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Fisica Subnucleare di Gauge Università di Padova II anno laurea specialistica T.Dorigo / U.Gasparini, AA 2010/2011 Tommaso Dorigo Stanza.

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Presentazione sul tema: "Fisica Subnucleare di Gauge Università di Padova II anno laurea specialistica T.Dorigo / U.Gasparini, AA 2010/2011 Tommaso Dorigo Stanza."— Transcript della presentazione:

1 Fisica Subnucleare di Gauge Università di Padova II anno laurea specialistica T.Dorigo / U.Gasparini, AA 2010/2011 Tommaso Dorigo Stanza 3L0, tel ,

2 Struttura del corso e logistica 40 ore in 8 settimane di 5 ore ciascuna (mercoledì , giovedì , venerdì ) –20-22, ottobre; 3-5, 10-12, 17-19, novembre; 1-3, 8-10 dicembre –solo una settimana di buffer per lezioni mancate (13-17 dicembre) –6 di queste settimane di corso le tengo io; 2 le terrà il prof. Ugo Gasparini Taglio sperimentale –Si danno per acquisite le nozioni del corso di Riccardo Brugnera –Lenfasi non è sui calcoli ma sui fenomeni fisici e la loro interpretazione Trasparenze distribuite alla fine di ogni parte (5 parti in totale) Esercizi di complemento –siete consigliati a provarli prima della lezione successiva –possono essere chiesti allesame (solo orale) e numero di telefono vi sono richiesti per potervi avvertire di eventuali assenze improvvise o altre comunicazioni –Mandatemeli al più presto a –Subject: Fisica Subnucleare

3 Miscellanea Il corso ha un taglio sperimentale enfasi sulla fenomenologia e le indagini sperimentali, quando possibile –fate attenzione ai (pochi) valori numerici di osservabili che incontreremo –è difficile farmi arrabbiare, ma un modo è venire allesame a dire che il quark b ha una massa di 30 GeV (è successo a due vostri colleghi in passato) Nel corso cercherò di inserire alcune nozioni di base di statistica e discussione delle problematiche sperimentali nella stima delle grandezze misurate –non compaiono esplicitamente nel programma, ma sono comunque richieste Le parti I, II, III sono abbastanza standard – non ascolterete nulla che non possiate rileggere in forma equivalente nei testi consigliati; le parti IV e V contengono materiale che non trovate facilmente altrove Durante la lezione siete fortemente invitati a interrompere per chiedere maggiori spiegazioni o quantaltro –chi fa una domanda dimostra ignoranza solo momentaneamente; chi non la fa rimane ignorante per sempre. –Non sono unenciclopedia! Potrò in casi particolari rimandare la risposta alla lezione seguente. –se vado troppo veloce o troppo lento DITELO! Per le lezioni di 2 ore, preferisco farle tutte di fila senza intervallo. Infine una precisazione...

4 Mi presento Ricercatore INFN, partecipo allesperimento CMS al Large Hadron Collider del CERN dal 2001, e allesperimento CDF al Tevatron di Fermilab (Chicago) dal Mi occupo di ricerche di fisica di alto PT: quark top, bosone di Higgs, nuova fisica Sono anche membro di: –CMS Statistics Committee Board –CDF Publication Review Group Tengo da 5 anni un blog dove cerco di spiegare la fisica delle particelle in maniera semplice

5 Sommario 1) Dal modello a partoni alla QCD –Diffusione, deep inelastic scattering, funzioni di struttura, Bjorken scaling, Lagrangiana di QCD, il colore, violazioni di scaling, rinormalizzazione e running di s 2) Dalle interazioni deboli al modello GSW –La teoria V-A, Fermi e GT transitions; determinazioni della costante di Fermi; correnti cariche e neutre 3) Il Modello GSW e i suoi tests sperimentali –sin 2 w dal neutrino scattering, correzioni radiative, fisica della Z, interferenza e asimmetrie a LEP, misure a LEP II 4) La rottura della simmetria e il bosone di Higgs –modello di Goldstone, meccanismo di Higgs, Lagrangiana del Modello Standard, fenomenologia dell'Higgs, ricerche sperimentali, stato e prospettive 5) Fisica ai colliders adronici –fisica ai colliders adronici (Tevatron e LHC), evidenze indirette del top, ricerca e proprieta' del top quark e bosoni vettori, ricerche di nuova fisica, supersimmetria, limiti sperimentali e prospettive

6 Testi consigliati F. Halzen, A.D. Martin, Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics, Wiley 1984 W.E. Burcham, M. Jobes, Nuclear and Particle Physics, Longman 1995 R.K. Ellis, W.J. Stirling, B.R. Webber QCD and Collider Physics, Cambridge U.P –Cap. 8, 10, 11 Appunti dalle lezioni (specie per le parti 4 e 5): disponibili alla fine di ogni parte Altri testi utili (livello più avanzato): –L.B. Okun, Leptoni e Quarks, Ed. Riuniti 1986 Cap.19,20 –F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, Wiley 1984 Cap. 11,12,13 –J.F. Donoghue, E. Golowich, B.R. Holstein, Dynamics of the Standard Model, Cambridge U.P Cap.15

