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Pfdlez41 Da dove saltano fuori Lagrangiane ed Hamiltoniane? Come facciamo a sapere che una certa interazione descrive un certo processo fisico? Ma perché

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Presentazione sul tema: "Pfdlez41 Da dove saltano fuori Lagrangiane ed Hamiltoniane? Come facciamo a sapere che una certa interazione descrive un certo processo fisico? Ma perché"— Transcript della presentazione:

1 pfdlez41 Da dove saltano fuori Lagrangiane ed Hamiltoniane? Come facciamo a sapere che una certa interazione descrive un certo processo fisico? Ma perché linterazione e.m. è dovuta ad una particella priva di massa, di spin 1, scambiata tra oggetti elettricamente carichi? GAUGE THEORIES and Gauge invariance In linea di principio, se esistono certi tipi di materia che interagiscono in modo consistente con la teoria quantistica, allora dovrebbe essere possibile dedurre la struttura dellinterazione In linea di principio, se esistono certi tipi di materia che interagiscono in modo consistente con la teoria quantistica, allora dovrebbe essere possibile dedurre la struttura dellinterazione. In precedenza, la forma dellinterazione, dedotta da astuti fisici da fatti sperimentali, era semplicemente una descrizione matematica della situazioe Teorie dove la forma dellinterazione è determinata perché la teoria è invariante per qualche trasformazione sone dette teorie di gauge NON DIMENTICARE CHE QUALSIASI BELLA TEORIA DEVE ESSERRE VERIFICATA SPERIMENTALMENTE

2 pfdlez42 GAUGE INVARIANCE IN CLASSICAL ELECTRODYNAMICS CAMPI E POTENZIALI IN ELETTRODINAMICA CLASSICA continua derivabile ma arbitraria. continua derivabile ma arbitraria. Questa relazione mette in evidenza che le trasformazioni devono essere fatte simultaneamente GAUGE TRANSFORMATION FORMALISMO RELATIVISTICO gauge invariance

3 pfdlez43 Le teorie di gauge sono teorie nella quali linterazione è determinata da un principio di invarianza locale Se la teoria è invariante per una certa trasformazione locale, si dice che è una gauge theory, o teoria di gauge.

4 pfdlez44 GAUGE INVARIANCE IN QUANTUM THEORY costante costante Gli osservabili dipendono da GLOBAL GAUGE TRANSFORMATION. Si richiede che la teoria sia invariante per Se ora vogliamo una teoria invariante anche se si sceglie una fase diversa in ogni punto dello spazio-tempo, deve valere la : LOCAL GAUGE TRANSFORMATION. è arbitraria, ma costante nello spazio tempo. (x,t) si trasforma ovunque nello stesso modo Possiamo fissare in questo caso le nostre convenzioni di fase come ci pare sulla terra, senza curarci di come dovrebbero essere sulla luna

5 pfdlez45 SORPRESA! Lequazione di Schroedinger NON è invariante per trasformazione di guage locale.Ma: gauge invariante CASO ELETTROMAGNETICO. Equazione di Schroedinger modificata per una particella carica in un campo e.m è gauge invariante La invarianza locale di gauge ( o fase) richiede lesistenza del campo vettoriale A = (,A) La invarianza locale di gauge ( o fase) richiede lesistenza del campo vettoriale A = (V,A) Le trasformazioni sono simultanee e è la carica dellelettrone. Le trasformazioni sono simultanee. Vale linvarianza locale. Il formalismo relativistico è mantenuto

6 pfdlez46 Il campo deve poter essere espanso in termini di operatori creazione e distruzione: Linvarianza di fase richiede lesistenza del fotone Linvarianza di fase della teoria quantistica dellinterazione di particelle cariche elettricamente richiede lesistenza del fotone Quindi deve esserci una particella associata, e dato che il campo è descritto da un quadrivettore, questa particella deve avere spin 1. la stessa con ogni particella carica Questo succede per ogni particella carica, e linterazione è la stessa con ogni particella carica. E una interazione universale Commenti sulla diapositiva precedente

