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Rivelatori di Particelle1 Lezione 8 Perdita di energia di e ± Gli e ± perdono energia per: Ionizzazione (Bethe Block). la formula va leggermente modificata.

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1 Rivelatori di Particelle1 Lezione 8 Perdita di energia di e ± Gli e ± perdono energia per: Ionizzazione (Bethe Block). la formula va leggermente modificata in quanto gli e ± sia hanno piccola massa e possono essere diffusi nella collisione con gli e atomici T max = (E-mc 2 )/2, sia hanno diverse sezioni durto di scattering ed effetto densità leggermente minore. osalita relativistica leggermente minore per e ±. oeffetto densità leggermente minore per e ±.

2 Rivelatori di Particelle2 Lezione 8 Perdita di energia di e ± Bremsstrahlung L elettrone incidente di alta energia viene decelerato dalla collisione col nucleo ed emette energia e.m. (raggi ). La perdita di energia per collisioni col nucleo, come funzione del tempo è: dove a e laccelerazione. (ricorda la formula di Larmor o di Lienard per la radiazione di sincrotrone che dice che la potenza irraggiata va come a 2 )

3 Rivelatori di Particelle3 Lezione 8 Perdita di energia di e ± Un calcolo semiclassico della sezione durto di bremms da: M= massa della particella incidente k= impulso (energia) del fotone emesso z= carica della particella (incidente o del nucleo) 1= particella incidente 2= nucleo

4 Rivelatori di Particelle4 Lezione 8 Perdita di energia di e ± La sezione durto va come 1/M 2 importante solo per e ±. ( Nel seguito considereremo solo elettroni, massa m ) Dipende dal mezzo attraversato elementi più pesanti fanno perdere più energia. Il Bremss. avviene anche sugli elettroni dellatomo z 2 z(z+1) essendoci z elettroni nellatomo. Decresce al crescere dellenergia del fotone (1/k). Limportanza principale degli elettroni atomici è il loro effetto di schermo. Classicamente quando il parametro dimpatto è > del raggio atomico ci attendiamo una molto piccola in quanto gli e schermano la carica del nucleo la particella incidente vede una carica più piccola. b max (fisso k) si ottiene per q min (q= impulso trasferito al nucleo) e q min è determinato dal raggio dellatomo, più che dal minimo valore cinematico che può assumere. Questo fenomeno si chiama schermatura completa. Quanto detto è vero anche per una trattazione quantistica perché possiamo sempre definire una distanza efficace della particella incidente dal nucleo = ħ/q.

5 Rivelatori di Particelle5 Lezione 8 Perdita di energia di e ± Cenni sulla trattazione quantistica (QED) I diagrammi di Feynman allordine più basso che descrivono il Bremss sono: 1)Dobbiamo scambiare un fotone virtuale con il nucleo per conservare il quadrimpulso. 2)Linterazione non dipende dalla carica dellelettrone stessa sezione durto per e ±. ZiZi ZiZi f ZfZf e±e± e±e± e±e± e±e±

6 Rivelatori di Particelle6 Lezione 8 Perdita di energia di e ± Bethe e Heitler hanno eseguito il calcolo nel caso di un elettrone nel campo di un nucleo pesantissimo ( non lo usano per la conservazione dellenergia), puntiforme e senza spin. Il calcolo usa lapprossimazione di Born. Lapprossimazione usata è valida se (2 z 2 e 2 )/(ħv)<<1, essendo v la velocità dellelettrone dopo o prima dellemissione del fotone reale. Questa approssimazione è in genere valida per particelle energetiche. Gli effetti di schermo degli elettroni atomici sono determinati dal parametro E i ed E f sono lenergia iniziale e finale dellelettrone. è ottenuto dividendo il raggio dellatomo r a = ħ/( mcZ 1/3 ) per il massimo valore permesso della distanza efficace ħ/q.( essendo q il momento trasferito dallelettrone al nucleo) Si ha schermatura completa per 0, condizione quasi sempre verificata tranne che per k/E~1, cioè quando lelettrone trasferisce tutta la sua energia al fotone irraggiato.

