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INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA PROBABILITÀ ORIGINI DEL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ Terzina del canto VI del Purgatorio di Dante («canto di Sordello»

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Presentazione sul tema: "INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA PROBABILITÀ ORIGINI DEL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ Terzina del canto VI del Purgatorio di Dante («canto di Sordello»"— Transcript della presentazione:

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3 INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA PROBABILITÀ

4 ORIGINI DEL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ Terzina del canto VI del Purgatorio di Dante («canto di Sordello» ): Quando si parte il giuoco della zara colui che perde si riman dolente ripetendo le volte e tristo impara 1324

5 ORIGINI DEL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ Terzina del canto VI del Purgatorio di Dante («canto di Sordello» ): Quando termina il gioco della zara, colui che ha perso rimane triste e solo, riprova invano i tiri ed impara suo malgrado 1324

6 Risposta di Galileo a un quesito postogli da alcuni giocatori, sempre sul gioco della zara Non riuscivano a comprendere come mai ottenere 10 o 11 fosse più facile che fare 9 o Galileo Galilei ( )

7 INTERESSE PER I GIOCHI D’AZZARDO Il termine “ALEATORIO” deriva dal latino ALEA = DADO “AZZARDO” deriva dall’arabo ZAR =DADO

8 1654 carteggio tra Pascal e Fermat Il cavaliere De Méré, fanatico giocatore, pone alcuni quesiti a Pascal Pierre de Fermat ( ) Blaise Pascal ( )

9 Jacques Bernoulli ( ) 1700 Grandi passi ad opera di Bernoulli e De Moivre Abraham De Moivre ( )

10 1800 Laplace definisce i fondamenti del calcolo delle probabilità

11 1900 Il concetto di probabilità viene generalizzato. De Finetti, Von Mises, Kolmogorov costruiscono la teoria della probabilità, a partire da diverse definizioni

12 ANZITUTTO… QUALI SONO “GLI OGGETTI?”

13 U = spazio degli eventi Insieme dei possibili esiti di un “esperimento” ESEMPIO ESPERIMENTO = LANCIO DI UN DADO U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

14 EVENTO = QUALUNQUE SOTTOINSIEME DI U EVENTO ELEMENTARE = QUALUNQUE SOTTOINSIEME DI U CONTENENTE UN SOLO OGGETTO

15 U = EVENTO CERTO Ø = EVENTO IMPOSSIBILE DUE EVENTI SI DICONO INCOMPATIBILI SE A  B = Ø

16 MA ORA È VENUTO IL MOMENTO DI CHIEDERSI…

17 COS’È LA PROBABILITÀ DI UN EVENTO?

18 UNA PROVOCAZIONE: “PROBABILITY DOES NOT EXIST” Bruno De Finetti

19 DEFINIZIONI DI PROBABILITA’ CLASSICA (Laplace) SOGGETTIVA (De Finetti) FREQUENTISTA (Von Mises) ASSIOMATICA (Kolmogorov)

20 DEFINIZIONE CLASSICA Probabilità = rapporto tra i casi favorevoli al verificarsi dell’evento e i casi possibili Pierre Simon de Laplace ( )

21 DEFINIZIONE SOGGETTIVA Probabilità = quanto un soggetto coerente è disposto a scommettere sul verificarsi dell’evento Bruno De Finetti ( )

22 DEFINIZIONE FREQUENTISTA Probabilità =rapporto tra il numero di “successi” dell’evento e il numero di “esperimenti” effettuati Ludwig Edler Von Mises ( )

23 DEFINIZIONE ASSIOMATICA Probabilità = un numero reale compreso tra zero e uno, soddisfacente alcuni assiomi Andreij Nikolaevicz Kolmogorov ( )

24 PER RAGIONI DI CARATTERE DIDATTICO, UTILIZZEREMO UN MODELLO “IBRIDO” CHE SI BASA PRINCIPALMENTE SULLA DEFINIZIONE OGGETTIVA E SU QUELLA ASSIOMATICA

25 ASSIOMI DELLA PROBABILITÀ la probabilità di un evento E è un numero reale compreso tra 0 e 1 0  p(E)  1 La probabilità dell’evento certo è 1, inoltre, se un evento E ha probabilità 1, allora E è l’evento certo p(E) = 1  E=U

26 Se A e B sono due eventi incompatibili, allora la probabilità dell’evento unione è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi A  B=  p(A  B)=p(A)+p(B)

27 TEOREMI p(Ø) = 0 p(A C ) = 1 - p(A) A  B  p(A)  p(B) p(A - B) = p(A) - p(A  B) p(A  B) = p(A) + p(B) –p(A  B)

28 PROBABILITÀ CONDIZIONATA Dati due eventi A e B di uno stesso esperimento aleatorio, la probabilità CONDIZIONATA di A rispetto a B P(A|B) è la probabilità che si verifichi A supponendo di sapere che si è verificato B

29 PROBABILITÀ CONDIZIONATA Se p(A|B) ≠ p(A) si dice che A e B sono DIPENDENTI Se p(A|B) = p(A) si dice che A e B sono INDIPENDENTI

30 TEOREMI

31 A 1, A 2, … A n eventi tali che A 1  A 2  …  A n = U, A i  A j =  per ogni i  j B evento dello stesso spazio U che si è verificato TEOREMA DELLE PROBABILITÀ TOTALI

32 TEOREMI A 1, A 2, … A n eventi tali che A 1  A 2  …  A n = U, A i  A j =  per ogni i  j B evento dello stesso spazio U che si è verificato FORMULA DI BAYES (“PROBABILITÀ DELLE CAUSE”)

33 TEOREMI DISTRIBUZIONE BINOMIALE (SCHEMA DELLE “PROVE RIPETUTE” DI BERNOULLI) A evento con p(A)=p, B evento contrario con p(B)=q L’ esperimento è ripetuto n volte nelle stesse condizioni. La probabilità che A si verifichi esattamente k volte è:


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