7 PARTE PRIMA Deep Inelastic Scattering e QCD Brevi richiami di QED, leq. di Dirac, quadricorrente, matrice di transizione Diffusione elastica, scattering elettrone-muone, variabili di Mandelstam Scattering elettrone-protone e fattori di forma Scattering inelastico; Bjorken scaling; relazione di Callan-Gross Struttura a quark dei nucleoni La QCD e il colore. Violazioni dello scaling Running di s e rinormalizzazione

8 Invarianza di gauge U(1) e QED La costruzione della Lagrangiana del Modello Standard verrà vista nella parte IV del corso; tuttavia partiamo proprio con un accenno alla sua proprietà più fondamentale in quanto è alla base dellinterazione elettrone- fotone che ci serve a descrivere lo scattering Alla base di tutto cè la richiesta FISICA che i campi spinoriali che descrivono i fermioni, che dobbiamo rappresentare con funzioni complesse, descrivano la stessa fisica indipendentemente da una fase arbitraria: La Lagrangiana di QED per un elettrone libero (da cui ) ci assicura che ciò valga. La famiglia di trasformazioni di fase U( ) = e i forma un gruppo unitario Abeliano U(1). La simmetria sottostante delle funzioni donda fisicamente implica la presenza di una quantità non misurabile. Possiamo quindi fissarla: una volta deciso il valore di, esso vale in tutto lo spazio. GLOBAL GAUGE INVARIANCE. Va notato che sarebbe ancora meglio per la teoria se potesse variare da punto a punto senza cambiare la fisica: = (x). (1.1) (1.2)

9 Se vogliamo invarianza di gauge locale, ci serve che L rimanga la stessa per Questo non funziona, perché la derivata di (x) compare nella trasformazione. Possiamo imporre la non fisicità della fase arbitraria indipendentemente in tutto lo spazio solo se modifichiamo il modo in cui deriviamo il campo, introducendo la derivata covariante ove A trasforma secondo La proprietà del campo A garantisce che L è ora invariante di gauge locale (esempio 1) –Abbiamo avuto bisogno di A per compensare le differenze di fase da punto a punto. Dato che possiamo pensare di dover compensare la fase a distanze arbitrarie, il campo A ha range infinito! Inoltre esso non può avere un termine di massa nella Lagrangiana, per non rompere di nuovo la invarianza di gauge locale. Discuteremo in dettaglio queste proprietà e le implicazioni fra alcune settimane. Linvarianza di gauge locale implica che i nostri fermioni interagiscano, con intensità proporzionale al quadrato della carica elettrica. La Quantum Electrodynamics si basa dunque su una invarianza di gauge U(1) locale. (1.3) (1.4) (1.5)

10 La QED è quindi il prototipo di teoria quantistica di campo di gauge, basata sul gruppo abeliano U(1). La QED descrive linterazione elettromagnetica tra particelle cariche point-like di spin ½ ( e.g. elettroni, muoni, quarks, la cui equazione del moto libera è data dall eq. di Dirac) mediata dal fotone, il quanto del campo elettromagnetico A. matrici di Dirac: [ k matrici di Pauli: ] Lequazione del moto di un elettrone (carica elettrica - e ) in presenza di un campo e.m. è dove A = (, A) è il quadri-potenziale del campo e.m. : (1.6) (1.7)

11 Generalità sullo scattering Lo scattering di elettroni da una regione di carica elettrica è un metodo di indagine della sua struttura interna –si può rivelare sia langolo di scattering che lenergia finale dellelettrone esprimibili in funzione del quadrimomento trasferito, q –si esprime la sezione durto di scattering, differenziale nellangolo solido d, in relazione alla sezione durto per lo scattering da una sorgente puntiforme di carica Il rapporto fra le due fornisce informazioni sulla distribuzione incognita di carica, espresse in funzione del quadrimomento trasferito q funzione di struttura Vedremo in maniera formale come si calcolano le funzioni di struttura per gli adroni, e scopriremo che lo scattering ad alta energia (deep inelastic) ci permette di descrivere gli adroni in termini dei loro costituenti La descrizione estesa del calcolo è utile in quanto il DIS è a tuttoggi utilizzato in esperimenti di alta energia (PDF, fisica dei neutrini, fisica elettrodebole di precisione...)