7 Rivelatori di Particelle7 Lezione 8 Perdita di energia di e ± i.Ad alta energia i fotoni sono emessi ~ collineari con lelettrone incidente essendo langolo medio di emissione mc 2 /E, indipendente dallenergia del fotone emesso. ii.I fotoni emessi sono polarizzati con il vettore di polarizzazione al piano formato dal fotone e lelettrone incidente; la polarizzazione del dipende inoltre dalla polarizzazione dell e incidente. iii.La integrata sugli angoli di emissione del e di scattering dellelettrone è (nel caso di schermatura completa):

8 Rivelatori di Particelle8 Lezione 8 Perdita di energia di e ± Osserviamo: 1.Se vogliamo includere gli elettroni atomici Z 2 2 Z 2 (Z 2 +1) 2.d /dk per k 0 divergenza infrarossa, eliminata con effetti di interferenza la formula non è valida per k 0 3.d /dk dipende da E i /E f non esplicitamente dallenergia dellelettrone 4.dipende dal mezzo attraversato (Z 2 2 )

9 Rivelatori di Particelle9 Lezione 8 Perdita di energia di e ± La perdita di energia per Bremmstrahlung di un elettrone che attraversa del materiale è: k max =E i -mc 2 è la massima energia possibile del fotone. n a =numero di atomi per cm 3. N 0 è il numero di Avogadro A è il peso atomico è la densità del materiale

10 Rivelatori di Particelle10 Lezione 8 Perdita di energia di e ± La formula –dE/dx=E/X 0 è molto utile in quanto esplicita la dipendenza dellenergia della particella incidente (e) dalle proprietà del materiale attraversato contenute in X 0. Integrando otteniamo: E=E o e -x/Xo Questa funzione descrive lattenuazione esponenziale dellenergia degli elettroni per Bremsstrahlung. Dopo avere attraversato un tratto x=X 0 lenergia si e ridotta di un fattore 1/e. La X 0 di un composto può essere approssimata da: X 0 = 1/ i f i / X 0i ) Dove f i sono le frazioni in massa dei componenti con lunghezza di radiazione X 0i La lunghezza di radiazione è espressa in g/cm 2, ma dividendo per la densità si ottiene L R = lunghezza di radiazione in cm. Si trovano normalmente tabulate sia X 0 che L R. Ricordiamo che la perdita di energia è in realtà inversamente proporzionale alla massa al quadrato della particella incidente importante solo per elettroni ( e di alta energia). Nel definire la lunghezza di radiazione abbiamo considerato elettroni come particelle incidenti (r e 2 ). In ogni caso X 0 ed L R sono sempre tabulate per elettroni

11 Rivelatori di Particelle11 Lezione 8 Perdita di energia di e ± Energia critica. L energia critica E c è quellenergia alla quale le perdite per ionizzazione e bremmstrahlung sono uguali. dE/dx| coll = dE/dx| bremms per elettroni incidenti in liquidi o solidi E c =610/(Z+1.24) MeV. per elettroni incidenti in gas E c =710/(Z+0.92) MeV La differenza è dovuta ad un minore effetto densità nei gas che nei solidi o liquidi. Per un elettrone che attraversa un solido od un liquido lenergia critica è di qualche decina di MeV. Nel caso di un che attraversa un materiale (solido o liquido) lenergia critica scala come il rapporto delle masse al quadrato.

12 Rivelatori di Particelle12 Lezione 8 Perdita di energia di e ± energy loss (radiative + ionization) of electrons and protons in copper (Leo) Ricordiamo che si ha una probabilità non trascurabile di emettere di alta energia la distribuzione delle perdite di energia è molto larga.

13 Rivelatori di Particelle13 Lezione 8 Perdita di energia di e ± Annichilazione di e + Il destino finale dei positroni nella materia è lannichilazione con un e - Se l e - è legato al nucleo si può avere annichilazione in un solo, ma la è più bassa. La ann in 2 di un e + con energia nel laboratorio pari ad E è La è massima per =E/m 1. Il positrone prima perde energia e poi si annichila. NOTA: si puo anche formare il positronio che poi decade in (singoletto) monocromatico o in (tripletto)

14 Rivelatori di Particelle14 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei Per poter essere rivelati i devono prima creare una particella carica e/o trasferire energia alle particelle cariche. Le principali interazioni dei fotoni con la materia sono: Effetto fotoelettrico Effetto Compton Produzione di coppie Tutte queste interazioni sono di tipo elettromagnetico.

