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1 Radioattività La radioattività naturale è dovuta ai decadimenti, e Decadimento : viene emesso un nucleo 4 2 He Decadimento : vengono prodotti un elettrone.

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1 1 Radioattività La radioattività naturale è dovuta ai decadimenti, e Decadimento : viene emesso un nucleo 4 2 He Decadimento : vengono prodotti un elettrone e - o un positrone e cattura elettronica Neutrino : massa 0, carica = 0, spin 1/2 interagisce debolmente con la materia ( abs cm 2 )

2 2 Decadimento : nuclei aventi stati eccitati possono decadere emettendo un stati eccitati E Atomo Nucleo stato fondamentale fotoni emessi ottico raggi X raggi Conversione interna: si verifica quando lenergia di eccitazione nucleare è persa tramite lespulsione di un e - atomico (di solito dalla shell K) La vacanza lasciata dallemissione di un e - porta allemissione di raggi X o di e - Auger quando latomo torna al suo stato neutro. Un e - Auger è un e - atomico che riceve abbastanza energia cinetica da essere espulso, di solito dalla shell L, quando un altro e - cade dalla stessa shell per riempire la vacanza nella shell K L K E

3 3 La legge del decadimento Supponiamo di avere N 0 nuclei al tempo t = 0. La probabilità che un nucleo decada nellintervallo di tempo t, t + dt è dt è la costante di decadimento (dipende solo dal nuclide e dal modo di decadimento) Sia P(t) la probabilità che un nucleo non sia decaduto dopo un tempo t. La probabilità che un nucleo non sia decaduto dopo t + dt è probabilità che il nucleo non decada in t, t + dt Poichè P(t + dt) – P(t) dP, abbiamo probabilità che il nucleo non decada fino a t Il numero di nuclei N(t) non decaduti dopo un tempo t è quindi

4 4 Lattività A(t) al tempo t è il numero di decadimenti per unità di tempo può quindi essere estratta dal plot di ln A(t) in funzione di t. Unità della radioattività: sono definite come il numero di decadimenti per unità di tempo - Becquerel (Bq) 1 Bq = 1 decadimento per secondo - Curie (Ci) 1 Ci = 3.7 x decadimenti per secondo

5 5 La vita media di un nucleo è Il tempo di dimezzamento 1/2 è il tempo dopo il quale il 50% dei nuclei sono decaduti Vita media e tempo di dimezzamento

6 6 Esistono nuclei soggetti a più di un modo di decadimento La probabilità delli-esimo modo di decadimento è i dt La probabilità totale di decadimento è Quindi Sia che contiamo la radiazione nel modo di decadimento 1 o nel modo di decadimento 2, osserviamo solo la costante di decadimento totale. Le costanti determinano la probabilità di decadere in 1 o in 2,

7 7 Esempio: decadimenti del 40 K Energia

8 8 Connessione con la teoria quantistica Nel processo di decadimento abbiamo la transizione fra due stati causata da un potenziale V (più piccolo del potenziale nucleare). La probabilità di transizione è data dalla regola doro di Fermi In assenza della perturbazione abbiamo uno stato stazionario descritto dalla funzione donda La probabilità di trovare il sistema nello stato a è | a (t)| 2 e non dipende dal tempo per uno stato stazionario. La probabilità di trovare il sistema in uno stato di energia E è legata alla trasformata di Fourier

9 9 La funzione donda dello stato a è quindi Lesponenziale implica che non possiamo più sapere con esattezza lenergia E a dello stato. La trasformata di Fourier è ora quindi In presenza della perturbazione, per essere consistenti con la legge del decadimento radioattivo dobbiamo avere

10 10 Malgrado questa incertezza possiamo sempre parlare di transizioni fra livelli distinti. Vite medie maggiori di s corrispondono a < MeV, mentre tipiche separazioni fra i livelli sono MeV o più. Quindi lo stato finale è sempre ben definito stati pseudo-stazionari Densità di stati Poichè un solo stato finale può essere raggiunto, alla densità di stati contribuisce solo il campo di radiazione emesso (ad es. direzione e/o stato di polarizzazione) la probabilità di osservare il sistema nellintervallo di energia (E,E+dE) è - + Funzione di Breit-Wigner E 0 =m 0 c 2 La larghezza è una misura dalla nostra incapacità di misurare lenergia. Vediamo che

11 11 Catene di decadimento 1 2 N 1 N 2 N 3... Lattività di N 2 è 2 N 2 (t). Il tasso di variazione della popolazione di N 2 è Abbiamo sempre N 1 (t) = N 1 (0) exp(- 1 t). Ricerchiamo una soluzione del tipo La condizione N 2 (0) = 0 dà A = - B. Sostituendo sopra abbiamo da cui ricaviamo