12 Concetti di base per lo scattering di elettroni Siamo interessati al processo di diffusione tra due fermioni carichi puntiformi, ad esempio: e - e - e - e -, e - - e -, e - q e - q. Per illustrare la tecnologia di indagine, calcoleremo lo scattering elettrone-muone, che ne è larchetipo anche se non si misura direttamente! Nella teoria perturbativa dello scattering da un potenziale, lampiezza di transizione tra uno stato iniziale (spinore i con 4-impulso (E i,p i ) ) ad uno stato finale (spinore f con 4-impulso (E f,p f ) ) è data da: (1.9) dove V(x) è il potenziale che perturba lHamiltoniana di particella libera H o : H = H 0 + V e si è introdotto lo spinore coniugato (la quantità è definita positiva e ha il significato di una densità di probabilità)

13 In QED, per la quale leq. del moto è: (1.6) il potenziale è: ossia: dove si è introdotta la corrente elettromagnetica: (1.10) (1.11) i (x) f (x) e-e- e-e- A (x)

14 Che abbia il significato fisico di densità di 4-corrente j = (,j) deriva dal fatto che vale leq. di continuità, come si può verificare dalleq. di Dirac e dalla sua equazione aggiunta per lo spinore coniugato (esempio 2) Nello scattering elettrone-muone, possiamo considerare il campo A come il 4-potenziale del campo e.m. associato alla presenza del muone: la sorgente del campo è la corrente e.m. del muone: i (x) f (x) e-e- e-e- A (x) muon (x) k k p p 4-impulso iniziale dellelettrone 4-impulso iniziale del muone 4-impulso finale Vediamo come si esprime il propagatore del campo A.

15 La relazione tra il campo e la sua sorgente j muon è data dall eq. di Maxwell, espressa nella gauge di Lorentz (1.12) (c = 1) Al primo ordine della teoria perturbativa, possiamo prendere per j muon la soluzione del campo muon che viene dalla eq. libera di Dirac: ossia: = q (4-momento trasferito nel processo) Nota: la conservazione del 4-impulso, k+ p = k+p implica che vale q = p-p = k-k

16 Da tale soluzione libera, si vede che e confrontando con (1.12) si trova Lampiezza di transizione, al primo ordine perturbativo, è allora: Questa esprime il campo elettromagnetico in termini della sua sorgente, la densità di quadricorrente del muone.

17 Esprimendo anche la corrente dellelettrone in termini di soluzione dellequazione di particella libera di Dirac: si ha: dove si è definito l elemento di matrice di transizione: (1.13)

18 Il calcolo dellelemento di matrice nel caso di proiettili senza polarizzazione netta comporta prendere il modulo quadro, mediato sugli spin iniziali, e sommata sugli spin finali (se questi non vengono osservati): I tensori della corrente di elettrone e muone sono Per la corrente dellelettrone, che si riduce usando le proprietà delle matrici gamma, dobbiamo allora calcolare per la quale ci servono le relazioni di completezza degli spinori. Con brevi calcoli (esempio 3) si trova

19 Quindi ci serve calcolare la traccia del prodotto di quattro matrici. Poiché la traccia di elementi con un numero dispari di matrici gamma è nulla, rimangono solo due termini: e con i teoremi di traccia si trova (esempio 4): Lo stesso calcolo, per il tensore della corrente muonica, fornisce la analoga espressione Inserendo nellelemento di matrice, e trascurando i termini proporzionali alla massa dellelettrone, si ottiene (esempio 5):

20 Per procedere dobbiamo scegliere un sistema di riferimento. Risulta comodo quello del laboratorio (difficile con muoni!), in cui il bersaglio è a riposo. Con alcuni calcoli (esempio 6) si trova lespressione: Raccogliendo un furbo fattore 2M 2 EE e tenendo conto che q 2 = -2k*k ~ -2EE(1-cos ) = -4 EE sin 2 /2, e che lenergia del fotone è = E-E = -q 2 /2M, si ottiene infine (esempio 7) k = (E,k) k = (E,k) q=(,q) p = (M,0) p = (E,p)

21 Abbiamo ottenuto lelemento di matrice dellinterazione e.m. fra un elettrone e un muone (o un altro fermione puntiforme di massa M), mediato sugli stati di spin Da questa espressione si ricava la sezione durto per lo scattering, che è la quantità osservabile sperimentalmente, espressa in funzione dellunica grandezza indipendente, langolo di scattering. Bisogna far attenzione alla normalizzazione delle funzioni donda, e esprimere il tutto in forma covariante per trasformazioni di Lorentz Vediamo allora come sono normalizzate le funzioni donda nei casi non relativistico (Schroedinger) e relativistico (Klein-Gordon).

22 Schroedinger: leq. di continuità per un flusso di particelle si scrive, e con si trova che che segue da che segue (esercizio 1.6) da Klein-Gordon: sommando lequazione moltiplicata per –i * alla coniugata moltiplicata per -i, la stessa eq. di continuità, e la stessa equazione di particella libera di energia E e impulso p, portano alle espressioni Che sia proporzionale a E dipende dalla contrazione relativistica del volume d 3 x d 3 x (1-v 2 ) 0.5 che obbliga la densità di probabilità a bilanciare la diminuzione

23 Dunque possiamo normalizzarci a 2E particelle in un volume V, e questo manterrà la covarianza. Da =2EN 2 si trova quindi Riprendiamo allora lampiezza di transizione espressa in funzione dellelemento di matrice: e normalizzando come deciso, e prendendo la frequenza di transizione per unità di volume tenendo conto di Si ottiene

24 La sezione durto si calcola dalla frequenza di transizione per unità di volume W fi moltiplicandola per il numero di stati finali disponibili e dividendo per il flusso iniziale di particelle. ha il significato di area efficace ove linterazione ha luogo. Il numero di stati finali disponibili (C,D) per elemento di impulso d 3 p è Vd 3 p/(2 ) 3, ma noi abbiamo 2E particelle per unità di volume quindi gli stati finali per ciascuna particella sono Vd 3 p/[2E(2 ) 3 ] Per il flusso incidente si prende il numero di particelle incidenti (A) per unità di area e tempo, |v A |2E A /V, e lo si moltiplica per il numero di bersagli per unità di volume, 2E B /V Si trova quindi lespressione infinitesima della sezione durto: Il volume arbitrario con cui abbiamo fatto i conti sparisce, come deve.

