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PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Le strutture algebriche e gli insiemi numerici Bruna Consolini Liceo Norberto Rosa - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico.

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1 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Le strutture algebriche e gli insiemi numerici Bruna Consolini Liceo Norberto Rosa - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico Anno Scolastico

2 DEFINIZIONE DI STRUTTURA ALGEBRICA insiemestruttura algebrica S Un insieme A possiede una struttura algebrica S operazioni interne quando è dotato di una o più operazioni interne proprietà che godono di determinate proprietà S = (A,,, …) (N, +) indica la struttura dell'insieme N con l'operazione addizione (P(I), ) indica la struttura dell'insieme delle parti di I con loperazione unione

3 ESEMPI DI STRUTTURE Considerando un insieme di elementi A è possibile costruire strutture con una o più operazioni INISEME A SI CHIAMA SUPPORTO Considerando un insieme di elementi A è possibile costruire strutture con una o più operazioni INISEME A SI CHIAMA SUPPORTO Normalmente si studiano alcune strutture fondamentali con una o due operazioni interne che soddisfano una serie di criteri e che sono basilari in diversi campi della matematica STRUTTURE SU NUMERI, INSIEMI, PERMUTAZIONI, MATRICI, TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE … Normalmente si studiano alcune strutture fondamentali con una o due operazioni interne che soddisfano una serie di criteri e che sono basilari in diversi campi della matematica STRUTTURE SU NUMERI, INSIEMI, PERMUTAZIONI, MATRICI, TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE …

4 DEFINIZIONE DI OPERAZIONE BINARIA Dato un insieme A non vuoto, si definizione legge di composizione binaria o operazione interna binaria unapplicazione di AxA in A. Cioè una funzione che associa ad ogni coppia ordinata (a,b) di elementi appartenenti ad A uno ed un solo elemento c appartenente ad A.

5 TIPI DI OPERAZIONI ESISTONO ANCHE ALTRI TIPI DI OPERAZIONI: OPERAZIONI UNARIE OPERAZIONI UNARIE Esempio: RADICE QUADRATA … Esempio: RADICE QUADRATA … OPERAZIONI BINARIE OPERAZIONI BINARIE Esempio: ADDIZIONE, MOLTIPLICAZIONE… Esempio: ADDIZIONE, MOLTIPLICAZIONE… OPERAZIONI N-ARIE OPERAZIONI N-ARIE Esempio: MEDIA DI N NUMERI, Esempio: MEDIA DI N NUMERI, MCD FRA N NUMERI …. MCD FRA N NUMERI ….

6 ESEMPI OPERAZIONI BINARIE INTERNE OPERAZIONI BINARIE INTERNE + in N * in NP (naturali pari) - in Z / in Q 0 (Q-{0}) in C OPERAZIONI BINARIE NON INTERNE - in N + in ND (naturali dispari) / in Z / in Q in R

7 PROPRIETA ASSOCIATIVA PROPRIETA ASSOCIATIVA Una struttura (A, ) è associativa (oppure l'operazione gode della proprietà associativa ) se vale : a,b,c A, (a b) c = a (b c) = a b c (Z, *) è una struttura associativa (P(I), ) Insieme delle parti e operazione intersezione è una struttura associativa

8 ESEMPI VALE PROPRIETA ASSOCIATIVA VALE PROPRIETA ASSOCIATIVA (R, +) infatti (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c NON VALE PROPR. ASSOCIATIVA (Z, -) infatti (a-b)-c a-(b-c) (Q 0, :) infatti (a:b) : c a : (b:c) (R, a b ) infatti (Q, ) infatti

9 PROPRIETA COMMUTATIVA PROPRIETA COMMUTATIVA Una struttura (A, ) è commutativa (oppure l'operazione gode della proprietà commutativa) se vale : a,b A, a b = b a (N, *) è una struttura commutativa (P(I), ) Insieme delle parti e operazione intersezione è una struttura commutativa

10 ESEMPI VALE PROPRIETA COMMUTATIVA VALE PROPRIETA COMMUTATIVA (N, +) infatti a+b = b+a NON VALE PROPR. COMMUTATIVA (Z, -) infatti a – b b – a (Q,a b ) infatti a b b a (R, f ) infatti f°g g°f

11 ESISTENZA ELEMENTO NEUTRO ESISTENZA ELEMENTO NEUTRO L'operazione ammette lelemento neutro se vale : a A, u A, a u = u a = a In (C, *) esiste elemento neutro 1 (P(I), ) Insieme delle parti e operazione intersezione lelemento neutro è I

12 ESEMPI ESISTE LELEMENTO NEUTRO ESISTE LELEMENTO NEUTRO (R, +) infatti a+0 =0 + a = a (P(I)), ) infatti A = A=A NON ESISTE LELEMENTO NEUTRO (Q 0, /) infatti a:1 1: a (R, - ) infatti a – 0 0 – a

13 ESISTENZA ELEMENTO SIMMETRICO ESISTENZA ELEMENTO SIMMETRICO L'operazione ammette lelemento simmetrico se esiste lelemento neutro u e vale : a A, a A, a a = a a = u In (R, *) esiste lelemento simmetrico In (Q, +) esiste lelemento simmetrico

14 ESEMPI ESISTE LELEMENTO SIMMETRICO ESISTE LELEMENTO SIMMETRICO (R, +) infatti a+(-a) = - a + a = 0 NON ESISTE LELEMENTO SIMMETRICO (Z, *) infatti solo ±1 possiedono simmetrico (P(I), ) infatti solo ha simmetrico

