- EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS - EQUAZIONI PER IL MOTO DEI FLUIDI

Presentazione sul tema: "- EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS - EQUAZIONI PER IL MOTO DEI FLUIDI"— Transcript della presentazione:

1 - EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS - EQUAZIONI PER IL MOTO DEI FLUIDI
Università degli Studi Roma Tre Laurea Magistrale in Ingegneria Civile per la Protezione dai Rischi Naturali - EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS - EQUAZIONI PER IL MOTO DEI FLUIDI Corso: Idraulica Ambientale Docente: Ing Claudia Adduce

2 SISTEMA DI RIFERIMENTO NON INERZIALE
Generalmente le equazioni della meccanica dei fluidi vengono scritte per un sistema di riferimento inerziale (SRI) ovvero fisso. La gente che vive sulla Terra percepisce però il movimento dei fluidi in un sistema di riferimento non inerziale (SRNI), che ruota assieme al nostro pianeta. E’ quindi necessario scrivere le equazioni del moto in tale sistema di riferimento non inerziale. D’ora in poi si indicheranno con * le grandezze nel SRI e senza alcun asterisco le grandezze nel SRNI.

3 SISTEMA DI RIFERIMENTO NON INERZIALE
a* è l’accelerazione nel SRI a0 è l’accelerazione di trascinamento dovuta ad una variazione nel tempo dell’origine del SRI. a è l’accelerazione nel SRNI. è l’accelerazione di Eulero, dovuta ad una variazione nel tempo della velocità di rotazione dell’origine del SRI. è l’accelerazione di Coriolis, ovvero la forza di Coriolis per unità di massa e cambiata di segno. è l’accelerazione centripeta, ovvero la forza centrifuga per unità di massa e cambiata di segno. Poiché sia la velocità di rotazione terrestre che l’origine del sistema di riferimento non inerziale non variano nel tempo si ha d/dt=0 e a0=0 quindi

4 EFFETTO DELLA FORZA CENTRIFUGA
- A differenza della forza di Coriolis, che è proporzionale alla velocità della particella nel SRNI, la forza centrifuga dipende dalla velocità di rotazione e dalla distanza della particella dall’asse di rotazione ovvero -(x). Di conseguenza anche particelle ferme potrebbero subire una spinta verso l’esterno, ma nessuna particella “vola” nello spazio in quanto la forza di gravità lo impedisce. - In assenza di rotazione le forze gravitazionali avrebbero l’effetto di trattenere tutto il materiale terrestre sotto forma di un corpo sferico, la spinta verso l’esterno operata dalla forza centrifuga distorce l’equilibrio sferico producendo un leggero schiacciamento del pianeta ai poli. - La forza centrifuga è diretta verso l’esterno, perpendicolarmente all’asse di rotazione, mentre la forza di gravità punta verso il centro del pianeta. La forza risultante assume una direzione intermedia, precisamente la direzione della verticale locale. Ogni particella inizialmente in quiete sulla superficie terrestre resterà in quiete a meno di non essere soggetta ad altre forze.

5 EFFETTO DELLA FORZA CENTRIFUGA
- Si definirà forza di gravità la forza risultante allineata con la verticale locale e data dalla somma della forza di gravità effettiva e quella centrifuga. - A causa della distribuzione disomogenea delle rocce e del magma sulla terra, la forza gravitazionale effettiva non è diretta verso il centro della terra ed essa deforma la superficie terrestre in modo che tale superficie risulti ortogonale alla forza di gravità totale. - La superficie terrestre deformata va sotto il nome di geoide e può essere interpretata come la superficie degli oceani in quiete. Essa rappresenta una superficie equipotenziale, ovvero se una particella si muove su tale superficie non modifica la propria energia potenziale.