7 Lorigine del nome :(Weyl 1918) Simmetria di gauge nellelettromagnetismo. Gauge = misura campione o asta di misurazione. Per esempio il metro dei falegnmi o delle sarte. ( che può dare cm,pollici etc) (loggetto misurato mantiene le sue dimensioni, indipendentemente dallo strumento di misura che si usa) Invarianza o simmetria globale o locale. Esempio simmetria globale: Se il reddito di tutte le persone ed il costo di tutti i beni aumentasse di 10 volte ovunque, la domanda e lofferta non cambierebbero, ed i mercati conserverebbero il loro equilibrio. Esempio simmetria locale: Se redditi e prezzi cambiassero quà e là in modo casuale, offerta e domanda non sarebbero più coordinate. Ma, secondo gli economsti, le leggi del mercato porterebbero presto ad un riequilibrio della domanda e dellofferta, nel suo insieme: in questo caso questo è il principio di simmetria o conservazione.La forza è la forza del mercato SIMMETRIA di GAUGE Noether e la simmetria. La simmetria è il motore della dinamica. Se cé na simmetria céun campo che esercita una forza. Le particelle sono pacchetti di energia e quantità di moto. Energia e quantità di moto sono numeri quantici definiti dalle traslazioni temporali e spaziali. Il momento angolare è il numero quantico della rotazione. Una particella elementare è definita dalle sue proprietà di simmetria. Una particella elementare è una rappresentzione del suo gruppo di simmetrie.

8 Simmetria locale I mutamenti nella simmetria locale sono completamente arbitrari: si ha una simmetria quando I mutamenti di un aspetto del sistema sono compensati esattamente da mutamenti di un altro aspetto, in modo tale che si conservi una quantità connessa ad entrambi. Una tale compensazione non può aver luogo senza lintervento di una forza. Per avere una simmetria locale di gauge lUniverso deve agire. Non può restare passivo. In questo senso i nostri teorici ci dicono che una simmetria di gauge locale genera una forza. Local guage symmetry (un cenno storico) 1918 WeylIn elettromagnetismo la simmetria locale di guage dello spazio-tempo, permeato dai campi elettromagnetici porta alla conservazione della carica elettrica. Einstein: non può essere una simmetria nello spazio tempo! ( un orologio portato in giro per una stanza cambierebbe ora!)1927 London: E linvarianza di fase dellequazione dei potenziali dellelettromagnetismo (di Scrhoedinger per lelettromagnetismo)che conserva la carica. Per cui può cambiare la fase di un elettrone anche se la sua carica non cambia mai Weyl: In elettromagnetismo la simmetria locale di guage dello spazio-tempo, permeato dai campi elettromagnetici porta alla conservazione della carica elettrica. Einstein: non può essere una simmetria nello spazio tempo! ( un orologio portato in giro per una stanza cambierebbe ora!) 1927 London: E linvarianza di fase dellequazione dei potenziali dellelettromagnetismo (di Scrhoedinger per lelettromagnetismo)che conserva la carica. Per cui può cambiare la fase di un elettrone anche se la sua carica non cambia mai. Cancellando gli effetti dei mutamenti di fase il campo protegge la carica con interventi costanti

9 pfdlez49 Covariant Derivatives: Covariant Derivatives: un formalismo utile Equazione di Schroedinger e vediamo cosa succede : definiamo: derivata covariante definiamo: derivata covariante Facciamo una trasformazione di gauge locale, cioè usiamo le equazioni: Osservazione: anche D si trasforma come una funziona donda, se lo fa. Ed anche D (D )

10 pfdlez410 derivata covariante derivata covariante Quadrivettore covariante. Semplifica le notazioni GENERALIZZIAMO: carica non elettrica trasformazione: Definiamo dove A è il campo interagente di cui non conosciamo il funzionamento. Vogliamo anche che : E questo può essere scritto: Risolviamo per A : Dato che la è arbitraria, e moltiplicando a destra per U -1 Come deve trasforomarsi A

11 pfdlez411 Abelian &Non-Abelian transformations (remind) Abelian groups transformations commute Non-Abelian groups transformations do not commute phase invariance in QED isospin yang-mills theory


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