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U.D. Matematica1 La dimensione storica delle idee matematiche LE CURVE PARABOLICHE NELLA RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA CLASSICO DELLANTICHITA LA DUPLICAZIONE.

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1 U.D. Matematica1 La dimensione storica delle idee matematiche LE CURVE PARABOLICHE NELLA RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA CLASSICO DELLANTICHITA LA DUPLICAZIONE DEL CUBO

2 U.D. Matematica2 Premessa Struttura dellunità didattica Destinatari Def. dei pre-requisiti Obiettivi generali Obiettivi specifici Metodi Strumenti Tempi Contenuti Verifiche Test pre-req. Formative Sommative Eventuale recupero Criteri di valutazione (c.di classe)

3 U.D. Matematica3 Prerequisiti: 1 Sistemi di equazioni 2 Concetti generali sulle coniche 3 Lambiente Derive LA DUPLICAZIONE DEL CUBO Destinatari: classe 2^

4 U.D. Matematica4 OBIETTIVI GENERALI 1. Inserire il fatto matematico nel contesto storico 2. (Ri)scoprire lattualità di metodi semplici 3. Valorizzare i percorsi problematici della conoscenza

5 U.D. Matematica5 OBIETTIVI SPECIFICI 2. Conoscenza, comprensione, e analisi teorica del tema (sapere) 3. Costruzione geometrico/algebrica delle curve risolutrici con metodi tradizionali e con software dedicato (es. Derive) (saper fare) 1. Analisi intuitiva del tema (induzione)

6 U.D. Matematica6 METODI 1.Brevi comunicazioni frontali per lintroduzione del tema e lesposizione dei livelli di prestazione richiesti 2. Lettura di testi che trattano storicamente largomento 3.Spiegazione (intuitivo/comunicativo/funzionale) delle procedure (anche con tecniche m.m) 4. Sviluppo e sistemazione logico/teorica del tema

7 U.D. Matematica7 STRUMENTI 1. Laboratorio 2.1 Floppy disk (contenente in forma m.m. il tema oggetto della lezione) per ogni alunno. 3. Video proiettore (per lesposizione in laboratorio) 4. Fotocopie (per i collegamenti di carattere storico)

8 U.D. Matematica8 TEMPI 1. Test pre-requisiti: 1 h 2. Presentazione - Lezioni frontali - : 3 h 3. Laboratorio: 2 h 5. Test di verifica finale: 2 h Recupero (eventuale): 4 h 4. Test di verifica formativa: 1 h

9 U.D. Matematica9 I greci si posero, fin dalle prime speculazioni (filosofiche prima che geometriche), la questione di quali strumenti potessero essere legittimamente usati nella risoluzione dei problemi geometrici La risposta che essi diedero fu molto semplice e rigorosa: potevano essere utilizzati soltanto una riga (senza alcuna graduazione) ed un compasso. Erano quindi tracciabili segmenti di retta e circonferenze: curve elementari e perfette, da cui tutte le altre costruzioni geometriche dovevano discendere CONTENUTI CENNI STORICI

10 U.D. Matematica10 E ammirevole questa sorta di codice comportamentale, che i greci adottarono senza alcuna perplessità in nome di un concetto di assoluta purezza e di una semplicità di indagine che si ispiravano ai canoni della filosofia platonica Una volta stabilite le regole del gioco i geometri greci si dedicarono alla studio di tre problemi (in questa sede analizzeremo la duplicazione del cubo), che sono noti come i tre (gli altri due sono la quadratura del cerchio e la trisezione dellangolo) problemi classici dellantichità. Per ironia della sorte, nessuno dei tre poteva essere risolto con riga e compasso Veramente diaboliche le due caratteristiche dei tre grandi problemi dellantichità : non era possibile risolverli con riga e compasso, né era possibile accorgersi di tale impossibilità!

11 U.D. Matematica11 U.D. 1- LA DUPLICAZIONE DEL CUBO Apollo, al quale nellisola di Delo era stato dedicato un altare a forma cubica, chiese agli abitanti di raddoppiarne il volume, mantenendone tuttavia la forma. Secondo unaltra leggenda era stato Minosse re di Creta a voler raddoppiare la tomba a forma di cubo, eretta per suo figlio Glauco. In entrambi i casi i matematici dovettero arrendersi: il problema non è risolubile con riga e compasso; eppure la soluzione algebrica è assolutamente evidente, se il cubo ha (p.es.) il lato uguale a 1 (cioè volume = 1), il cubo di volume doppio deve avere il lato uguale alla radice cubica di 2. In genere si tende a rispondere (con una certa sicurezza !), che il cubo di volume doppio deve avere il lato ancora doppio, ma in questo caso il volume risulterebbe 8 volte maggiore di quello precedente: V 1 = L 1 · L 1 · L 1 se L 2 = 2 · L 1 allora risulterebbe V 2 = L 2 · L 2 ·L 2 = 2L 1 · 2L 1 · 2L 1 = 8(L 1 ·L 1 ·L 1 ) = 8V 1 (e non 2V 1 )

12 U.D. Matematica12 L 1 = 1 L2 =L2 = V 1 = 1 V 2 = 2 In altri termini, se per semplicità, supponiamo che il cubo da duplicare abbia lato unitario (L 1 = 1) allora: Infatti se moltiplichiamo tre volte L 2 per se stesso otteniamo proprio il volume V 2 = 2 · · =

13 U.D. Matematica13 Menecmo trovò un metodo adatto alla soluzione del problema. Egli però fu costretto a rinunciare al metodo della riga e del compasso Ragionando in termini moderni si consideri la parabola: y = x 2 E la parabola: x = ½ y 2

14 U.D. Matematica14 Le due curve si intersecano (oltre che nellorigine) in un punto P la cui ascissa è proprio uguale alla radice cubica di 2, cioè al lato del cubo di volume doppio; con una semplice sostituzione, e qualche passaggio algebrico, si ottiene la soluzione: y = x 2 x = ½ y 2 y = x 2 x = ½ (x 2 ) 2 x = ½ x 4 1 = ½ x 3 x 3 = 2 x = 3 2

15 U.D. Matematica15 Costruzione (con Derive) della parabola y = x2x2

16 U.D. Matematica16 Costruzione (con Derive) della parabola x =1/2 y2y2

17 U.D. Matematica17 Le due parabole si intersecano in P

18 U.D. Matematica18 QO Il segmento OQ (lascissa di P) è il lato del cubo di volume doppio.

19 U.D. Matematica19 LUnità Didattica di Matematica termina qui. Grazie e buon lavoro! Benvenuti al corso di informatica (prof. M. Fanton) scegliere diapo-avvio


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