Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento Fulvia Furinghetti Gruppo Ricerca Educazione Matematica Genova.

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1 Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento Fulvia Furinghetti Gruppo Ricerca Educazione Matematica Genova Dipartimento di Matematica dell’Università di Genova Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.1

2 Dictionnaire des mathématiques ou idée générale des mathématiques di Ozanam (1691, Amsterdam) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.2

3 L’algebra è come il gatto del Cheshire … The algebrization of mathematics, Samuel Eilenberg (1969) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.3

4 Che cosa è l’algebra e che cosa è stata nella storia? (Freudenthal, What is algebra and what has been in history, 1976) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.4

5 L’algebra è... 1. simbolismo operazionale 2. attenzione alle relazioni matematiche più che agli oggetti matematici, le quali relazioni determinano le strutture che costituiscono l’oggetto dell’algebra moderna. Il modo di pensare algebrico è quindi basato su una logica relazionale più che predicativa 3. libertà da ogni questione ontologica e coinvolgimento, e, legato a ciò, astrazione piuttosto che intuizione Michael Mahoney (1971) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.5

6 Si cercherà di capire che cosa è l’algebra attraverso ciò che è stata nella storia Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.6

7 Argomenti trattati parametri, variabili, …algebra scolastica visualizzare l’algebra e scrivere la geometria metodi approssimati e quasi-euristici Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.7

8 Autori trattati Anonimi Euclide Pappo Diofanto Al-Khwarizmi Viète Descartes Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.8

9 Argomenti non trattati esplicitazione delle strutture storia dell’insegnamento dell’algebra note biografiche Storia usata come lente di ingrandimento per districare i nodi concettuali fonte di problemi Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.9

10 Filo rosso: metodo di analisi e sintesi nasce dalla storia (Pappo, Viète,...) va in classe (Smith, Sabbatini, Campedelli) torna alla storia e va in classe (insegnante: Annamaria Somaglia, autore del percorso scelto) flash back flash, ma non pezzi separati Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.10

11 David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston). Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161-162) “Riguardo alla dimostrazione, di solito lo studente vagola più o meno finché imbrocca la via giusta e la segue fino alla conclusione. Non deve essere rimproverato se fa questo, perché segue il metodo che si è seguito e si seguirà da che mondo è mondo. Questo è il metodo sintetico, costruire la dimostrazione da proposizioni precedentemente provate” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.11

12 David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161-162) “Ma si dovrebbe dire agli studenti che se essi non trovano abbastanza facilmente le proposizioni necessarie per costruire la dimostrazione, conviene che non rimandino di rivolgersi ad un altro e più sistematico metodo. Questo è noto come il metodo di analisi ed è applicabile a teoremi ed a problemi.” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.12

13 David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161- 162) “Ha molte forme, ma per lo studente non sono poi così importanti queste distinzioni, bensì basta dargli l’idea di base di queste forme, un’idea che risale a Platone (V sec. a.C.).” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.13

14 David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161- 162) “Per un teorema, il metodo di analisi consiste nel ragionare come segue: posso provare questa proposizione se posso provare questa cosa; posso provare questa cosa se posso provare questa; posso provare questa se posso provare una terza cosa”. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.14

15 David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161-162) “Questo non prova la proposizione, ma permette allo studente di rovesciare il processo, iniziando con la cosa che può provare e andando indietro, passo passo, alla cosa che è da provare. Dunque l’analisi è il suo metodo di scoperta del modo in cui può sistemare le dimostrazioni in geometria. Gli studenti spesso si chiedono come uno ha fatto a farsi venire in mente come sistemare le dimostrazioni in geometria e questo [l’analisi] risponde alla domanda.” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.15

16 David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161-162) “Qualcuno ha congetturato che un dato enunciato fosse vero; ha applicato l’analisi e trovato che poteva provarlo; ha applicato la sintesi e lo ha provato. Per un problema, il metodo di analisi è lo stesso che nel caso del teorema. Invero, sono coinvolte due cose invece di una, perché in questo caso si deve fare la costruzione e poi provare che essa è corretta. Dunque lo studente prima suppone il problema risolto e vede che risultati seguono. Poi rovescia il processo e vede se riesce ad avere questi risultati e fa la costruzione richiesta. Se la cosa funziona, espone il processo e la dimostrazione risultante.” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.16

17 In un triangolo ABC disegnare la retta PQ parallela alla base AB che taglia i lati nei punti P e Q, cosicché PQ vale AP + BQ Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.17