i ponti partendo dal suo castello e finendo all’osteria dove potersi vantare della sua riuscita; e inoltre fa in modo che il principe Rosso non riesca a fare altrettanto a partire dal suo castello. Dove costruisce l'ottavo ponte il principe Blu

58 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre L'ottavo ponte del Principe Blu (soluzione) Le passeggiate di Eulero sono possibili se esattamente 2 nodi posseggono un numero dispari di spigoli, che sono esattamente i nodi iniziale e finale della passeggiata. Poiché il problema presenta solo 4 nodi, tutti con grado dispari, la passeggiata inizia nel nodo blu e termina nel nodo arancione. Bisogna quindi disegnare un nuovo spigolo fra gli altri due nodi. Poiché hanno formalmente un numero dispari di spigoli, bisogna creare un numero pari di spigoli in tutti i nodi che non siano quello iniziale e finale.

59 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Il nono ponte del Principe Rosso Risolto il problema dell'ottavo ponte, il nono ponte presenta una soluzione facile. Si richiede di utilizzare il nodo rosso come punto di partenza e l'arancione come arrivo. Per cambiare la parità dei nodi rosso e blu, disegna un altro spigolo fra i due.

60 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Il decimo ponte del Vescovo Il decimo ponte va in una direzione leggermente diversa. Il Vescovo vuole che ogni cittadino ritorni al punto di partenza. Questo è un cammino euleriano e richiede che tutti i nodi siano di grado pari. Dopo la soluzione del nono ponte i nodi rosso e arancione sono di grado dispari quindi devono essere cambiati aggiungendo un nuovo spigolo fra di loro.

61 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Alla luce di quanto spiegato, possiamo capire perché il rettangolo con le diagonali è un esercizio impossibile... mentre la casetta ha diverse soluzioni. 2

62 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Altri esercizi Ecco alcuni altri esercizi. Quali sono possibili e quali impossibili? HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

63 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Altri esercizi: soluzioni

64 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Altri esercizi: soluzioni I tre esercizi qui sopra sono equivalenti e impossibili poiché hanno 4 nodi dispari. Le figure a fianco sono equivalenti e, avendo solo nodi pari, possono essere tracciate partendo da uno qualunque dei nodi. Questo esercizio è impossibile perché ha 4 nodi dispari.

65 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Emma Castelnuovo.... Il punto di partenza dell’apprendimento deve essere il problema, non la teoria bella e fatta, e la prima soluzione deve essere escogitata costruttivamente … Poi verrà, se verrà, la sistemazione rigorosa, deduttiva, la teoria compiuta.

66 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre Bibliografia Baruk S. (1998), Dizionario di matematica elementare, Bologna, Zanichelli traduzione a cura di F. Speranza e L. Grugnetti. Colombo Bozzolo C., 1992, I problemi: affascinante attività del pensiero umano, in Scuola italiana moderna, n. 11. D’Amore B., 1993, Problemi. Pedagogia e psicologia della matematica nell’attività del problem solving, Franco Angeli, Milano. Freudenthal H. (1994) Ripensando l’educazione matematica, Brescia, Edizioni La Scuola traduzione a cura di C.F. Manara. Hilbert D. (1970), Fondamenti della geometria, Milano, Feltrinelli Manara C.F., 1984, L’insegnamento della matematica per problemi. Spunti di discussione, in L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 7, n.3. Manara C.F. (1989), Problemi di didattica della matematica, Brescia, Edizioni La Scuola Zan R., 1998, Problemi e convinzioni, Pitagora, Bologna.


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