25 Facendo i conti nel sistema del laboratorio si trova, con semplici calcoli (esempio 8): Finalmente possiamo inserire lelemento di matrice calcolato in precedenza. Tenendo conto di alcune proprietà della delta di Dirac, in particolare che e che si trova lespressione

26 Possiamo anche integrare in dE e usare ancora le proprietà della delta di Dirac, esprimendo: ove si è espresso con A il fattore di rinculo per ottenere la formula di Mott: La formula di Mott esprime nel laboratorio la sezione durto di scattering di elettroni da fermioni puntiformi massivi. Si può verificare (vedi H.M. es.6.8) che laver assunto spin ½ per il bersaglio porta al fattore sin 2 ( /2) (scattering dal momento magnetico del bersaglio)

27 E importante sottolineare che per un fissato valore dell energia incidente E, la sezione d urto è solo funzione dellangolo di scattering, essendo detto fattore di rinculo (esempio 9) Infine, è utile esprimere la sezione durto elementare di Mott in forma Lorentz-invariante, utilizzando le variabili di Mandelstam: k p p k k k p e quark Dalla forma Lorentz-invariante (1.15) dell ampiezza di transizione (trascurando la massa del muone):

28 La possibilità di crossing dellelemento di matrice usando le variabili di Mandelstam è conveniente, e permette di ottenere subito dallespressione precedente (non verificabile sperimentalmente!) lelemento di matrice per la produzione di coppie di muoni da scattering e + e - –Lo scambio necessario è k -p, cioè s t: Otteniamo così la previsione della sezione durto: che integrata in d e d dà

29 La costante di struttura fine La costante fondamentale dellinterazione e.m.: detta costante di struttura fine si misura con grande precisione osservando la struttura fine dei livelli energetici atomici. E espressa in unità naturali nel sistema di unità di misura razionalizzato di Heaviside- Lorentz, nel quale la 1 a equazione di Maxwell per il campo E (la legge di Gauss) è espressa nella forma (ossia 0 =1 ; nel S.I. invece ), o equivalentemente la legge di Coulomb che definisce il valore della carica elettrica è: La costante è adimensionale: essa entra in (1.16) [eq. espressa in unità naturali ] come rapporto tra una sezione d urto (dimensione: [ ] = m 2 ) e linverso del quadrato di unenergia ([1/s] = J -2 ); queste quantità sono tra loro omogenee, essendo [h] = J s e [c] = m s -1. Nel S.I., lespressione di è

30 Infatti: (dalla legge di Coulomb) e quindi la combinazione è adimensionale. Numericamente:

31 Lo scattering elastico elettrone-nucleone Il processo di scattering elettromagnetico ep ep non è un processo point-like (come eq eq o e e ) La sezione durto di Mott, che nel sistema del laboratorio è data dalla (1.16): va modificata. La corrente adronica diventa e-e- e-e- kk pp protone (1.17) coned M è ora la massa del nucleone.

32 Va notato che la corrente vettoriale dellelettrone si scrive normalmente ma questo equivale, per la decomposizione di Gordon della corrente (vedi HM esercizio 6.2), a da cui si vede che la scrittura concisa dellaccoppiamento contiene già una parte che descrive lo scattering elettrico (come per una particella senza spin) e una che descrive linterazione magnetica. Questultima contribuisce solo quando k-k è grande, ovvero quando linterazione è ad alto q 2. La parte che permette lo scattering dal momento magnetico del bersaglio, contenuta nella quadricorrente dellelettrone, è quella dovuta allo spin dellelettrone. Quando scriviamo la corrente del sistema adronico, al termine corrispondente si va a sommare la parte anomala dovuta al momento magnetico anomalo delladrone. (1.18)

33 Si dimostra (esempio 10) che il termine entro parentesi nella corrente (1.17) è il più generale 4-vettore che può essere costruito dalle matrici di Dirac e dai 4-momenti in gioco p, p e q = k-k = p-p, tenendo conto che la 4-corrente j hadr deve essere conservata:, ossia q j = 0. Le funzioni F 1 (q 2 ), F 2 (q 2 ) descrivono la struttura delladrone, e non siamo in grado di scriverle: esse devono essere determinate sperimentalmente, come verrà discusso in seguito. Si noti anche che il fattore k che moltiplica F 2 (q 2 ) è il momento magnetico anomalo del nucleone: misura la parte aggiuntiva del momento magnetico del nucleone rispetto a quello di una particella point-like di spin ½ come lelettrone. Notiamo anche che per q 2 0 il fotone virtuale ha lunghezza donda grande e il protone gli appare come una particella di carica +e e momento magnetico (1+k)e/2m. Deve anche aversi F 1 (0)=F 2 (0)=1.