12 12 Quindi (i) Se 2 >> 1 allora exp(- 1 t) 1 e Lattività 2 N 2 tende a 1 N 1 per t grande, cioè alla stessa attività del nucleo 1. Quindi le due specie di nuclei tendono a decadere allo stesso rate (equilibrio secolare). al crescere di t il rapporto tende al valore costante 2 / ( 2 – 1 ). I nuclei 2 in effetti decadono con la costante di decadimento del tipo 1 (equilibrio transiente). (ii) Se 2 > 1 allora il rapporto delle attività è Se 2 < 1 allora il nucleo 1 decade rapidamente. Lattività del nucleo figlio sale a un valore massimo e poi decade con la sua costante di tempo. Per t grande exp(- 1 t) 0 e

13 13 Radioattività naturale Alcuni tempi di dimezzamento grandi rispetto alletà della Terra n = intero N Z serie 4n

14 14 Radio-datazione Consideriamo un campione di nuclei genitori (P) che decadono in nuclei figli (D): Ipotesi: P è nota da studi precedenti - P furono intrappolati al momento della formazione del campione - Nè P nè D sono entrati o sfuggiti dal campione tramite qualche altro meccanismo - A t = 0 N D = 0 Abbiamo da cui letà è quindi Contiamo N P (t) e N D (t) chimicamente ad esempio.

15 15 Abbiamo una complicazione quando N D (0) non è nullo. Allora Riarrangiando minerali che cristallizzano da unorigine comune dovrebbero avere - Stessa età t - Stesso N D (0) / N D (0) - Diverso N P (0) (a causa delle diverse composizioni chimiche) Supponiamo che esista un altro isotopo di D, diciamo D, per il quale N D (t) = N D (0) = N D (cioè D è stabile). Possiamo scrivere

16 16 Grafichiamo quindi N D (t) / N D in funzione di N P (t) / N D La pendenza sarà e lintercetta Esempio. Usiamo il decadimeno - 87 Rb 87 Sr ( 1/2 = 4.8 x anni) D = 86 Sr (stabile) Età della Terra stimata dalla pendenza = 4.5 x 10 9 anni 87 Sr / 86 Sr 87 Rb / 86 Sr Minerali terrestri, lunari, meteoriti

17 17 Datazione col radio-carbonio Per datare campioni più recenti di materia organica si usa il 14 C Il 14 C è continuamente prodotto nellatmosfera terrestre dal bombardamento di raggi cosmici Il rate di produzione di 14 C è approssimativamente costante (verificato ad esempio analizzando gli anelli degli alberi) Il carbonio negli organismi viventi è continuamente scambiato col carbonio atmosferico (allequilibrio 1 atomo di 14 C per atomi di altri isotopi del carbonio (98.9% 12 C, 1.1% 13 C) protone di raggi cosmici nucleo 14 C è presente in tutti gli organismi viventi CO 2 entra nel ciclo del cibo CO 2 fa entrare 14 C nel ciclo del cibo 14 CO 2

18 18 Negli animali morti il 14 C non viene più assorbito e quello presente decade La misura dellattività di decadimento beta di un campione di legno sepolto, ad esempio, fornisce una misura del lasso di tempo trascorso dalla morte dellorganismo (quando questo era in equilibrio con latmosfera) 100% 50% 25% 12.5% età(anni) Complicazioni derivanti dallutilizzo di combustibili fossili, test di armi nucleari, ecc.

19 19 Decadimento Il decadimento è dovuto allemissione di un nucleo 4 2 He (doppiamente magico e fortemente legato) Cinematica Conservazione dellenergia Dove T è lenergia cinetica. Lenergia rilasciata è Solo se Q > 0 il decadimento è energeticamente possibile

20 20 Se il nucleo genitore è a riposo, Y e si muovono con momenti uguali e opposti Nel decadimento lenergia liberata è tipicamente 4-9 MeV. Quindi T << m e possiamo usare lapprossimazione non relativistica Possiamo quindi scrivere Possiamo porre m / m Y 4 / (A – 4) per cui Tipicamente porta via il 98% di Q, mentre il frammento nucleare ha un piccolo rinculo (sebbene maggiore delle energie di legame reticolari!)

