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Un approccio statistico alla stima della yield curve Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi I modelli di valutazione delle opzioni su tassi.

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Presentazione sul tema: "Un approccio statistico alla stima della yield curve Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi I modelli di valutazione delle opzioni su tassi."— Transcript della presentazione:

1 Un approccio statistico alla stima della yield curve Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi I modelli di valutazione delle opzioni su tassi

2 2 Definizione della yield curve Rendimenti dei titoli privi di cedola (pure discount) Stesso emittente Stessa liquidità Diversa scadenza

3 3 Finalità della yield curve Interpretazione delle aspettative degli operatori Valorizzazione dei flussi delle attività e delle passività finanziarie  Analisi del rischio di interesse di un portafoglio  Pricing di alcuni derivati

4 4 Criteri per la stima Scelta del campione Parsimonia Rassomiglianza Robustezza

5 5 Soluzioni per la stima Metodi di mercato Metodi no-arbitrage Obiettivo: minimizzare l’errore

6 6 Modelli statistici (es. I)

7 7 Modello TRES/vita residua

8 8 Stima della continuità Interpolazione statistica Adattamento alla polinomiale Misura dell’errore commesso

9 9 Interpolazione statistica Semplicità Regressione rispetto alla vita residua, per approssimare la dinamica del tasso in funzione del tempo

10 10 Adattamento polinomiale Adattamento lineare Adattamento esponenziale Adattamento potenza FOGLIO EXCEL

11 11 Stima lineare (esempio) Stimare la curva dei rendimenti utilizzando le equazioni precedenti fa migliorare il fitting della curva aumentando il grado della funzione MODELLO DI STIMA DELLA CURVA DEI RENDIMENTI COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE ( R 2 ) r t = 4, ,161t 96,25% r t = 5, ,1377t + 0,0021 t 2 96,36% r t = 5,436– 0,2209t + 0,0799 t 2 – 0,0047t 3 99,44% r t = 5,4918–0,2921t +0,106 t 2 - 0,0083t 3 + 0,0002t 4 99,46%

12 12 Stima della continuità Una volta stimata la funzione della curva è possibile determinare la struttura sui nodi scelti, sostituendo i valori delle scadenze alle variabili indipendenti La curva è continua in ogni punto che rappresenta le scadenze

13 13 Stima della continuità (es.) Si prenda la prima curva stimata Il rendimento dell’attività con scadenza a 3 mesi si determina nel seguente modo Si calcola il valore di t. Nel caso specifico

14 14 Stima della continuità (es.) Si sostituisce il valore i t alla funzione di stima Si procede in questo modo su tutte le scadenze desiderate

15 15 Stima della continuità (es.) Nel caso delle funzioni stimate, fino al quarto grado, le strutture dei rendimenti sono le seguenti

16 16 Stima logaritmica Per ottenere migliori risultati in termini di stima è possibile operare mediante logaritmi La soluzione più semplice per stimare la curva dei rendimenti è quella proposta da Bradley e Crane i quali trasformano rendimenti e scadenze in forma logaritmica

17 17 Modello di Bradley-Crane Questo modello di stima ( =96,29) permette di ottenere la seguente serie di rendimenti

18 18 Modello Cohen-Kramer-Waugh Nel modello proposto da Cohen, Kramer e Waugh, il rendimento diventa funzione della scadenza, della scadenza al quadrato e del quadrato del logaritmo sempre della vita residua FOGLIO EXCEL

19 19 Modello Cohen-Kramer-Waugh Sostituendo alle variabili dell’equazione i coefficienti stimati, si ottiene il valore del TRES stimato [r*(t)].

20 20 Difetti dei modelli L’esistenza di flussi eterogenei I fattori di imposizione fiscale Le tipologie degli emittenti Misura del TRES

21 21 Modello di Echols-Elliot Echols ed Elliot propongono una funzione di regressione che corregge la distorsione dovuta alle caratteristiche delle cedole dove i indica il titolo i-esimo e C è l'ammontare della sua cedola

22 22 Modello di Echols-Elliot Il modello stimato sull’esempio ( =96,85) permette di ottenere i risultati seguenti

23 23 Il metodo TRES/duration La duration approssima la scadenza finanziaria di un titolo con cedola Per ottenere una curva continua è utilizzare i modelli di stima già proposti in precedenza

24 24 Interpolazione statistica

25 25 Interpolazione statistica. Il modello TRES/Duration

26 26 Altri modelli TRES/duration Oltre ai modelli statistici presentati si possono applicare quelli già visti per la vita residua Bradley e Crane Cohen, Kramer e Waugh

27 27 Difetti dei modelli TRES/duration La variabile temporale è dipendente dal rendimento stesso Il valore in ascissa varia per effetto del tempo ma anche per la variazione del TRES Con la duration si accorcia sensibilmente l’intera struttura dei rendimenti

28 28 Calcolo tassi spot Rendimenti di titoli zero-coupon Problema della stima in assenza di titoli senza cedola Metodo del coupon stripping

29 29 Calcolo tassi spot (es.) Formula di calcolo

30 30 Calcolo tassi spot (es.)