15 Rivelatori di Particelle15 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei Produzione di coppie Fotoelettrico Compton Rayleigh (cielo blu) } 1 MeV

16 Rivelatori di Particelle16 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei Per energie 500 KeV abbiamo solo effetto fotoelettrico Per energie > 50 MeV abbiamo solo produzione di coppie Per energie intermedie abbiamo effetto Compton A basse energie possiamo avere scattering coerente (Rayleigh). Il fotone interagisce con tutti gli elettroni atomici, senza eccitarli od ionizzarli (nessuna perdita di energia). È il responsabile del cielo blu

17 Rivelatori di Particelle17 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei Effetto fotoelettrico. L effetto fotoelettrico consiste nellassorbimento di un fotone da parte dellatomo intero. Lelettrone viene emesso con energia cinetica T=ħ -E b Con E b energia di legame dellatomo e ħ energia del fotone incidente. Per energie del fotone incidente poco sopra soglia lelettrone è emesso a 90 o rispetto alla direzione del fotone incidente. Crescendo lenergia langolo di emissione diminuisce; ma … scattering multiplo la direzione dell elettrone è random rispetto alla direzione del fotone incidente. Leffetto fotoelettrico è possibile solo nelle vicinanze del nucleo, non può avvenire per un elettrone libero.

18 Rivelatori di Particelle18 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei La sezione durto per basse energie è: (non relativistiche) Presenta dei picchi corrispondenti ai livelli atomici K,L,M… Se siamo sopra soglia vengono emessi preferibilmente elettroni dallo shell K. Ad alte energie la è:

19 Rivelatori di Particelle19 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei A basse energie decresce con ħ del fotone alla -7/2 fenomeno importante a bassa energia. Dipende dal materiale come Z 5 importante per la costruzione di rivelatori di fotoni (e.g. camere a Xenon). Per fotoni incidenti di bassa energia la dipendenza da Z è una complicata funzione di Z e comunque minore di Z 5. Ad esempio per energie 0.1 MeV E 5 MeV lesponente di Z varia fra 4 e 5. Per applicazioni delleffetto fotoelettrico in medicina vedi rivelatori- det4 diapositiva 6 (su lezioni estive 2003)

20 Rivelatori di Particelle20 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei Effetto Compton ( Effetto Compton ( Diffusione di un fotone incidente su un elettrone atomico) QED. ( Klein – Nishina) La sezione durto per lo scattering Compton è molto facile da calcolare in QED. ( Klein – Nishina) h k 0 h, k T, p h +mc 2 =h +T+mc 2 k 0 = k+p T=mc 2 [ 2 (1-cos )]/[1+ (1-cos )] ; =h /mc 2 Cot = (1+ )tg( /2)

21 Rivelatori di Particelle21 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei I diagrammi di Feynman da prendere in considerazione sono: Canale t, contributo di diffusione Canale s, contributo di assorbimento in out

22 Rivelatori di Particelle22 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei La differenziale, mediata sugli spin del fotone incidente è : La distribuzione in energia si ottiene eliminando e sostituendolo con h (sfruttando la conservazione dellenergia e dellimpulso): La sezione durto totale approssimata per alte energie è : valida per 1/(1+2 ) (h )/(h ) 1 Con th limite classico Ricordiamo che la sezione durto Thompson è il limite classico di diffusione di fotoni su elettroni liberi (valida a basse energie)

23 Rivelatori di Particelle23 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei Produzione di coppie. Lintenso campo elettrico vicino al nucleo permette al fotone di trasformarsi in e + ed e -. Lenergia di soglia è 2mc 2. La produzione di coppie può anche avvenire vicino ad un elettrone atomico. In questo caso lenergia di soglia è 4mc 2 e lelettrone di rinculo acquista un energia cinetica 3 tracce cariche. QED La trattazione in QED procede sulla falsariga del Bremsstrahlung

24 Rivelatori di Particelle24 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei ZiZi ZiZi f ZfZf e±e± e±e± e±e± e±e± ZiZi ZiZi f ZfZf e+e+ e-e- e+e+ e-e- Bremsstrahlung Prod. di coppie Diagrammi praticamente identici

25 Rivelatori di Particelle25 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei Nel caso di schermatura completa le sezioni durto sono: Bremss Coppie Con: w = E f /E i (elettrone); o = Z 2 r e 2 ; k = impulso del fotone w + = E + /k ; E + = energia del positrone w - = E - /k ; E - = energia dell elettrone

26 Rivelatori di Particelle26 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei Lanalogia dei due processi non è solo la similitudine dei diagrammi, ma si può vedere il processo inverso della produzione di coppie come un processo di Bremss di un e + che emette un fotone e cade in uno stato di energia negativa (e -, Dirac). Ottengo gli elementi di matrice da quelli del bremss per semplice sostituzione. Se il incidente ha impulso k e la coppia prodotta ha energia E + ed E - la schermatura è misurata usando il parametro: è simmetrica in w + e w - e decresce al crescere di k