6 ESPERIMENTO SU VASCA ROTANTE
- Analogamente, in una vasca rotante di laboratorio la rotazione produce uno spostamento del fluido verso le pareti finché la forza dovuta al gradiente di pressione diretta verso l’interno non impedisce tale spostamento. La forza di gravità diretta verso il basso e quella centrifuga diretta verso l’esterno producono una risultante ortogonale alla superficie fluida, che rappresenta la superficie equipotenziale. - Per una velocità di rotazione di una rivoluzione ogni due secondi ovvero =30rpm (rpm = rotazioni al minuto) e un diametro della vasca di D=40 cm, la differenza di livello fra il centro e le pareti risulta pari a di H=2 cm.

7 EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS: MOTO LIBERO SU UN PIANO ROTANTE 2D
- Per valutare l’effetto della forza di Coriolis, si può considerare il moto di una particella “libera”, ovvero soggetta unicamente alla forza di gravità, la cui componente orizzontale si elide con la componente orizzontale della forza centrifuga dovuta alla rotazione. Un esempio può essere rappresentato da un piano orizzontale tangente al polo Nord in cui sono assenti altre forze orizzontali. - Se sulla particella non agiscono forze esterne la sua accelerazione nel SRI è nulla (a*=0) quindi svolgendo il prodotto vettoriale (il vettore rotazione è diretto secondo la verticale  = k ) ed esplicitando le due componenti u e v sul piano orizzontale x-y si ottiene:

8 EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS: MOTO LIBERO SU UN PIANO ROTANTE 2D
La soluzione generale del sistema differenziale è data da In cui f=2 è chiamato parametro di Coriolis, V e  sono due costanti d’integrazione. Si può verificare che il modulo della velocità della particella non dipende dal tempo ed è pari a Le due componenti di velocità variano nel tempo e ciò produce un cambiamento della direzione della particella. Inoltre sapendo che dx/dt=u e dy/dt=v ed integrando si ottiene In cui x0 e y0 sono costanti di integrazione dipendenti dalle coordinate iniziali della particella.

9 EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS: MOTO LIBERO SU UN PIANO ROTANTE 2D
- Dalle relazioni precedenti si ottiene che la traiettoria della particella segue in senso orario una circonferenza centrata nella posizione (x0 ,y0) e di raggio V/f . Tale moto ciclico va sotto il nome di oscillazione inerziale - Per t=0 ipotizzando =0 si ha - Per t=/2f ipotizzando =0 si ha

10 EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS: MOTO LIBERO SU UN PIANO ROTANTE 2D
Se non vi fosse rotazione dell’ambiente f=0 il raggio di curvatura della traiettoria della particella sarebbe infinito e la particella seguirebbe un percorso rettilineo (moto rettilineo uniforme). Se vi è rotazione dell’ambiente la particella ruota continuamente seguendo una traiettoria circolare: - se f>0 (l’ambiente ruota in senso antiorario) la particella ruota verso destra (in senso orario); - se f<0 (l’ambiente ruota in senso orario) la particella ruota verso sinistra (in senso antiorario).

11 INTEPRETAZIONE GEOMETRICA DELL’OSCILLAZIONE INERZIALE
- Si consideri un tavolo rotante e su di esso una particella inizialmente (t=0) ad una distanza R dall’asse di rotazione e che si avvicina ad esso con velocità u. Ad un certo istante t, la particella avrà percorso lungo l’asse di rotazione il tratto ut e lateralmente la distanza Rt. - Durante il tempo t il tavolo avrà ruotato di un angolo t e ad un osservatore nel SRNI la particella sembrerà essere partita dal punto indicato col cerchio aperto. Sebbene la traiettoria sia perfettamente diritta nel SRI, per un osservatore nel SRNI la traiettoria apparente ruotata a destra. - Se si considera una particella che dal centro si muove radialmente verso l’esterno, nel SRI la traiettoria sarà rettilinea e percorrerà una distanza ut. Nel SRNI la particella anziché arrivare nella posizione indicata con l’asterisco, virerà apparentemente verso destra. - La caratteristica di virare a destra è dovuta alla forza di Coriolis