15 PROPRIETA DISTRIBUTIVA PROPRIETA DISTRIBUTIVA Una struttura (A,,* ) è distributiva di * rispetto a (oppure l'operazione * è distributiva rispetto a ) se vale : a,b,c A, (a b) * c = (a*c) (b * c) a,b,c A, c*(a b) = (c*a) (c * b) (Z, +,*) è una struttura distributiva del prodotto rispetto alla somma (P(I),, ) Insieme delle parti lunione è distributiva rispetto allintersezione

16 ESEMPI VALE PROPRIETA DISTRIBUTIVA VALE PROPRIETA DISTRIBUTIVA (R, +,*) infatti (a+b)*c = (a*c)+(b*c) c*(a+b)=(c*a)+(c*b) NON VALE PROPR. DISTRIBUTIVA (Z, +,-) infatti (a+b)-c (a-c)+(b-c) (R,*,+) infatti a+(b*c) (a+b)*(a+c)

17 STRUTTURE ALGEBRICHE GRUPPI GRUPPI ANELLI ANELLI CORPI CORPI CAMPI CAMPI

18 DEFINIZIONE DI GRUPPO Un insieme G dotato di una operazione binaria, che ad ogni coppia di elementi a, b di G associa un elemento, che indichiamo con a b, appartenente a G, è un gruppo se vengono rispettate le seguenti condizioni: G1) – proprietà associativa G2) – esistenza dell'elemento neutro G3) – esistenza del simmetrico

19 SEMIGRUPPI E MONOIDI Se una struttura gode solo della proprietà associativa, si chiama semigruppo. Se una struttura gode solo della proprietà associativa, si chiama semigruppo. Se una struttura gode solo delle proprietà associativa ed esistenza elemento neutro, si chiama monoide. Se una struttura gode solo delle proprietà associativa ed esistenza elemento neutro, si chiama monoide. Se un gruppo gode anche della proprietà commutativa, si chiama gruppo commutativo o abeliano. Se un gruppo gode anche della proprietà commutativa, si chiama gruppo commutativo o abeliano.

20 INSIEMI NUMERICI & GRUPPI GRUPPI GRUPPI (Z, +) (Q, +) (Q 0, *) (R, +) (R, *) (C, +) (C, *) NON GRUPPI (N, +) (N, *) (Z, *)

21 SOTTOINSIEMI & GRUPPI Se un insieme in cui agisce unoperazione costituisce una struttura algebrica, si può pensare che cosa succede ai suoi sottoinsiemi. Se ( Se (G, ) è un gruppo ( F G e (F, ) è un gruppo Allora F è sottogruppo di G relativamente a

22 ESEMPI NP={x N, x=2k} NP N (NP, +) è un monoide NP={x N, x=2k} NP N (NP, +) è un monoide A={x Z, x=5k} A Z (A,+) è un gruppo A={x Z, x=5k} A Z (A,+) è un gruppo B= {+1, -1 } B Z + non op. interna B= {+1, -1 } B Z + non op. interna B= {+1, -1 } B Z (B,*) è un gruppo B= {+1, -1 } B Z (B,*) è un gruppo C={x,k Z, x=k 2 } + non op. interna C={x,k Z, x=k 2 } + non op. interna C={x,k Z, x=k 2 } (C,*) è un gruppo C={x,k Z, x=k 2 } (C,*) è un gruppo (N, mcm) è un monoide (N, mcm) è un monoide (N, MCD) è un semigruppo (N, MCD) è un semigruppo D= {1,2,3,4,6,12} (D,MCD) è un monoide D= {1,2,3,4,6,12} (D,MCD) è un monoide

23 DEFINIZIONE DI ANELLO Un insieme A dotato di due operazioni binarie, * è un anello se vengono rispettate le seguenti condizioni: ) A1) – la struttura (A, ) è un gruppo abeliano *) A2) – la struttura (A, *) è un semigruppo A3) – loperazione * è distributiva rispetto a

24 DEFINIZIONE DI CORPO E CAMPO Un insieme C dotato di due operazioni binarie, * è un corpo se vengono rispettate le seguenti condizioni: ) C1) – la struttura (C, ) è un gruppo abeliano *) C2) – la struttura (C 0, *) è un gruppo C3) – loperazione * è distributiva rispetto a Un insieme C dotato di due operazioni binarie, * è uncampo è un campo se (C,,*) e loperazione * è commutativa

25 INSIEMI NUMERICI & ANELLI E UN ANELLO E UN ANELLO (Z, +,*) infatti (Z,+) è un gruppo mentre (Z,*) no NON E UN ANELLO (N, +,*) infatti (N,+) è (N,*) non sono gruppi

26 INSIEMI NUMERICI & CAMPI SONO UN CAMPO SONO UN CAMPO (Q, +,*), (R, +,*), (C, +,*), Un sottoinsieme di un campo K, chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto e che è un campo con queste operazioni è chiamato sottocampo. Quindi, Q è un sottocampo di R, che è a sua volta sottocampo di C.

27 LUNICITA DELLE SOLUZIONI DELLE EQUAZIONI Ogni equazione di 1° grado a x = b oppure y a = b ammette una unica soluzione x = a b e y = b a con x = y se a e b appartengono ad un gruppo abeliano. a (a x) = a b (y a) a = b a (a a) x = a b y (a a) = b a u x = a b y u = b a x = a b y = b a x = y

28 DISPENSA & ALTRO CONSULTARE IL SITO ALLA VOCE STRUTTURA ALGEBRICA


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