31 31 Calcolo tassi spot (es.) Se sul mercato esiste un titolo a 6 anni con cedola annuale del 10% (coincidenti con la scadenza dei titoli zero coupon) e un prezzo pari a 97,56 è possibile determinare il tasso spot attualizzando le prime cinque cedole con i tassi della tabella precedente

32 32 Calcolo tassi spot (es.)

33 33 Stima struttura continua Una volta calcolati i tassi spot, è possibile stimare la continuità della curva con uno dei metodi di interpolazione precedenti Il rischio è quello di forzare la minimizzazione dell’errore, alterando la configurazione dell’intera curva

34 34 Stima struttura continua Si ipotizzi di volere stimare la curva dai seguenti tassi spot

35 35 Il modello degli splines Una soluzione ampiamente utilizzata è quella degli spline Si tratta di un insieme di funzioni polinomiali separate rispetto a nodi predefiniti, in corrispondenza dei quali si garantisce la derivabilità

36 36 Il modello degli splines I benefici sono:  il cambiamento degli input in un segmento non altera i segmenti contigui  i tassi che esprimono le aspettative degli operatori sono attendibili nel lungo termine e la loro curva è differenziabile  l’interpolazione non introduce oscillazioni ulteriori alla configurazione originaria

37 37 Il modello degli splines I problemi sono:  occorre definire in modo soggettivo il numero e la posizione dei nodi  se ci sono troppi nodi si torna alla stima dei tassi di mercato (overfitting)  se i nodi sono pochi si rischia di allontanarsi eccessivamente dai dati di mercato, commettendo un errore elevato

38 38 Il limite dei modelli di stima Rimane un limite: i modelli ipotizzano che il rendimento rappresenti la relazione fra i tassi di mercato e le relative scadenze Il prezzo dei titoli obbligazionari è caratterizzato da altri elementi (emittente, flusso cedolare, tassazione sulle componenti di capitale e di interesse)

39 39 Il modello matriciale Il modello matriciale permette di interpretare la relazione fra titoli e scadenze, grazie al vettore dei rendimenti coerente con il set delle scadenze cedolari e di capitale dell’intero mercato

40 40 Il modello matriciale Partendo dalla matrice F degli m flussi degli n titoli Si deve risolvere il sistema dove P è il vettore degli n prezzi e v è il vettore degli m fattori di sconto

41 41 Il modello matriciale Per verificare l’affidabilità di questo modello ci si deve accertare che sia in grado di risolvere un sistema di equazioni caratterizzato da titoli zero coupon determinando il vettore v dei fattori di sconto effettivamente calcolabili mediante la formula

42 42 Il modello matriciale Ripartiamo dall’esempio dei titoli zero coupon

43 43 Il modello matriciale Le matrici del modello sono le seguenti

44 44 Il modello matriciale Occorre quindi risolvere il sistema lineare per ottenere i valori del vettore v dei fattori di sconto

45 45 Il modello matriciale Per ottenere il valore di v(1) si deve anzitutto risolvere il determinante della matrice

46 46 Il modello matriciale Quindi occorre calcolare il determinante della matrice F

47 47 Il modello matriciale A questo punto si risolve il rapporto fra i due determinanti, ottenendo il valore della funzione di sconto in corrispondenza del primo anno

48 48 Il modello matriciale Per ottenere il rendimento del titolo senza cedola a 1 anno si risolve la formula seguente

49 49 Il modello matriciale In modo del tutto analogo, il valore di v(2) si ottiene calcolando il determinante della matrice

50 50 Il modello matriciale Rapportando il determinante riportato nel lucido precedente con quello della matrice F si ottiene

51 51 Il modello matriciale Il rendimento del titolo a due anni si ottiene nel modo seguente

52 52 Il modello matriciale La bontà del modello è confermata dalla coincidenza dei rendimenti originari

53 53 Il modello matriciale Si consideri un esempio concreto

54 54 Il modello matriciale 3, ,375

55 55 Il modello matriciale Il determinante della prima matrice è il seguente

56 56 Il modello matriciale Il determinante della matrice F è il seguente

57 57 Il modello matriciale Il fattore di sconto v(0,5) si individua rapportando i due determinanti mentre il rendimento è dato da

58 58 Il modello matriciale Il risultato completo è riprodotto di seguito

59 59 Il modello matriciale La rappresentazione grafica delle curve mostra le differenze

60 60 Limite del modello matriciale Dipende dall’esistenza di una matrice F non ridondante, cioè non caratterizzata da titoli che possano essere perfettamente replicati con portafogli di altri titoli anch’essi considerati nella matrice


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