12 ACCELERAZIONE IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO 3D
- Consideriamo la Terra come una sfera perfetta, che ruota attorno al suo asse verticale. Siano  la latitudine e  la longitudine di un particolare punto sulla sua superficie, si consideri un sistema di riferimento Cartesiano in cui l’asse x parallelo ai paralleli è orientato verso est, l’asse y parallelo ai meridiani è orientato verso nord e l’asse z è diretto come la verticale locale verso l’alto. - Il vettore rotazione terrestre è espresso come: e l’accelerazione a meno del termine centrifugo è data da

13 ACCELERAZIONE IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO 3D
- Esplicitando le tre componenti dell’accelerazione - Si definiscono le due quantità f è positivo nell’emisfero settentrionale, nullo all’equatore e negativo nell’emisfero meridionale. f* è positivo sia nell’emisfero settentrionale che nel meridionale e si annulla ai poli. In generale i termini moltiplicati per f* si trascureranno. Coefficiente di Coriolis Reciproco del coefficiente di Coriolis

14 ACCELERAZIONE IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO 3D
- I moti orizzontali (x, y) non forzati sono descritti dal sistema analogo al sistema delle oscillazioni inerziali con la differenza che il termine f dipende ora dalla latitudine. - Le oscillazioni inerziali sulla terra hanno un periodo che varia tra Ti=12 h (ai poli) e Ti=  (all’equatore). - Le oscillazioni inerziali sono piuttosto rare, in quanto esistono sempre delle forzanti come i gradienti di pressione o altre forze, ma è comunque possibile osservarle in natura. Periodo delle oscillazioni inerziali nel sistema di riferimento 3D

15 OSSERVAZIONE DI UN’OSCILLAZIONE INERZIALE
- Si mostra un diagramma vettoriale progressivo relativo ad una corrente oceanica, costruito mediante la somma successiva di misure di velocità in un punto fissato. - Si osserva una traslazione della corrente alla quale è sovrapposta un’oscillazione oraria piuttosto regolare. Se si calcola il periodo inerziale corrispondente alla latitudine in cui è stata effettuata la misura si ottiene un periodo di Ti=14 h che è in accordo con il periodo dell’oscillazione misurata. - In questo modo l’osservazione conferma la presenza di un’oscillazione inerziale.

16 Equazioni di Navier-Stokes
EQUAZIONI DEL MOTO Equazione di continuità Equazioni di Navier-Stokes - Il termine g rappresenta la forza gravitazionale effettiva (la somma della forza gravitazionale e di quella centrifuga) per unità di volume. La geometria del sistema di riferimento adottato è di tipo sferico, mentre le equazioni sono scritte in un sistema di coordinate Cartesiane, tale approssimazione è valida per scale del moto molto inferiori al raggio terrestre (<1000 Km).

17 Equazione di stato per l’acqua
EQUAZIONI DEL MOTO - Si sono introdotte 5 incognite (u,v,w,, p), ma si hanno 4 equazioni. E’ necessario introdurre un’ulteriore relazione (equazione di stato), che dipenderà dal particolare tipo di fluido, bisogna quindi distinguere fra acqua e aria. Equazione di stato per l’acqua - Se il fluido è incomprimibile come accade per l’acqua a temperature e pressioni ordinarie si ha  = constante - In oceano in realtà la densità è funzione sia della temperatura, T, che della salinità, S. T0,S0,0, sono valori di riferimento, mentre  è il coefficiente di espansione termica,  il coefficiente di contrazione salina.

