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1 Liceo scientifico G.Aselli classe III E anno scolastico 2005-2006 BOLLI Elena, DAL RIO Chiara, FAROLDI Federico, LOFFI Ilaria, MORANDI Benedetta, PASINO.

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2 1 Liceo scientifico G.Aselli classe III E anno scolastico BOLLI Elena, DAL RIO Chiara, FAROLDI Federico, LOFFI Ilaria, MORANDI Benedetta, PASINO Eleonora Gruppo 4 :

3 2 Le coniche secondo APOLLONIO di PERGA Chi capisce Archimede e Apollonio, ammirerà meno le conquiste dei più eminenti matematici dei tempi successivi (Leibniz)

4 3 LA VITA I PROBLEMI MINORI LE CONICHE BIBLIOGRAFIA SITOGRAFIA

5 4 LA VITA Apollonio non era nativo di Alessandria, dove compì i suoi studi; ma era nato a Perga in Panfilia. Non conosciamo con esattezza le date della sua vita, ma la tradizione riferisce che operò durante la seconda metà del III secolo a.C. Sono pervenute fino a noi opere di Apollonio che si occupano di diversi campi della matematica: - Luoghi Piani -Dizione Rapida (calcolo approssimato di al valore di 3,1416) - Tangenze INDICE - Le coniche - La sezione di un rapporto - La sezione di unarea - Sulla sezione determinata

6 5 I PROBLEMI MINORI Si deve ad Apollonio lintroduzione di due sistemi alternativi a quelli delle sfere concentriche: luno formato da moti epiciclici, laltro da moti eccentrici. Nel primo schema si assumeva che un pianeta P si muovesse uniformemente lungo un piccolo cerchio (epiciclo), il cui centro a sua volta si muoveva uniformemente lungo la circonferenza di un cerchio più grande (deferente) che aveva il suo centro nella Terra O. Nello schema eccentrico il pianeta P si muove uniformemente lungo la circonferenza di un grande cerchio il cui centro C si muove a sua volta uniformemente in un piccolo cerchi con centro in E. Se PC=CE, i due schemi geometrici saranno equivalenti come ben sapeva Apollonio. INDICE

7 6 nellopera Luoghi Piani Apollonio definisce il luogo dei punti tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissi sia costante (e diverso da uno) è un cerchio, oggi noto come il cerchio di Apollonio. nellopera Luoghi Piani Apollonio definisce il luogo dei punti tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissi sia costante (e diverso da uno) è un cerchio, oggi noto come il cerchio di Apollonio. LA VITA INDICE

8 7 LA VITA

9 8 nei libri La sezione di un rapporto, La sezione di unarea e Sulla sezione determinata vengono risolti problemi che noi assimiliamo alle equazioni di secondo grado. nei libri La sezione di un rapporto, La sezione di unarea e Sulla sezione determinata vengono risolti problemi che noi assimiliamo alle equazioni di secondo grado. ax – x 2 = bc (problema di applicare ad un segmento rettilineo un rettangolo uguale a un rettangolo meno un quadrato) INDICELA VITADERIVAZIONE DEL NOME…

10 9 nei libri La sezione di un rapporto, La sezione di unarea e Sulla sezione determinata vengono risolti problemi che noi assimiliamo alle equazioni di secondo grado. nei libri La sezione di un rapporto, La sezione di unarea e Sulla sezione determinata vengono risolti problemi che noi assimiliamo alle equazioni di secondo grado. ax + x 2 = bc (problema di costruire su un segmento un rettangolo uguale ad un rettangolo più un quadrato) INDICELA VITADERIVAZIONE DEL NOME…

11 10 Il trattato delle Tangenze presenta il problema oggi noto come il problema di Apollonio: Il trattato delle Tangenze presenta il problema oggi noto come il problema di Apollonio: Date tre cose, ciascuna delle quali può essere un punto,una retta o un cerchio, tracciare un cerchio che sia tangente a ciascuna delle tre cose (dove tangenza a un punto va intesa nel senso che il cerchio passa per il punto). Questo problema comporta dieci casi, dai due più facili(in cui le tre cose sono tre punti o tre rette) a quello più difficile di tutti (tracciare un cerchio tangente a tre cerchi). Date tre cose, ciascuna delle quali può essere un punto,una retta o un cerchio, tracciare un cerchio che sia tangente a ciascuna delle tre cose (dove tangenza a un punto va intesa nel senso che il cerchio passa per il punto). Questo problema comporta dieci casi, dai due più facili(in cui le tre cose sono tre punti o tre rette) a quello più difficile di tutti (tracciare un cerchio tangente a tre cerchi). INDICE LA VITA

12 11 LE CONICHE Premettiamo alla presentazione dei problemi riguardanti le coniche il fatto che Apollonio doveva necessariamente operare con il più rigoroso, ma molto più ingombrante, strumento dellalgebra geometrica, a causa della totale mancanza di geometria analitica. Premettiamo alla presentazione dei problemi riguardanti le coniche il fatto che Apollonio doveva necessariamente operare con il più rigoroso, ma molto più ingombrante, strumento dellalgebra geometrica, a causa della totale mancanza di geometria analitica. - il cono non doveva necessariamente essere retto, ma anche obliquo o scaleno. - non era necessario prendere sezioni perpendicolari a un elemento del cono - da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche semplicemente variando linclinazione del piano di intersezione. INDICE Apollonio, per la prima volta, dimostrò che:

13 12 Derivazione del delle coniche Derivazione del nome delle coniche D Derivazione del nome delle coniche Per circa un secolo e mezzo le curve erano state indicate con generici appellativi, fu Apollonio che introdusse i nomi di ellisse, di parabola e di iperbole in relazione a queste curve (usati invece in precedenza dai pitagorici per la risoluzione di equazioni di 2°grado). Per circa un secolo e mezzo le curve erano state indicate con generici appellativi, fu Apollonio che introdusse i nomi di ellisse, di parabola e di iperbole in relazione a queste curve (usati invece in precedenza dai pitagorici per la risoluzione di equazioni di 2°grado). Per classificare le diverse curve prendeva in considerazione il : un segmento perpendicolare allasse maggiore della conica, passante per un fuoco, avente gli estremi sulla conica. Per classificare le diverse curve prendeva in considerazione il parametro: un segmento perpendicolare allasse maggiore della conica, passante per un fuoco, avente gli estremi sulla conica. È ad Eutocio, commentatore dellantichità, che risale la responsabilità dellopinione, largamente diffusa, ma errata, secondo cui i termini ellisse, parabola e iperbole furono adottati da Apollonio per indicare le differenti disposizioni del piano di intersezione rispetto alla seconda falda del cono. INDICE

14 13 ELLISSE (che significa mancanza) era stato usato quando un rettangolo di area data veniva adagiato su un segmento dato – il parametro - in modo che ne differiva per difetto. Quindi per lellisse il quadrato costruito sullordinata è minore del rettangolo formato dallascissa x e dal parametro l (y 2

15 14 IPERBOLE (che significa lanciare al di là) era stato adottato per il caso in cui l area da applicare eccedeva il segmento. Per l'iperbole il quadrato costruito sullordinata è maggiore del rettangolo formato dallascissa x e dal parametro l (y 2 >lx). INDICE

16 15 PARABOLA (che significa porre accanto o confrontare) era stato usato per indicare lassenza sia di eccesso sia di difetto. La parabola ha la proprietà per cui,qualunque punto della curva si scelga,il quadrato costruito sullordinata è esattamente uguale al rettangolo formato dallascissa x e dal parametro l (y 2 =lx). INDICE

17 16 Nellopera Le coniche Apollonio affronta varie questioni: individua la relazione fondamentale tra quelle che oggi chiameremmo le coordinate piane di un punto sulla curva espresse dalle tre equazioni y 2 =lx, e la proprietà delliperbole riferite ai suoi asintoti come assi, proprietà attualmente espressa, per liperbole equilatera, dallequazione xy=k 2 risolve problemi, divenuti famosi nellantichità, come il luogo geometrico rispetto a tre o quattro rette che risolve riconducendo la soluzione alle sezioni coniche (in quanto il problema viene risolto mediate unequazione si 2°grado nelle incognite x e y) introduce lidea delliperbole come curva a due rami INDICE inizia lo studio delle diverse intersezioni tra le varie coniche

18 17 Studiando i punti di intersezione tra le normali, giunge a definire il luogo dei punti che oggi identifichiamo con l evoluta della conica (per evoluta di una conica si intende la curva su cui giacciono i centri di curvatura, cioè i centri dei cerchi che meglio approssimano la curva in ogni suo punto: i cerchi osculatori ) Studiando i punti di intersezione tra le normali, giunge a definire il luogo dei punti che oggi identifichiamo con l evoluta della conica (per evoluta di una conica si intende la curva su cui giacciono i centri di curvatura, cioè i centri dei cerchi che meglio approssimano la curva in ogni suo punto: i cerchi osculatori ) INDICE tratta dei segmenti massimi e minimi che si possono tracciare rispetto ad una conica riducendo questo problema a teoremi sulle tangenti e sulle normali definendone esattamente la natura

19 18 cerchi osculatori dellellisse esempi di evolute di ellissi esempio di evoluta di una parabola

20 19 Notazioni su Le coniche Notazioni su Le coniche - è presumibile che Apollonio conoscesse la proprietà delle curve di avere un fuoco e anche una direttrice, ma di questi non viene fatta alcuna menzione nelle Coniche, se non indirettamente - la trattazione antica delle coniche non presentava nessun concetto numerico che corrispondesse a quella che oggi chiamiamo eccentricità - i metodi usati da Apollonio nelle Coniche sono, per molti aspetti, molti simili a quelli moderni. Limpiego di rette di riferimento in generale, e quello di un diametro e di una tangente allestremo di una conica in particolare, non è essenzialmente diverso dalluso di un sistema di coordinate, siano esse rettangolari o, più generalmente, oblique - parlando della geometria greca possiamo dire che le equazioni sono determinate da curve, ma non che le curve siano definite da equazioni - parlando della geometria greca possiamo dire che le equazioni sono determinate da curve, ma non che le curve siano definite da equazioni INDICE

21 20 BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA APOLLONIO DI PERGA, Les coniques, trad. di P. Ver Eecke, Desclèe de Brouwer, Bruges, BOYER, CARL B., Storia della Matematica, trad. di A. Carugo, Mondadori, Milano, KLINE, MORRIS, Storia del Pensiero Matematico, trad. A. Conte, Einaudi, Torino, 1996.

22 21 SITOGRAFIASITOGRAFIA


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