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CONSEGUENZE FONDAMENTALI DELLA CONTINUITÀ E DELLA DIFFERENZIABILITÀ DELLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

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Presentazione sul tema: "CONSEGUENZE FONDAMENTALI DELLA CONTINUITÀ E DELLA DIFFERENZIABILITÀ DELLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI."— Transcript della presentazione:

1 CONSEGUENZE FONDAMENTALI DELLA CONTINUITÀ E DELLA DIFFERENZIABILITÀ DELLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

2 Argomenti della lezione Conseguenze della continuità delle funzioni. Conseguenze della continuità delle funzioni. Conseguenze della differenziabiltà delle funzioni di più variabili: continuità, derivabilità, gradiente. Conseguenze della differenziabiltà delle funzioni di più variabili: continuità, derivabilità, gradiente.

3 CONSEGUENZE DELLA CONTINUITÀ

4 R n Un sottoinsieme A R n si dice limitato se esiste un numero reale r > 0, tale che R n A {x R n : |x|

5 Teorema Ogni funzione continua f : K R n R, con K chiuso e limitato, ha un valore massimo e uno minimo. (di Weierstrass)

6 R n Un sottoinsieme A R n si dice connesso (per archi) se comunque si prendano due punti x,y A esiste un arco di curva continua a valori in A che congiunge x con y. R n Un arco di curva continua è una funzione f : I R n, f = (f 1,.., f n ) T, nella quale le singole componenti f 1 (t),.., f n (t) sono funzioni continue. I = [a,b] è un intervallo della retta reale, per esempio I = [0,1].

7 x y f(0)= ( f 1 (0),…, f n (0) ) T = x f(1)= ( f 1 (1),…, f n (1) ) T = y

8 Teorema (degli zeri) Sia A un insieme connesso in R n e f : A R n R, una funzione continua. Se x e y sono punti di A tali che f(x) > 0 e f(y) < 0, allora esiste z A tale che f(z) = 0.

9 CONSEGUENZE DELLA DIFFERENZIABILITÀ

10 Teorema Ogni funzione differenziabile in un punto x 0 è continua nello stesso punto.

11 f : A R n R si dice differenziabile in x 0 = (x 0 1, x 0 2,… x 0 n ) T se esiste un applicazione lineare L : R n R tale che f (x) = f (x 0 )+ L (x-x 0 )+ (x) |x-x 0 | con (x) 0 se x x 0.

12 Unapplicazione lineare L : R n R si scrive esplicitamente L (x - x 0 ) = L 1 (x 1 - x 1 0 )+…+ L n (x n - x n 0 ) con L 1, …, L n numeri reali.

13 lim x x0x0x0x0 f (x) f ( x0x0x0x0)

14 Teorema Se una funzione è differenziabile in un punto x 0, essa ha derivate in ogni direzione in x 0. In particolare, ha tutte le derivate parziali.

15 Sia x = x 0 + vt lequazione della retta per x 0 di direzione v. |v| = |t|, |x - x 0 | = |t| |v| = |t|, poiché |v| = 1 (v è un versore). f(x 0 +vt)-f(x 0 ) _____________________ t = L (v)+ (x 0 +vt) |t| t

16 Dunque f v (x 0 ) = L (v) = L 1 v 1 +…+ L n v n In particolare f e k (x 0 ) = L ( e k ) = L 1 0+…+ L k 1 + …+ L n 0= L k = f x k (x 0 )

17 Si dice differenziale di f in x 0 df x 0 (x-x 0 ) = L(x-x 0 ) = (x 0 ) (x 1 - x 1 0 )+…+ f x n f x 1 (x 0 ) (x n - x n 0 ) La derivata direzionale si scrive f v (x 0 ) = f x 1 (x 0 ) v 1 +…+ f x n (x 0 ) v n

18 Se f, in particolare, è la proiezione sullasse k-esimo, f(x 1,…, x n ) = x k, le derivate parziali di f rispetto a x i sono D i f(x 0 ) = ik (0 se ik, 1 se i=k), e perciò il suo differenziale in x 0 è df x 0 (x-x 0 ) = x k - x k 0. Dunque: dx k (x-x 0 ) = x k - x k 0. Da ciò nasce la notazione spesso usata df x 0 = d (x 0 )d x 1 +…+ f x n f x 1 d (x 0 )d x n

19 Il vettore che ha come componenti le derivate parziali di f in x 0 si dice gradiente il gradiente della funzione in x 0. (grad f)( x 0 ) = ( f )( x 0 ) = = ( (f/x 1 )( x 0 ), …, (f/x n )( x 0 ) ) T = = ( (D 1 f)( x 0 ), …, (D n f)( x 0 ) ) T

20 CONCLUSIONE Se f è differenziabile in x 0 f ha derivate in x 0 in ogni direzione e (D v f)(x 0 ) = (grad f)( x 0 ) v = = ( f)( x 0 ) v = ( f)( x 0 ), v Nota: il simbolo si legge nabla.

21 Supponiamo |( f)( x 0 )| 0. Poiché (D v f)(x 0 ) = ( f)( x 0 ), v = | cos | ( f)( x 0 )|| v| cos =0, Il massimo di (D v f)(x 0 ) si ha per =0, il minimo per =. Cioè la derivata direzionale è massima nella direzione di di ( f)( x 0 ); minima nella direzione opposta -( f)( x 0 ).

22 ULTERIORI CONSEGUENZE DELLA DIFFERENZIABILITÀ Se f è differenziabile in x 0 vale f (x) = f (x 0 )+ L (x-x 0 )+ (x) |x-x 0 | con (x) 0 se x x 0.

23 Il valore di f(x) è dato dalla somma di un termine lineare f (x 0 )+ L(x-x 0 ) e di un contributo infinitesimo (x)|x-x 0 | dordine maggiore di uno (rispetto a |x-x 0 | ). Il termine lineare f (x 0 )+ L(x-x 0 ) è in R n lequazione di un iperpiano, che si dice liperpiano tangente al grafico di f in x 0.

24 z-z 0 = ( (x 0 )( x 1 - x 1 0 ) +…+ f x n f x 1 ( (x 0 )( x n - x n 0 ) Equazione delliperpiano tangente al grafico di f in x 0. Equazione del piano tangente al grafico di f(x,y) in (x 0,y 0 ). z-z 0 = ( (x 0 )( x- x 0 ) + f y f x ( (x 0 )( y - y 0 )

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