18 EQUAZIONI DEL MOTO Equazione di stato per l’aria secca
L’aria secca in atmosfera si comporta come un gas ideale R è una costante e T è la temperatura assoluta. Equazione di stato per l’aria umida Molto spesso l’aria atmosferica contiene umidità, quindi si introduce l’umidità specifica, q. Il set di equazioni non è completo in quanto si è aggiunta un’equazione, ma si sono aggiunte anche altre due incognite (temperatura e salinità o temperatura e umidità)

19 Equazione di bilancio dell’energia
EQUAZIONI DEL MOTO Con l’equazione di stato si è introdotta, per l’aria secca, una nuova incognita (la temperatura, T) e due nuove incognite per l’aria umida (la temperatura, T e l’umidità specifica, q) e per l’acqua (la temperatura, T e la salinità, S). Sarà quindi necessario aggiungere ulteriori equazioni per chiudere il problema. Equazione di bilancio dell’energia - Il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica, afferma che la variazione di energia interna di una particella materiale è uguale al calore che essa riceve meno il lavoro meccanico che produce per unità di massa e di tempo. - L’energia interna, misura dell’agitazione termica delle molecole che costituiscono la particella, è proporzionale alla temperatura assoluta T con CV calore specifico a volume costante.

20 Equazione di bilancio dell’energia
EQUAZIONI DEL MOTO Equazione di bilancio dell’energia - Il termine Q, rappresenta il solo calore acquistato dalla particella per contatto attraverso il processo di diffusione, con kT conduttività termica. Si trascurano eventuali sorgenti e pozzi interni di calore (condensazione ed evaporazione) - Il lavoro meccanico prodotto dal fluido è dato dalla forza (pressione x area) moltiplicata scalarmente per lo spostamento e dopo alcuni calcoli si può ottenere che - Sostituendo i singoli termini si ottiene l’equazione di bilancio dell’energia - Nel caso dell’acqua tenendo conto della sua incomprimibilità si può effettuare la semplificazione

21 Equazione di bilancio della salinità
EQUAZIONI DEL MOTO Equazione di bilancio della salinità Per l’oceano una particella d’acqua distribuisce il suo contenuto salino mediante la diffusione, in cui s è il coefficiente di diffusione della salinità. La salinità verrà misurata in psu (Practical Salinity Units) corrispondente al rapporto tra la conduttività di un campione di acqua di mare e quella di una soluzione standard di cloruro di potassio. I rapporti sono adimensionali. Equazione di bilancio dell’umidità Per l’aria umida il bilancio dell’umidità sarebbe più complicato, ma trascurando l’evaporazione e la condensazione, si ha che l’umidità viene redistribuita attraverso un processo diffusivo, mediante contatto con le particelle a differente contenuto di umidità. q è il coefficiente di diffusione dell’umidità.

22 SOMMARIO EQUAZIONI DEL MOTO
Aria - 7 variabili: u, v, w, p, , T, e q - 7 equazioni: 1 equazione di continuità, 3 equazioni di bilancio della quantità di moto, 1 equazione di stato, 1 equazione dell’energia, 1 equazione per l’umidità. Acqua - 7 variabili: u, v, w, p, , T, e S - 7 equazioni: 1 equazione di continuità, 3 equazioni di bilancio della quantità di moto, 1 equazione di stato, 1 equazione dell’energia, 1 equazione per la salinità.

23 APPROSSIMAZIONE DI BOUSSINESQ
- Nella maggior parte dei sistemi geofisici la densità dei fluidi varia di poco attorno ad un valore medio. In oceano per T=4°C e S=34.7 la densità a pressione atmosferica è =1028 kg/m3 e le variazioni di densità non superano i 3 kg/m3. Negli estuari dove pur si osservano le più elevate variazioni di densità non si supera il 3%. - In aria le variazioni di densità possono essere molto elevate fino al 100% di variazione, ma se si considera solo la Troposfera, che è la parte più bassa dell’atmosfera (10 Km di spessore), le variazioni di densità non superano il 5%. - Si può introdurre l’approssimazione di Boussinesq: la densità è data dalla somma di un valor medio e di una variazione di densità, dovuta alla stratificazione e al moto dei fluidi e che risulta sempre molto inferiore al valor medio

