Politecnico di Milano – III Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Nucleare Anno Accademico 2004-2005 Chaos and Nonlinear Dynamics.

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1 Politecnico di Milano – III Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Nucleare Anno Accademico 2004-2005 Chaos and Nonlinear Dynamics in Financial and Nonfinancial Time Series: Evidence from Finland Mattia Gazzola Matricola: 666333 Corso di Caos Deterministico e sue Applicazioni

2 2 Politecnico di Milano INTRODUZIONE SCOPO DELLARTICOLO: Analisi di 10 serie temporali di natura economica per rilevare la presenza di eventuali non linearità. CONTENUTI: Sguardo ai dati utilizzati nellanalisi Breve presentazione delle statistiche discriminanti utilizzate Risultati ottenuti sulle singole serie in questione (modelli univariati) Analisi di cross-correlazione fra i diversi momenti delle serie (modelli multivariati) Conclusioni

3 3 Politecnico di Milano I DATI Le osservazioni di tutte le serie sono state registrate mensilmente in Finlandia tra il 1922 e il 1994 per un totale di 893 osservazioni per ogni serie. LE DIECI SERIE: Industrial production Bankruptcies Terms of trade Real exange rate index Yeld on long term government bonds Consumer price index Wholesale price index Banks total credit supply Narrow money UNITAS (Helsinki) stock exange index Reali Nominali

4 4 Politecnico di Milano I DATI NOTE: La qualità generale delle serie è nel complesso buona Solo le serie n° 5 e 9 sono in qualche modo deficienti: nella nona alcuni dati sono frutto di stime, mentre nella quinta i tassi, per alcuni periodi sono stati fissati amministrativamente e dunque non riflettono genuinamente landamento del mercato

5 5 Politecnico di Milano LE STATISTICHE TEST Oltre a tutta una serie di statistiche tradizionali nellanalisi si farà uso delle seguenti statistiche discriminanti: THE BDS TEST FOR CHAOTIC PROCESS Il test è stato originalmente costruito per evidenziare la presenza di caos deterministico, ma risulta molto efficace anche per testare la presenza di altre forme di non linearità. DEFINIZIONE DI DIMENSIONE DI CORRELAZIONE: La dimensione di correlazione è una stima della dimensione frattale e fornisce informazioni sulle caratteristiche topologiche della serie. Data una serie temporale di dati Y=(y(0), y(1), …., y(N)) ed una dimensione di embedding m si costruisce la serie vettoriale delle uscite ritardate X=(…, x m,t-1, x m,t )

6 6 Politecnico di Milano LE STATISTICHE TEST dove x m,t è il vettore delle uscite ritardate così definito x m,t =(y(t), y(t-1), …, y(t-m+1)) Si definisce inoltre la grandezza dove T=N-m+1. Se per piccolo C m ( ) d Allora d è la dimensione di correlazione che viene così definita:

7 7 Politecnico di Milano LE STATISTICHE TEST Variabile puramente casuale Caos deterministico d cresce monotonicamente con m. Cioè d invade tutto lo spazio di embedding d si mantiene costante Quindi posso valutare d(m) al variare di m e vedere se la dimensione di correlazione si mantiene costante. In alternativa posso effettuare il TEST BDS

8 8 Politecnico di Milano LE STATISTICHE TEST IPOTESI NULLA: x t,m è indipendentemente e identicamente distribuita STATISTICA DISCRIMINANTE: (m, ) = stima della deviazione std Se BDS grande rifiuto lipotesi nulla Infatti sotto lipotesi nulla, fissati m ed : C m,T ( ) C 1 ( ) m, per T

9 9 Politecnico di Milano LE STATISTICHE TEST DIFFICOLTA: La potenza del test dipende in modo cruciale da C m ( ) satura per troppo grande C m ( ) 0 per 0 in quanto la serie non è infinita La serie è affetta da rumore

10 10 Politecnico di Milano LE STATISTICHE TEST Mappa logistica Vs Rumore Bianco

11 11 Politecnico di Milano LE STATISTICHE TEST

12 12 Politecnico di Milano LE STATISTICHE TEST THE HURST EXPONENT: Permette di classificare una serie in termini di persistenza (antipersistenza) dei meccanismi di generazione dei dati, quindi distingue tra serie casuali e non casuali. COME SI CALCOLA: Si valuta la deviazione cumulativa X t, su periodi: dove:e i =afflusso allanno i M =la media ricorsiva di e i su periodi

13 13 Politecnico di Milano LE STATISTICHE TEST Si calcola il range tra il massimo ed il minimo di X t, : R =max(X t, )-min(X t, ) Dal seguente modello range riscalato si ricava H: dove:S=deviazione standard delle osservazioni originali =costante

14 14 Politecnico di Milano LE STATISTICHE TEST Se H=0.5 Se H 0.5 La serie è random walk Le osservazioni non sono più indipendenti, cioè posseggono memoria degli eventi precedenti In particolare: H<0.5 H>0.5 Il sistema è antipersistente, cioè alti valori nel periodo precedente preludono con alta probabilità bassi valori nel successivo Il sistema è persistente, cioè trend- enforcing

15 15 Politecnico di Milano LE STATISTICHE TEST THE RAMSEY IRREVERSIBILITY TEST: Lirreversibilità nel tempo è un concetto che è utile nellanalisi di possibili asimmetrie (nonlinearità) STATISTICA DISCRIMINANTE: SeLa serie è reversibile K=ampiezza massima dellintervallo di dati considerato

16 16 Politecnico di Milano RISULTATI SULLE SERIE Lanalisi statistica tradizionale non supporta lipotesi di modelli lineari Lanalisi della dimensione di correlazione non è consistente con un comportamento caotico di bassa dimensione

17 17 Politecnico di Milano RISULTATI SULLE SERIE BDS risulta invece molto alto suggerendo che il meccanismo di generazione dei dati sia nonlineare. Lipotesi nulla è respinta in tutti i casi.

18 18 Politecnico di Milano RISULTATI SULLE SERIE La stima di H, ben al di sopra di 0.5, ci dice che i dati contengono alcune proprietà di memoria. A conferma di ciò mischiando casualmente i dati questa memoria si perde e H 0.5

19 19 Politecnico di Milano RISULTATI SULLE SERIE Si può anche stimare quanto sia lunga la memoria dei dati a partire dal cambio di pendenza di R/S Cambio di pendenza Forte persistenza per circa 200 punti (16 anni) poi cambio di pendenza con H 0.5 Anche il test di irreversibilità di Ramsey evidenzia segni di nonlinerità in tutte le serie

20 20 Politecnico di Milano ANALISI DI CROSS CORRELAZIONE Lo scopo di questa analisi è unicamente quello di evidenziare eventuali correlazioni esistenti fra le diverse variabili attraverso la statistica di Portmanteau RISULTATI: In accordo con i risultati ottenuti con i modelli univariati anche in questo caso il test suggerisce la presenza di fenomeni di lunga memoria applicati ai co-movimenti di differenti variabili, sia nominali che reali.

21 21 Politecnico di Milano CONCLUSIONI Le analisi empiriche evidenziano chiaramente la presenza di nonlinearità sia nel caso univariato che multivariato Il caos deterministico non appare una probabile spiegazione per queste nonlinearità Sembrano emergere alcune differenze tra variabili nominali e reali Emergono alcune differenze tra comportamento nel lungo e breve periodo

22 22 Politecnico di Milano BIBLIOGRAFIA Kari Takala, Matti Virén Chaos and nonlinear dynamics in financial and nonfinancial time series: Evidence from Finland European Journal of Operational Research 93 (1996) 155-172