La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Social Networks Leggi di potenza e di Zipf. Social Networks Distribuzione di parametri Esempio: supponendo di avere a disposizione i dati sul numero di.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Social Networks Leggi di potenza e di Zipf. Social Networks Distribuzione di parametri Esempio: supponendo di avere a disposizione i dati sul numero di."— Transcript della presentazione:

1 Social Networks Leggi di potenza e di Zipf

2 Social Networks Distribuzione di parametri Esempio: supponendo di avere a disposizione i dati sul numero di accessi a un certo insieme S di n siti Web, studiare la distribuzione di A(x) rispetto a x, dove: –x = # accessi nellultimo mese –A(x) = # di siti ai quali sono stati fatti x accessi nellultimo mese

3 Social Networks Piu formalmente… Interessa il seguente problema: data una popolazione S di n individui e un parametro P (reale o intero) di interesse, determinare landamento di A(x), dove –x = valore del parametro –A(x) = # individui per cui P = x

4 Social Networks Esempio: distribuzione degli accessi a siti Web x = # accessi, A(x) = # siti a cui sono stati fatti x accessi A(x) = (1/x ), dove > 2

5 Social Networks Esempio: distribuzione del reddito - curva di Pareto x = # reddito, A(x) = # individui con reddito x A(x) = (1/x ), dove > 2

6 Social Networks Esempio: distribuzione del numero di link entranti x = # di link entranti, A(x) = # pagine Web con x link entranti A(x) = (1/x ), dove 2.1 Scala logaritmica

7 Social Networks Legge di potenza Per semplicita x min = 1 Si osservi che x {1, …, X} e che x A(x) = N perche A(x) e una distribuzione La legge di potenza e anche detta distribuzione heavy- tailed o a coda larga A(x) segue una legge di potenza su una popolazione di N individui se:

8 Social Networks Andamento cresce x A(x) 1 2 > 1

9 Social Networks Invarianza di scala Una funzione f(x) esibisce invarianza di scala se f(ax) = bf(x), dove a e b sono costanti Per una distribuzione A(x), invarianza di scala significa che, per ogni x e per ogni costante a, # individui che esibiscono il valore ax del parametro e ~ # individui che esibiscono il valore x del parametro Proprieta fondamentale: le leggi di potenza sono le uniche soluzioni di f(ax) = bf(x)

10 Social Networks Esempio/dimensioni dei file Si osserva che il numero di file di dimensione 2x e allincirca 1/4 del numero di file di dimensione x –Ad esempio, # file di dimensione 2 KB (1/4) # file di dimensione 1 KB La distribuzione A(x) soddisfa dunque la seguente proprieta: –A(2x) = (1/4)A(x) e dunque e una legge di potenza

11 Social Networks Invarianza di scala/2 A(x) = # siti cui sono stati fatti x accessi A(x) segue una distribuzione del tipo: Dove X e di nuovo il valore max. osservato per x. Dunque:

12 Social Networks Invarianza di scala/3 A/x e la frazione di siti ai quali sono stati fatti x accessi durante il periodo di osservazione

13 Social Networks Esempio Supponiamo di sapere che A(2x) = (1/4)A(x). Determinare

14 Social Networks Esempio/2 Sappiamo che A(x) deve seguire una legge di potenza, quindi A(x) sara del tipo: N e il numero di individui

15 Social Networks Esempio/3 Questo significa che A(x)/A(2x) = 2 = 1/4 Cio implica = 2

16 Social Networks Rappresentazione in scala logaritmica Le leggi di potenza diventano lineari se rappresentate in scala logaritmica: Le leggi di potenza sono le uniche a godere di tale proprieta –Nota: si osservi che A ed N sono costanti per una particolare popolazione osservata

17 Social Networks Esempio: distribuzione degli accessi a siti Web Si osservi che il parametro e la tangente (< 0) della retta di interpolazione

18 Social Networks Legge di Zipf Si ha quando studiamo il problema seguente: qual e il # accessi alli-esimo sito piu popolare? dove N e il numero di siti considerati e 0 < <= 1 Si osservi che i Z(i) = X, il numero complessivo di accessi a tutti i siti

19 Social Networks Andamento al variare di cresce i Z(i) Andamento secondo legge di potenza ma la distribuzione studiata e diversa

20 Social Networks Esempio: distribuzione degli accessi a siti Web Li-esimo elemento dellasse delle ascisse rappresenta li-esimo sito piu popolare Siti con uguale numero di accessi ordinati a piacere

21 Social Networks Relazione tra leggi di potenza e di Zipf Proprieta: legge di potenza implica legge di Zipf e viceversa

22 Social Networks Relazione tra leggi di potenza e di Zipf Si puo dimostrare che se A(x) segue una legge di potenza con parametro allora Z(i) segue una legge di Zipf con parametro = 1/( -1) La legge di Zipf rappresentata in coordinate logaritmiche corrisponde a una retta con pendenza -

23 Social Networks Esempio/1 Si supponga di considerare N siti Web e si supponga che li-esimo sito piu popolare abbia ricevuto R(i) richieste, dove Troviamo un limite inferiore a R j, il numero complessivo di accessi ai j siti piu popolari

24 Social Networks Esempio/2 Si approssima la somma con un integrale x (x-1) 1- per x 1 –Vero per x = 1 –Derivata di f(x) = x (x-1) 1- e > 0 per x 1

25 Social Networks Esempio/3

26 Social Networks Esempio/4 Dunque: Ad esempio, per = 0.9, R j > 0.8X non appena j/N (0.8) Cio significa che l 11% dei siti piu popolari riceve piu dell 80% degli accessi

27 Social Networks Somme e integrali La sommatoria corrisponde alla somma delle aree dei rettangoli i Z(i) 123 jj+1

28 Social Networks Riferimenti L. Adamic. Zipf, Power-laws, and Pareto - a ranking tutorial –http://www.hpl.hp.com/research/idl/papers/ranking/ran king.html M. E. Newman. Power laws, Pareto distribution and Zipfs law –http://arxiv.org/abs/cond-mat/ http://arxiv.org/abs/cond-mat/ Anche: M. Mitzenmacher. A Brief History of Generative Models for Power Law and Lognormal Distributions –http://www.eecs.harvard.edu/~michaelm/NEWWORK/ postscripts/history-revised.pdf


Scaricare ppt "Social Networks Leggi di potenza e di Zipf. Social Networks Distribuzione di parametri Esempio: supponendo di avere a disposizione i dati sul numero di."

Presentazioni simili


Annunci Google