24 EQUAZIONE DI CONTINUITÀ SEMPLIFICATA MEDIANTE L’APPROSSIMAZIONE DI BOUSSINESQ
Le variazioni di velocità nello spazio e nel tempo sono molto maggiori delle corrispondenti variazioni di densità, quindi 1<<3, inoltre 2>>3, quindi anche 2>>1. In conclusione l’equazione di continuità si riduce ad una conservazione del volume. 1 2 3 1 2 3

25 EQUAZIONI DI BILANCIO DELLA QUANTITÀ DI MOTO SU x-y SEMPLIFICATE
La densità compare come fattore moltiplicativo nel solo termine di sinistra ed applicando l’approssimazione di Boussinesq e dividendo per 0 si ottiene Viscosità cinematica

26 EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA QUANTITÀ DI MOTO SEMPLIFICATA SU Z
La densità compare come fattore moltiplicativo sia nel termine di sinistra che in un termine a destra, applicando l’approssimazione di Boussinesq si ottiene Il termine g tiene conto del peso del fluido che causa un aumento della pressione con la profondità. La pressione stessa è quindi somma di un termine idrostatico p0 e di una parte non idrostatica p’ (pressione dinamica)

27 EQUAZIONE DI BILANCIO DELL’ENERGIA SEMPLIFICATA PER L’ACQUA
- Per la continuità del volume (equazione di continuità semplificata) si può eliminare il secondo termine a primo membro. La densità compare come fattore moltiplicativo solo nel termine di sinistra, applicando l’approssimazione di Boussinesq e si ottiene - Nel caso di moto turbolento si può assumere che s=T= , diffusività turbolenta, in quanto nella turbolenza la diffusione è dovuta a vortici che mescolano alla stessa velocità sia il sale che il calore. Viene frequentemente adottato il valore s=T==10-2 m2/s. - Tale ipotesi non è valida se la diffusione è dominata da processi molecolari. Diffusività cinematica

28 EQUAZIONE DI BILANCIO DELL’ENERGIA SEMPLIFICATA PER L’ACQUA
Se s=T=, combinando l’equazione dell’energia semplificata, con quella della salinità e quella di stato si ottiene un’equazione per la variazione della densità, che sostituisce l’equazione dell’energia. - Per l’aria la trattazione viene rimandata ad un corso più specialistico. - Come conseguenza dell’approssimazione di Boussinesq si ha che la densità  viene sostituita dal suo valore medio 0 ovunque, eccetto che nel prodotto con l’accelerazione di gravità e nell’equazione dell’energia (variazione di densità). - Poiché nelle equazioni semplificate le variabili originarie  e p non compaiono più, d’ora in poi si elimineranno gli indici ‘ e si indicheranno rispettivamente come  e p, le deviazioni di densità e pressione. NB: l’unica equazione in cui avremo ancora la pressione totale è quella di stato.

29 RIEPILOGO EQUAZIONI SEMPLIFICATE PER L’ACQUA
EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES EQUAZIONE DI CONTINUITA’ EQUAZIONE DELLA VARIAZIONE DI DENSITA’

30 RIEPILOGO EQUAZIONI SEMPLIFICATE PER PER L’ARIA
EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES EQUAZIONE DI CONTINUITA’ EQUAZIONE DELLA VARIAZIONE DI DENSITA’

31 RIEPILOGO EQUAZIONI SEMPLIFICATE PER L’ACQUA
EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES EQUAZIONE DI CONTINUITA’ EQUAZIONE DI STATO EQUAZIONE DELLA VARIAZIONE DI DENSITA’ EQUAZIONE DELL’ENERGIA EQUAZIONE DELLA SALINITA’

32 RIEPILOGO EQUAZIONI SEMPLIFICATE PER PER L’ARIA
EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES EQUAZIONE DI CONTINUITA’ EQUAZIONI DI STATO EQUAZIONE DELLA VARIAZIONE DI DENSITA’ EQUAZIONE DELL’ENERGIA EQUAZIONE DELL’UMIDITA’