M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_3B (ultima.

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1 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_3B (ultima modifica 01/10/2012) Energia e Forze elettrostatiche Una carica positiva Q 2 posta in un punto P a distanza R 12 da una carica positiva Q 1 fissa che genera un campo elettrostatico sarà sottoposta a una forza di repulsione in direzione radiale. Tale forza dipende dalla distanza tra le due forze cariche e dalla entità delle due cariche, secondo la Legge di Coulomb è ha direzione opposta alle forze del campo : R 12 Q 2 + Q 1 + P

2 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c Il lavoro richiesto nel vuoto per portare una carica Q 2 lentamente, (perché possano ritenersi trascurabili sia lenergia cinetica che gli effetti di radiazione), dallinfinito in senso contrario alla direzione del campo dovuto a una carica Q 1, alla distanza R 12 dalla carica Q 1, è: R 12 Q 2 + Q 1 + P

3 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c3 Infatti il campo elettrostatico generato dalla carica Q 1 fa si che alla posizione della carica Q 2 posta nel punto P sia associata una energia potenziale legata alla distanza R 12 tra le posizioni delle due cariche. Poiché il campo elettrostatico è conservativo il lavoro W 2 è indipendente dal percorso fatto dalla carica Q 2, per portarla nel punto P, alla distanza R 12 dalla carica Q 1. R 12 Q 2 + Q 1 + P

4 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c4 Mettendo in evidenza Q 1 si può ottenere unaltra forma della espressione di W 2 : Questo lavoro viene immagazzinato nellassemblare le due cariche in una configurazione alla quale è associata una energia potenziale. Combinando le due relazioni precedenti si dimostra che lenergia elettrostatica mutua del sistema delle due cariche, è:

5 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c5 Lenergia elettrostatica mutua del sistema delle 2 cariche Lenergia elettrostatica mutua (o di posizione) del sistema di due cariche discrete, corrisponde al lavoro che è necessario fornire per passare da: una situazione in cui linterazione delle cariche è nulla, ad una nuova situazione in cui le cariche sono state collocate per poter interagire mutuamente tra di loro.

6 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c6 Se si suppone che unaltra carica Q 3 sia portata dallinfinito in un punto che dista R 13 da Q 1 e R 23 da Q 2, sarà richiesta una quantità di lavoro: La somma di W e W 2 rappresenta lenergia potenziale immagazzinata nellassemblare le tre cariche Q 1, Q 2, e Q 3 :

7 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c7 La relazione può essere riscritta nella seguente forma: Il potenziale V 1 nella posizione della carica Q 1 é diverso da quello che si stabilisce nello stesso punto quando sono presenti contemporaneamente le sole cariche Q 1 e la carica Q 2.

8 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c8 Energia elettrostatica mutua per n cariche discrete. Estendendo la procedura per n cariche discrete localizzate in N punti: dove V k è il potenziale elettrico nel punto in cui è posizionata la carica Q k, dovuto alla presenza di tutte le altre cariche.

9 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c9 Energia elettrostatica mutua per n cariche discrete. W e può essere negativa (quando le due cariche sono di segno contrario). In questo caso il lavoro per portare Q 2 dallinfinito, è compiuto dal campo (non contro il campo) generato da Q 1, W e rappresenta lenergia di interazione (mutua energia) e non comprende il lavoro richiesto per assemblare le singole cariche puntuali (auto energia).

10 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c10 Elettronvolt [eV] Lunità di misura prevista dal sistema internazionale joule [J], è troppo grande per la fisica delle particelle elementari, per cui si utilizza lelettronvolt [eV]. Un elettronvolt è lenergia cinetica ΔE acquistata da un elettrone libero, la cui carica è: quando è accellerato da un differenza di potenziale elettrico di ΔV =1 V nel vuoto.