34 In effetti si dimostra che nel limite non relativistico, linterazione (1.10) tra una corrente e il 4-potenziale: si decompone in una parte elettrica e una magnetica. Ciò discende dalla decomposizione di Gordon della corrente (1.18) (1.10) e dal fatto che il 2 o termine in (1.18) inserito in (1.10) dà, nel limite non relativistico: dove (2) è uno spinore bidimensionale, sono le matrici di Pauli; il termine a destra dà linterazione B di una particella di momento magnetico =e/2M col campo magnetico B [per maggiori dettagli, vedi Halzen-Martin, cap.6.2]

35 (1.19) (ricordiamo che: ) la sezione durto che si ottiene è data dalla formula di Rosenbluth: Se si inserisce j hadr nell elemento di matrice (1.13): Riscriviamo la forma più generale della corrente adronica: Per piccoli q 2, non riusciamo a vedere struttura nel protone: ci appare come una carica puntiforme +e con momento magnetico 2.79e/2M.

36 La formula di Rosenbluth può essere riscritta come segue (per casa) : (1.19) che sono, come vedremo, interpretabili come fattori di forma magnetico ed elettrico del nucleone. Non sono interpretabili direttamente come trasformate di Fourier delle distribuzioni di carica e momento magnetico, perché il bersaglio non è più statico; tuttavia ne sono vicini parenti. Lintroduzione di G E e G M ci permette di disaccoppiare F 1 e F 2 nella formula di Rosenbluth: spariscono i termini di interferenza F 1 F 2. (1.20) E utile introdurre le combinazioni lineari:

37 Negli esperimenti di scattering elastico su targhetta fissa, il momento trasferito è determinato dalla misura dell energia E dellelettrone diffuso e dall angolo di diffusione: Nel diagramma di Rosenbluth costruito selezionando dati a q 2 fissato: [Perkins, fig.6.4] la pendenza misura direttamente il fattore di forma magnetico G M (q 2 ) al valore scelto di q 2 ; dall intercetta A(q 2 ) si determina G E (q 2 ). e-e- E E M

38 Esperimenti allo Stanford Linear Accelerator (SLAC) sono stati fatti su targhette di idrogeno (=> protoni) e su deuterio (=>neutroni+protoni)). Per sottrazione, da questi ultimi è possibile ottenere la sezione durto su neutroni: e quindi determinare i fattori di forma anche del neutrone, nonostante alcuni problemi con la struttura nucleare del deuterio. G E,M p,n (q 2 ) sono stati misurati in un esteso intervallo di momenti trasferiti [vedi, e.g., Phys.Rev.139B(458),1965] [Burkham-Jobes, Fig.12.8] GMpGMp GEpGEp G M n /(1.91) GEnGEn

39 Tutti i dati sono descritti da un unico andamento di dipolo: dove il fit ai dati sperimentali dà: m 2 = 0.71 GeV 2 e le quantità: misurano i momenti magnetici del protone e del neutrone: è il magnetone nucleare, momento magnetico di una particelle di Dirac point-like di massa m N ; si ricordi che il magnetone di Bohr vale: (1.21) (1.22)

40 Come detto, G E e G M sono i fattori di forma elettrico e magnetico del nucleone, sono cioè in relazione con la sua distribuzione di densità di carica elettrica e di momento magnetico. Osserviamo infatti che dalla (1.20): e inoltre, dalla formula di Rosenbluth (1.19), per q 2 0 : (1.23) a bassi q 2 ( basse velocità), lelettrone vede solo il potenziale elettrostatico (la parte magnetica è trascurabile), ossia nell ampiezza di scattering possiamo porre con

41 (x) elettrostatico, non dipende dal tempo Utilizzando l integrazione per parti: e l eq. di Poisson per il potenziale: ( è la densità di carica elettrica) dove:

42 Inserendo in T if tale espressione si ottiene: con: Se inserisce questa espressione di M if nel calcolo della sezione durto: si ottiene: (1.24)

43 e confrontando con (1.23) si vede che ossia il fattore di forma elettrico G E (q 2 ) è la trasformata di Fourier della densità di carica elettrica e (r) del nucleone. Sperimentalmente, si trova che i dati sperimentali sui fattori di forma sono ben descritti da una formula di dipolo: Con m 2 =0.71 GeV 2 ; questo risultato può essere direttamente messo in relazione con le dimensioni del nucleone. Consideriamo una distribuzione a simmetria sferica: (la costante di normalizzazione è A = m 3 /8, imponendo ) (1.25) Dalla (1.25) si ha: -dcos

44 In definitiva, inserendo si ottiene: dove per brevità negli integrali si è sempre inteso q=|q| e quindi q 2 = |q| 2 >0; nell espressione con q 2 si intende invece il modulo quadro del 4-impulso trasferito q=(k-k): q 2 -2kk=-|q| 2 <0, e quindi le due espressioni coincidono. con:

45 Il valore m 2 =0.71 GeV 2 è quindi legato al raggio R della distribuzione di carica: (vedi esercizio 1.5) Il raggio del nucleone misurato dal fattore di forma elettrico del protone è dell ordine di qualche frazione di Fermi. Più precisamente, il valor medio del quadrato del raggio della distribuzione di carica è: SLAC, Hofstadter et al. =(4!) / m 5

46 Sommario delle sezioni durto Abbiamo fin qui visto cosa succede nello scattering elastico di un elettrone (o altro fermione carico) da un altro fermione a riposo nel laboratorio Riepiloghiamo brevemente le caratteristiche principali previste dal modello (QED, approssimazione single-photon exchange): –scattering da fermione puntiforme (e-m-): formula di Mott (notare il comportamento per q 2 0 e che il secondo termine è assente per bersagli statici spinless) –scattering da fermione con struttura (e-p) - carica e momento magnetico anomalo: formula di Rosenbluth

47 Esperimenti di scattering elastico e-N a Stanford LINAC da 550 MeV di energia massima entrato in funzione a Stanford (California) a metà degli anni 50: Spettrometro su piattaforma rotante contatore di elettroni [R.Taylor, J.Friedman, W.Kendall, Lectures for Nobel Prize, 1990; Rev.Mod.Phys. 63 (1991),573 ]

48 Lo Stanford Linear Accelerator (SLAC) Alla fine degli anni 60, entra in funzione lacceleratore lineare (lungo 2 miglia) con E beam =20 GeV - lintervallo di q 2 è notevolmente esteso rispetto al passato - si ha accesso allo scattering inelastico (il nucleone viene spaccato con produzione di adroni nello stato finale) Furono realizzati 3 spettrometri dedicati per elettroni da 1.6, 8 e 20 GeV

49 Gli esperimenti a SLAC Spettrometri a piccola accettanza angolare (d 1 msterad) posizionabili a diversi angoli di diffusione (1, per E=20 GeV)

50 separatore e/ 1GeV 2 Esperimenti precedenti:

51 Spettrometro da 20 GeV Primo uso massiccio di computer nel controllo on-line…

52 Esercizio 1.1: variabile s di Mandelstam e- pepe p e pqpq p q per m e, m q << E essendo E CM =2p In un esperimento su taghetta fissa: p q =(m,0) Ad esempio, negli esperimenti a SLAC: E e =20 GeV, m= m N =0.94 GeV E CM 6 GeV Ad un collisore con fasci simmetrici invece: E CM = 2 E beam (esempio: LEP1,2 : E beam :44-47 GeV, GeV; Tevatrone: 0.98 TeV ); con fasci asimmetrici di energie E 1, E 2 : (esempio: collisore e-p HERA (Desy,Amburgo): E e =27.5 GeV, E p =920 GeV E CM 320 GeV )

53 Esercizio 1.2: momento trasferito e angolo di scattering Dimostrare che: e- E M E angolo di scattering nel laboratorio Si ha:

54 Esercizio 1.3: formula di Mott Dimostrare che: Utilizzando la conserv. del 4-impulso: p = p+q = p+k-k, si ha: 0 0 [ q 2 =(k-k) 2 -2kk ] Nel laboratorio: p=( M, 0) k=( E, k)

55 Allora: [es. 1.2] [ si osservi: 0 ] In definitiva:

56 Esercizio 1.4: energia dell elettrone uscente nello scattering elastico e-p Dimostrare: Abbiamo visto che [es. 1.3]: Allora: Esperimento a SLAC: E= 401 MeV, =75 o M=939 MeV (targhetta di idrogeno) E = 305 MeV [Hofstadter e collab., 1956]

57 Esercizio 1.5: raggio del nucleone Ricordiamo che in unità naturali: inoltre: Pertanto: Allora: Come già discusso: [Nota: un altro utile fattore di conversione è il seguente: infatti: 1 barn = cm 2 = m 2 1 mb = m 2 = 0.1 fm 2 ]

58 Esercizio 1.6 Calcolare la densità di corrente nel caso non relativistico delleq. di Schroedinger Lequazione di Schroedinger e la sua coniugata si scrivono Moltiplicandole opportunamente e sommando: e quindi da si trova

59 Parte I Capitolo 2 Dal Deep Inelastic Scattering al modello a Quark Sommario: Scattering inelastico eN Bjorken scaling Relazioni di Callan-Gross Modello a quark del nucleone

60 Deep Inelastic Scattering Nel processo di diffusione fortemente inelastico (DIS) eN eX il sistema adronico X nello stato finale non è più il nucleone, che viene distrutto dallurto; il sistema ha una massa invariante arbitraria W 2 =(P+q) 2 (nello scattering elastico era W 2 =M N 2 ) dove P è il 4-momento iniziale del nucleone (nel laboratorio: P = (M N,0) ) e q=(k-k) è il 4-momento trasferito nellurto con lelettrone. e- k k P=(M N,0) nucleone X q=k-k Lenergia del sistema adronico finale ed il momento trasferito: (2.1) sono ora variabili cinematiche indipendenti. [Nota: linvariante P q calcolato nel sistema del laboratorio dà: ]