21 21 Perchè si verifica il decadimento ? E non p o 12 C? Consideriamo lenergia rilasciata (Q) in vari possibili decadimenti di 232 U Possiamo calcolare Q da Le altre reazioni hanno un Q negativo: non possono avvenire spontaneamente. è facile da formare dentro un nucleo (pari-pari in particolare perchè = 2p 2n ) (Il punto fino a cui esiste dentro il nucleo non è ancora noto) Molti nuclei con sono instabili (dal punto di vista energetico), ma solo la metà presenta vite medie < anni Il decadimento in 12 C è energeticamente possibile, ma ha una vita media enorme (rispetto al processo ). = difetto di massa

22 22 Una caratteristica veramente notevole del decadimento è la forte dipendenza della vita media da Q Ad es. 232 Th Q = 4.08 MeV 1/2 = 1.4x10 10 anni 218 Th Q = 9.85 MeV 1/2 = 1.0x10 -7 s Un fattore 2.5 in Q determina un fattore in 1/2 ! Dipendenza di 1/2 da Q N pari, Z pari dipendenza liscia a Z fissato log 10 1/2 (sec) Q(MeV)

23 23 Lenergia di una particella è paradossalmente piccola rispetto allenergia necessaria per riportarla a contatto nucleare col nucleo figlio. Lenergia potenziale elettrostatica implica una barriera di potenziale Inoltre, moltiplicando e dividendo per ħc e nelle unità in cui ħ = c = 1 Quindi a questa distanza lenergia potenziale (barriera di potenziale) è Barriera di potenziale repulsiva e distanza di minimo approccio Esempio 1: 238 U 234 Th Poichè il raggio nucleare è R = 1.2 x A 1/3 fm, se la particella a e il nucleo figlio fossero a contatto sarebbero separati da

24 24 Esempio 2: 212 Po 208 Pb. I difetti di massa = m – A di 212 Po, 208 Pb e 4 He sono –10.381, , e risp. Q può quindi essere espresso come la differenza dei difetti di massa Lenergia cinetica della particella è Partendo da una particella libera di circa 9 MeV possiamo calcolare la distanza di minimo approccio al nucleo figlio che si ha per Q = V=2Ze 2 /4 r

25 25 Tunneling quanto-meccanico Pensiamo la particella allinterno di un nucleo come unentità ben definita intrappolata entro i confini del nucleo (è in qualche modo pre-formata) La dinamica è determinata dal potenziale di interazione V(r) fra la particella a e il nucleo figlio Il potenziale è prodotto collettivamente dai nucleoni del nucleo figlio: - per 0 < r < R V(r) deve produrre una forza attrattiva affinchè la particella sia quasi legata - per r >> 1 fm leffetto dellinterazione forte è molto minore dellinterazione elettrostatica - Esiste una regione intermedia in cui i due tipi di interazione sono comparabili e la forma di V(r) è determinata da questo bilanciamento. Poichè V va come 1 / r a grande r, V ha quindi la forma di una barriera di potenziale in questa regione intermedia Interazione elettrostatica Regione intermedia Allesternobarriera Dentro la buca Forza nucleare forte

26 26 E principalmente questa barriera che determina la probabilità di decadimento (o cattura) In prima approssimazione possiamo assumere che entro il nucleo il potenziale sia una buca sfericamente simmetrica: V(r) = - V 0 per 0 < r < R. Leffetto dellinterazione nucleare è nullo al di fuori del raggio del nucleo e il potenziale immediatamente fuori e fino allinfinito è il potenziale coulombiano V(r) = 2 Z e 2 / r. Classicamente la particella non può entrare o sfuggire. Quanto-meccanicamente la particella può penetrare la barriera Tunnelling quanto-meccanico

27 27 Quando consideriamo il moto della particella nel potenziale del nucleo figlio abbiamo a che fare con un problema di forza centrale per r > R. Lequazione di Schrodinger può essere ricondotta a un problema unidimensionale dove qui è la massa ridotta. Lenergia E è Abbiamo quindi

28 28 Il modello di Gamow Il rate di emissione può essere espresso come frequenza f con cui arriva sul bordo di un nucleo probabilità T di trasmissione attraverso la barriera Semi-classicamente v = velocità di dentro il nucleo R = raggio del nucleo Un limite inferiore di v può essere ottenuto dallenergia cinetica della particella. Dallequazione di Schroedinger Assumiamo V 0 35 MeV, Q = 5 MeV. Quindi

29 29 Barriera di potenziale rettangolare Onda trasmessa Onda incidente Onda riflessa Nel punto x = a abbiamo le condizioni di frontiera Regione classicamente proibita Energia della particella Funzione donda della particella incidente Funzione donda della particella oltre la barriera

30 30 Risolvendo rispetto per A e B si ha Dallaltra parte della barriera in x = 0 abbiamo Laltezza massima della barriera è circa 30 MeV. Approssimiamo la barriera reale con una rettangolare di altezza media (V 0 - E) / 2 (30 – 5) / 2 =12 MeV. Se E = 5 MeV, la distanza di minimo avvicinamento è 60 fm. assumiamo quindi una larghezza media pari a (b – R) / 2 ( ) / 2 = 25 fm

