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La probabilità Spiegazione di alcuni concetti. Alcune definizioni In probabilità abbiamo a che fare con eventi, ovvero accadimenti che possono avvenire.

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Presentazione sul tema: "La probabilità Spiegazione di alcuni concetti. Alcune definizioni In probabilità abbiamo a che fare con eventi, ovvero accadimenti che possono avvenire."— Transcript della presentazione:

1 La probabilità Spiegazione di alcuni concetti

2 Alcune definizioni In probabilità abbiamo a che fare con eventi, ovvero accadimenti che possono avvenire oppure no, a caso. Si indicano con E; sono eventi diversi E 1 ed E 2 Un evento è descritto da un enunciato, che può essere vero o falso. – “È uscita la pallina rossa alla roulette” – “È uscito il 3 nel lancio di un dato” Gli eventi possono essere composti, così come gli enunciati. – “È uscito il 3 oppure il 5 nel lancio di un dato”, dove i due enunciati che descrivono i due eventi sono: E 1 = “è uscito il 3…”; E 2 = “è uscito il 5…”. Due eventi possono essere tra loro incompatibili quando l’accadere dell’uno esclude l’accadere dell’altro; altrimenti sono compatibili. – L’evento che esca alla roulette un numero pari è incompatibile con l’evento che esca un numero dispari (ovviamente nello stesso lancio). – Al totocalcio che risulti 1 è incompatibile coll’evento che risulti anche X (oppure 2) – Alle carte il fatto che esca il 7 è compatibile col fatto che esca un seme di colore rosso. Due eventi sono indipendenti quando il verificarsi dell’uno non influenza il verificarsi dell’altro. In caso contrario sono dipendenti. – Alla roulette i due eventi E 1 = “è uscito un numero rosso” ed E 2 = “è uscito un numero pari” sono indipendenti, in quanto l’accadere dell’uno o dell’altro non influenza in nulla l’accadere dell’altro.

3 Alcuni importanti teoremi Probabilità contraria: la somma delle probabilità di un evento E e del suo contrario  E è eguale a 1. –Se la probabilità che esca un 3 a dadi è di 1/6, allora la probabilità che escano i rimanenti numeri è di 5/6. Per cui si ha che Probabilità totale di eventi incompatibili: la probabilità di due o più eventi incompatibili è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi. Ovvero, in formule: p(E 1  E 2 ) = p(E 1 ) + p(E 2 ) Probabilità totale di eventi compatibili: la probabilità di due o più eventi compatibili è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità dell’evento intersezione. In formule: p(E 1  E 2 ) = p(E 1 ) + p(E 2 ) - p(E 1  E 2 )

4 Probabilità condizionata Si ha la probabilità condizionata quando la probabilità che accada un certo evento E 1 è condizionata dal fatto che avvenga un altro evento E 2, il che si scrive: p(E 1 /E 2 ). Ad esempio vogliamo sapere la probabilità che al lancio di due dadi esca la somma di 6 quando su uno dei due dadi esce il numero 2. In questo caso la probabilità di ottenere 6 è condizionata dal fatto che uno dei due dadi dia un due. Per cui si hanno solo due casi: Primo dado 2, secondo dado 4 Primo dado 4, secondo dado 2 La formula che permette di calcolare la probabilità condizionata è la seguente: Ritornando all’esempio di prima, sia E 1 l’evento “la somma sulle due facce è 6” ed E 2 l’evento “uscita della faccia con numero 2”. Abbiamo così: - la p(E 2 ), cioè che esca almeno un due lanciando i due dadi, è data (per un semplice calcolo combinatorio) da 11/36; - la p(E 1  E 2 ), cioè la possibilità che esca una coppia con almeno un numero 2 e che dia per somma il numero 6, è data da 2/36. Per cui, applicando la formula si avrà:

5 Probabilità composta Dalla formula della probabilità condizionata si ricava la probabilità composta, ovvero la probabilità che due eventi accadano insieme, cioè la probabilità di p(E 1  E 2 ) Questa si chiama probabilità composta ed è data dalla formula: p(E 1  E 2 ) = p(E 2 )  p(E 1 /E 2 ) (eventi compatibili) p(E 1  E 2 ) = p(E 1 )  p(E 2 ) (eventi incompatibili)

6 Teorema di Bayes Il teorema (o formula) di Bayes nasce da un quesito: se si è verificato l’evento E 1, qual è la probabilità che il suo accadere sia stato causato da un altro evento E 2 ? Detto in altri termini, voglio sapere quale sia la probabilità che un certo evento sia stata la causa C di un altro evento E che si è verificato, ovvero voglio conoscere la probabilità di C per l’evento E. Il che si scrive: p(C/E) Il teorema dice che: Nel caso in cui le cause fossero più di una (mettiamo C 1, C 2 e C 3 ), allora la probabilità che a causare E sia stata ad esempio la causa C 2 è data dalla formula più generale:

7 Tenendo presente le formule prima date, facciamo un esempio. Abbiamo due scatole; in quella A ci sono 30 biglie rosse e 15 nere; nella B ci sono 20 biglie rosse e 30 nere. Mi viene consegnata una biglia rossa senza che mi sia detto da quale scatola essa è stata estratta. Io mi domando allora: che probabilità v’è che essa sia stata estratta dalla scatola A? Ovvero, che la causa dell’evento E = “biglia rossa” sia la “scatola A”? I dati sono i seguenti: Visto che le scatole hanno la stessa probabilità di essere quelle da cui è stata estratta la biglia rossa, allora avremo che: p(C A ) = p(C B ) = 1/2. La probabilità che la biglia rossa sia stata estratta dalla scatola A è data da: p(E/C A ) = 30/45 = 2/3 La probabilità che la biglia rossa sia stata estratta dalla scatola B è data da: p(E/C B ) = 20/50 = 2/5 Ora possiamo applicare la formula di Bayes e avremo: Un esempio del teorema di Bayes Ed effettuando le opportune sostituzioni:

8 Come si calcola tale probabilità? Il valore così trovato non è altro che l’applicazione di quella che si definisce la “probabilità classica”, che è data dal numero dei casi favorevoli su quelli possibili. Ad esempio, nel caso del lancio dei dati la probabilità che esca il 6 è di 1/6, in quanto è un caso favorevole su sei possibili: Dove m indica i casi favorevoli e n quelli possibili. Nel caso delle biglie della scatola A i casi favorevoli sono 30 (il numero delle biglie rosse), mentre i casi possibili sono dati dalla somma delle palline rosse e nere, cioè 30+15=45. E così si ha:

9 Combinazioni Per comprendere quanto detto prima in merito alla probabilità condizionata, è necessari sapere come si fa un semplice calcolo combinatorio. Prendiamo ad esempio l’insieme A che contiene tre elementi: A = {a, b, c}


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