61 Infatti: In definitiva: (2.2) dove la massa invariante W può essere arbitraria (nella diffusione elastica era invece fissa: W 2 = M N 2 da cui ) Da un punto divista puramente fenomenologico, si può ottenere la sezione durto di diffusione in maniera analoga a quanto fatto per la sezione durto elastica, modificando la corrente adronica nellampiezza di scattering rispetto allampiezza point-like; le funzioni che sostituiscono i fattori di forma elastici F 1 (q 2 ) e F 2 (q 2 ) sono ora funzioni, a priori, delle due variabili cinematiche indipendenti q 2 e.

62 La sezione durto di scattering va ora scritta in forma doppio differenziale: Scattering elastico [eq. (1.19)] Scattering inelastico: (2.3) [ricordiamo, eq. (1.16): ] Le funzioni di struttura inelastiche W 1 (q 2, ) e W 1 (q 2, ) vanno determinate sperimentalmente.

63 Per comprendere la differenza e le caratteristiche cinematiche del processo di scattering elastico e inelastico è utile costruire un diagramma ove in ascissa cè la variabile 2M e in ordinata il Q 2 dello scattering. Fermiamoci un attimo a ragionare su cosa stiamo descrivendo. Nello scattering eP, allaumentare del Q 2 la sezione durto elastica decresce, come visto dalla formula di Rosenbluth. Invece vi è una sempre maggior probabilità di rompere il protone. Per Q 2 intermedi lo stato finale comprenderà una eccitazione barionica, che può decadere in protone-pione. Per Q 2 ancora maggiori la QCD ci presenta uno stato finale molto complicato, che non si può descrivere con facilità. Questo sistema adronico non si misura: si rivela solo lelettrone, il suo angolo, e la sua energia, oltre alla frequenza del processo. La variabile indipendente = -Q 2 /2M non è più unica in quanto la massa invariante del sistema adronico è anchessa variabile. Usando x = Q 2 /2m si descrive il processo elastico a x=1, inelastico per x<1.

64 2M Q2Q2 x=1, W=M x=0.5 W=M DIS: Q 2, grandi Zona cinematicamente inaccessibile W 2 -M 2

65 Hoftstadter et al., scattering di elettroni da nuclei di 4 He. A 45° si osserva un picco elastico (corrispondente a x=1), e un bump meno definito a x=0.25, che corrisponde allo scattering dai nucleoni. Il bump non è stretto per via del moto di Fermi dei nucleoni nel nucleo di elio. A maggior angolo di scattering (60°), il quadrimomento trasferito è maggiore, e si osserva una riduzione della parte elastica, dovuta alla diminuzione col Q 2 del fattore di forma; lo scattering inelastico invece scala.

66 66 (2.4) Vediamo ora a quale predizione porta per le funzioni di struttura l ipotesi partonica sulla struttura del nucleone, ossia la supposizione che il processo di diffusione inelastica eN eX risulti dalla sovrapposizione incoerente delle sezioni durto di processi di scattering elastico point-like su singoli partoni, oggetti puntiformi (come l elettrone) di spin ½ e carica elettrica frazionaria, che identificheremo successivamente con i quarks. (1.16) può essere riscritta ( ) : La funzione in (2.4) esprime il fatto che E deve essere tale da soddisfare la relazione di elasticità :, dove ora però con p q momento del partone e m massa del partone (vedi prossima slide). Il fotone deve avere il giusto q 2 per interagire con il quark! La sezione durto di Mott (1.16) per lo scattering elastico elettromagnetico eq eq :

67 Il partone i-esimo allinterno del nucleone porta una frazione x del momento totale: p q = xP; valgono le relazioni: m q 2 = x 2 P 2 = x 2 M N 2, ossia m q = xM N e quindi = p q q/m q = xPq/ xM = Pq/M ossia la variabile = p q q/m q che entra nell espressione dello scattering Mott elettrone-quark è la stessa variabile = E-E che compare nella cinematica dello scattering del nucleone. La conservazione del momento impone inoltre: dove f i (x) sono le funzioni di densità partoniche (PDF) che danno la densità di probabilità di trovare il partone i-esimo con momento frazionario x all interno del nucleone. Non stiamo sommando ampiezze: questa è una somma incoerente! (lo scattering elastico è azione coerente dei partoni!) Se si confronta lespressione della sezione durto inelastica (2.3) con (2.4), si vede che ponendo: (2.5) deve essere:

68 ( z)= (z)/ = g(x) e analogamente:

69 In definitiva: (2.6) ossia lipotesi che il DIS eN eX sia la sovrapposizione incoerente di scattering elastici eq eq su oggetti puntiformi di spin ½ porta a prevedere che le funzioni di struttura W 1 (q 2, ), W 2 (q 2, ) siano funzioni dell unica variabile adimensionale x = -q 2 /2M, detta variabile di Bjorken: Inoltre dalla (2.6) segue la relazione: detta relazione di Callan-Gross, che è verificata sperimentalmente. La relazione verifica che i quarks sono fermioni di spin ½. (2.7) invarianza di scala (o Bjorken scaling) delle funzioni di struttura