31 31 Questo ci permette di trascurare A rispetto a B. Si ottiene La soluzione del sistema di condizioni di frontiera quando k 2 a >> 1 porta quindi a La probabilità di trasmissione è dunque Questa è una funzione molto sensibile della larghezza e dellaltezza della barriera

32 32 nella maggior parte dei casi il primo termine domina sul secondo. In questa procedura consideriamo la barriera come una serie di barriere rettangolari Poichè i coefficienti di trasmissione sono moltiplicativi In generale la barriera non è rettangolare. Non esiste una soluzione esatta per una barriera irregolare e dovremmo usare lapprossimazione di Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB). Cerchiamo di essere meno tecnici... scriviamo Separazione dei centri (fm) Energia (MeV)

33 33 La quantità è detta fattore di Gamow. Adesso utilizzeremo questa formule per calcolare la probabilità di trasmissione nel caso del decadimento. Lapprossimazione fatta non è buona vicino ai punti di inversione in cui E = V in quanto allora k 2 a 0 Inoltre V(r) deve variare lentamente in r Ma per la maggior parte degli scopi lapprossimazione va bene e quindi infine

34 34 La particella sfugge in r = R, dove V(R) = Q R = 2 Z e 2 / 4 Q Poniamo r = R cos 2 Per r > R

35 35 Nella maggior parte dei casi pratici R >> R. Ad esempio per Z = 90 abbiamo trovato Q 4 MeV R 60 fm >> R 10 fm. Allora Quindi e di conseguenza

36 36 da cui La vita media è data da Arriviamo quindi alla legge di Geiger-Nuttal Se R / R 0, allora il termine in parentesi è / 2 e misurando Q in MeV si ha log 10 ZQ -1/2

37 37 Quindi Esempio: Calcoliamo il rate di emissione e la vita media di 238 U. Abbiamo Il fattore di Gamow è

38 38 Il rate di decadimento e il tempo di dimezzamento sono Il fattore di trasmissione è La vita media osservata di 238 U è 4.47x10 9 anni, circa 25 volte maggiore del nostro calcolo.

39 39 Problemi del modello Abbiamo assunto lesistenza di una particella nel nucleo e non abbiamo tenuto conto della probabilità di formazione Abbiamo considerato un approccio semi-classico per stimare la frequenza dei tentativi di fuga, f = v / 2R, e abbiamo fatto una predizione assoluta del rate di decadimento. Il rate è molto sensibile al valore esatto del raggio. Abbiamo assunto nuclei sferici, ma sappiamo che molti nuclei di alta massa non sono sferici Il modello sviluppato assume che le particelle abbiano momento angolare orbitale nullo (L = 0). Questo funziona correttamente solo quando sia il nucleo genitore che figlio hanno spin zero, poichè (lo spin di è zero) Difatti, il modello va bene per i nuclei pari-pari nei loro stati fondamentali, i quali hanno spin zero. Anche i decadimenti di alcuni nuclei pesanti con A dispari popolano stati eccitati che hanno lo stesso spin del nucleo genitore cosicchè L = 0

40 40 Se il decadimento ha luogo da uno stato eccitato o produce uno stato eccitato, ci può essere un certo momento angolare orbitale. La particella a deve passare attraverso una barriera più alta a causa del potenziale centrifugo Possiamo calcolare leffetto di questo potenziale semplicemente aggiungendolo alla barriera coulombiana. Se definiamo allora dobbiamo semplicemente operare la sostituzione r energia

41 41 Linsieme di stati eccitati che possono essere popolati dal decadimento (assieme a quello fondamentale) è detto la struttura fine del decadimento P 0 E1E1 E2E2 D Q maggiore, e L non zero vite medie per i decadimenti negli stati eccitati maggiori (il decadimento è meno probabilie) Parità. La parità è conservata nel decadimento. Abbiamo X, Y parità uguale L deve essere pari X, Y parità opposta L deve essere dispari Quindi se X ha J P = 0 +, gli stati di Y che possono essere popolati nel decadimento sono

42 42 Fattori di ostacolo I nuclei di A dispari hanno vite media sostanzialmente maggiori di quelli pari-pari. decadimenti ostacolati Fattore di ostacolo = misurata / calcolata Fattore di ostacolo < 4 La particella è costruita da coppie di nucleoni su livelli bassi. Il nucleone dispari resta nel suo orbitale iniziale Fattore di ostacolo 4-10 mixing favorevole fra gli stati nucleari iniziale e finale Fattore di ostacolo proiezioni di spin parallele ma overlap della funzione donda non favorevole Fattore di ostacolo Transizioni con variazioni di parità ma con proiezioni di spin parallele Fattore di ostacolo > 1000 cambiamento di parità e spin-flip (sostanziale riorganizzazione del nucleone del genitore quando viene emessa)


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