11 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c11 Energia elettrostatica mutua dovuta a una distribuzione di cariche continua In presenza di una distribuzione di cariche continua di densità, lespressione della W e,valida per una distribuzione di cariche discrete, deve essere modificata, più precisamente occorre sostituire alloperatore di sommatoria => loperatore di integrazione): => V è il potenziale nel punto dove la densità di carica è e V è il volume della regione dove sono distribuite le cariche ossia la regione dove esiste:

12 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c12 Energia elettrostatica in funzione delle grandezze di campo Dalle relazioni: e si può scrivere: Applicando le proprietà del calcolo vettoriale, si dimostra che tale relazione può essere espressa in funzione delle grandezze di campo nel seguente modo:

13 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c13 Inoltre se il mezzo è lineare:, lenergia può essere espressa in funzione di una sola grandezza di campo: Si può anche definire la densità di energia elettrostatica w e, come:

14 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c14 Forze elettrostatiche Un metodo per il calcolo delle forze elettrostatiche agenti su un corpo sottoposto alle azioni di un in un campo elettrostatico, è quello basato sul principio dello spostamento virtuale (o principio dei lavori virtuali) applicato ai due casi: 1.Sistema isolato che non può avere scambi di energia con lesterno e quindi le cariche sono costanti (Q tot =cost); 2.Sistema non isolato di corpi conduttori collegati rispettivamente a potenziali fissi (morsetti di batterie) per cui i loro potenziali sono mantenuti costanti( V=cost) a spese di una energia fornita dallesterno. In questo caso il sistema ha uno scambio di energia con lesterno.

15 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c15 Sistema di corpi con cariche costanti Si immagini che le forze elettriche abbiano indotto uno spostamento elementare dl in uno corpo sottoposto alla azione del campo (spostamento virtuale), per cui il lavoro meccanico compiuto dal sistema sarà: dove è la forza elettrica totale che agisce sul corpo nella ipotesi di cariche costanti. Poiché il sistema è isolato il lavoro meccanico è fatto a spese della energia elettrostatica immagazzinata, esso è così espresso:

16 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c16 Poiché la variazione differenziale di uno scalare dovuta alla variazione di posizione dl è uguale al prodotto scalare del gradiente dello scalare per dl: dal confronto delle due relazioni si ha che la forza elettrostatica nella ipotesi di cariche costanti é: In coordinate cartesiane:

17 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c17 Se il corpo è vincolato a ruotare intorno ad un asse, per esempio lasse z, il lavoro meccanico fatto dal sistema per una rotazione virtuale angolare d sarà: Dove è la componente z della coppia agente sul corpo nella ipotesi di carica costante e con una procedura analoga si giunge alla seguente espressione:

18 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c18 Sistema di corpi con potenziali costanti Uno spostamento dl dovuto a un corpo conduttore comporta una variazione della energia elettrostatica totale. Affinché i potenziali dei corpi conduttori siano mantenuti costanti ci deve essere un trasferimento di cariche dalle sorgenti ai conduttori. Il lavoro fatto dalle sorgenti esterne per mantenere il potenziale V k del corpo k costante, fornendo una carica dQ k, è: V k dQ k e se i corpi sono N, la totale energia fornita dalle sorgenti esterne al sistema sarà:

19 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c19 Il lavoro meccanico fatto dal sistema per lo spostamento virtuale è: dove è la forza elettrica sul corpo conduttore nella ipotesi di potenziali costanti. Il trasferimento di cariche varia anche lenergia elettrostatica del sistema di una quantità dW e : Per il principio della conservazione della energia si ha che la totale energia fornita dalle sorgenti al sistema :

20 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c20 Sostituendo le espressione determinate, la forza elettrostatica con i potenziali costanti risulta: Se il corpo conduttore è vincolato a ruotare intorno allasse z, la componente z della coppia elettrostatica è:

21 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3c21 Dal confronto delle espressioni delle forze e delle coppie nei due casi si vede come lunica differenza nelle espressioni, è il segno. Infatti nel primo caso (a cariche costanti), il lavoro è stato fatto a spese della energia elettrostatica del sistema, mentre nel secondo caso (a potenziali costanti), il lavoro è stato fatto a spese della energia fornita da un sistema esterno. Carica costante Sistema isolato Potenziale costante Sistema non isolato