70 E importante notare che mentre nello scattering elastico elettrone- protone avevamo usato dei fattori di forma G E e G M che dipendevano dal q 2 del processo –una variabile con dimensione e scala fissata dal valore empirico Q 2 = 0.71 GeV 2, ovvero una scala di massa che riflette la dimensione inversa della distribuzione di carica e momento magnetico del nucleone, ora ci troviamo invece con funzioni di struttura che dipendono da una variabile adimensionale x = -q 2 /2M. E chiaro cosa questo significa: sono funzioni che descrivono oggetti puntiformi allinterno del protone.

71 Possiamo comprendere appieno limportanza del DIS e la relazione fra scattering elastico e inelastico, e lo scaling, ipotizzando di fare scattering elettrone-nucleo a valori sempre maggiori di Q 2. Man mano che si aumenta il Q2, si vede più in profondità nel nucleo, risolvendo i singoli N nucleoni, e poi allinterno di questi i nN partoni che li costituiscono. Il moto di Fermi diventa irrilevante quando lenergia della sonda diventa molto superiore.

72 Gli esperimenti a SLAC hanno verificato linvarianza di scala [Ann.Rev.Nucl.Sci. 22 (203) 1972]: W 2 x=q 2 / 2M(E-E) fissato e la validità della relazione di Callan-Gross: 2xF 1 /F 2 x=-q 2 / 2M [da: Burcham-Jobes, Fig.12.15] [da: Burcham-Jobes, Fig.12.18]

73 La relazione di Callan-Gross ha conseguenze interessanti sulla espressione della sezione durto (2.3): 1-sin 2 /2 =F 1 /M =F 2 / dove si è introdotta la variabile di inelasticità : (2.8) da cui Nel CM invece, la relazione tra y e l angolo di scattering * è: 1 – y = (1/2)(1+cos *) [esercizio 2.1 ] e si è usato

74 In definitiva: E conveniente esprimere la sezione durto doppio-differenziale in funzione delle variabili x ed y; utilizzando: si ha: = s (stiamo considerando E>>M) = 1-y = 0 per E>>M [esercizio 2.2]

75 Sviluppando: si ottiene infine: (2.9) dove, ricordiamo dalla (2.6): La sezione durto di DIS elettromagnetico eN eX misura le densità partoniche f(x) all interno del nucleone. Dal modello statico a quark del nucleone sappiamo che possiamo descrivere p=(uud), n=(udd); tuttavia il modello rimane valido se aggiungiamo ai quarks di valenza una componente del mare, quarks e antiquarks che elidano il loro contributo alle proprietà statiche. Se indichiamo con: le densità di quark e di antiquark nel protone (u p (x) e d p (x) sono le densità di quark di tipo up, con carica 2/3, e di tipo down, con carica -1/3) (2.10) si ha

76 per il protone: e per il neutrone, utilizzando l invarianza di isospin, per cui u n (x)=d p (x) e d n (x)=u p (x): Per il nucleone in un processo di scattering su una targhetta isoscalare, in cui: Possiamo quindi prevedere che se i quarks di valenza dominano, il rapporto fra F 2 del neutrone e F 2 del protone deve valere ¼; viceversa =1

77 Il modello a partoni, con lassegnazione di carica elettrica ai quark up e down derivata dal modello statico a quark degli adroni, predice quindi: (2.9) Confronteremo questa predizione con quella che deriva dall analogo processo di diffusione da interazione debole N X (in cui non sono in gioco le cariche elettriche), per il quale viene predetto lo stesso andamento nelle variabili y e x ma senza il fattore 5/18, che è una conseguenza delle assegnazioni di carica ai quark. Lo scattering elettromagnetico non permette di separare il contributo dei quark (di valenza) da quello degli antiquark (dal mare) dei processi di annichilazione qq allinterno del nucleone; ciò come vedremo sarà possibile usando i neutrini al posto degli elettroni come sonde per scandagliare la struttura subnucleare. Per un bersaglio isoscalare abbiamo quindi

78 Si osserva che a basso x dominano i quark del mare, e ad alto x dominano invece i quarks di valenza.

79 Esercizio 2.1: la variabile di inelasticità Dimostriamo la relazione: Si ha: k=(E,k) - d * u p p ( E, E si intendono misurate nel laboratorio, in cui p=(m q,0) e quindi pk=m q E e pk = m q E ) e quindi: p k - d * * per la variabile di inelasticità [ *: angolo di diffusione nel CM; nel laboratorio: ] Allora:

80 Esempio 2.2: calcolo di dEd Dimostriamo la relazione: Ricordiamo: Inoltre: Ricordiamo inoltre: Ad` un fissato y : e quindi:

81 Esercizio 2.3: relazioni tra variabili di Mandelstam Ricordiamo le relazioni tra le variabili di Mandelstam: k p p k In funzione dell angolo di scattering nel CM: k k p quark p


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