27 Rivelatori di Particelle27 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei In caso di schermatura completa (~0) la espressa in funzione dellenergia cinetica del positrone e normalizzata a o è quasi uniforme I positroni sono prodotti con tutte le energie possibili gli e + ed e - della coppia non hanno la stessa energia. La dipende dal materiale come Z 2.(incluso nella o ) Ad alta energia e + ed e - tendono ad essere prodotti a piccolo angolo rispetto alla direzione di volo del. = mc 2 /E ( E = E + od E - )

28 Rivelatori di Particelle28 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei La sezione durto totale per produzione di coppie si ottiene integrando d /dE + su tutte le possibili energie dell e + e, nel caso di schermatura completa, è : Scartando 1/54 ed introducendo il materiale (A, N A ) ottengo:

29 Rivelatori di Particelle29 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei A causa del bremsstrahlung, un fascio di e ± di energia iniziale E 0, dopo un tratto x di materiale ha unenergia: E = E 0 e -x/Xo In un mezzo omogeneo di lunghezza di radiazione X 0, a causa della produzione di coppie, lintensità di un fascio monocromatico di, diminuisce dopo un tratto x di materiale come segue: I = I 0 e -(7/9)x/Xo

30 Rivelatori di Particelle30 Lezione 8 Interazioni dei Lezione 8 Interazioni dei Sia leffetto fotoelettrico, che quello Compton e la produzione di coppie sono dei processi distruttivi. Effetto fotoelettrico: assorbe ed emette e - Effetto Compton: cambia la dei ( trasferimento di energia al mezzo) Produzione di coppie: trasforma i in e + ed e -

31 Rivelatori di Particelle31 Ricordiamo le interazioni elettromagnetiche fondamentali Lezione 8 Sciami elettromagnetici e + / e - Ionisation Bremsstrahlung Photoelectric effect Effetto Compton Pair production E E dE/dx E E

32 Rivelatori di Particelle32 Lezione 8 Sciami elettromagnetici A questo punto e abbastanza facile capire cosa succede se si ha un fascio di e ± o di che attraversa del materiale. Electron shower in a cloud chamber with lead absorbers

33 Rivelatori di Particelle33 Lezione 8 Sciami elettromagnetici Semplice Modello qualitativo Consideriamo solo Bremsstrahlung e produzione di coppie. Assumiamo X 0 = pair =9/7X 0 E(t) < E c Il processo continua finché E(t) < E c Dopo t=t max I processi dominanti sono ionizzazione, Compton ed effetto fotoelettrico assorbimento

34 Rivelatori di Particelle34 Lezione 8 Sciami elettromagnetici Sviluppo longitudinale dello sciame Massimo dello sciame Contenimento longitudinale Le dimensioni longitudinali dello sciame crescono solo logaritmicamente con E 0

35 Rivelatori di Particelle35 Lezione 8 Sciami elettromagnetici Lo sviluppo trasversale dello sciame non e tanto dovuto agli angoli di emissione di od e ± (entrambi molto piccoli) quanto allo scattering multiplo. 95% dello sciame e in un cilindro di raggio 2R M 6 GeV/c e - (C. Fabjan, T. Ludlam, CERN-EP/82-37) Raggio di Molière Sviluppo longitudinale e trasversale dello sciame scalano con X 0, R M Example: E0 = 100 GeV in lead glass Ec=11.8 MeV tmax 13, t95% 23 X0 2 cm, RM = 1.8·X0 3.6 cm 46 cm 8 cm

36 Rivelatori di Particelle36 Lezione 8 Sciami elettromagnetici Risoluzione in energia Risoluzione in energia Per misurare lenergia si contano le tracce cariche La risoluzione relativa in energia migliora crescendo E 0 Anche la risoluzione spaziale ed angolare scalano con E -1/2

37 Rivelatori di Particelle37 Lezione 8 Interazioni nucleari (forti) Linterazione di adroni energetici (carichi o neutri) è determinata da processi nucleari anelastici. Rottura del nucleo frammenti nucleari + produzione di particelle secondarie. Ad alte energie (>qualche GeV) la sezione durto anelastica dipende poco dallenergia e dal tipo di particella incidente (p,, k….). In analogia a X 0 possiamo definire una lunghezza di assorbimento Ed una lunghezza di interazione multiplicity ln(E) p t 0.35 GeV/c p,n,,K,… inel 0 A mb a = A/(N A inel ) A ¼ poiché inel 0 A 0.7 I = A/(N A total ) A ¼

38 Rivelatori di Particelle38 Lezione 8 Interazioni nucleari (forti)

39 Rivelatori di Particelle39 Lezione 8 Interazioni nucleari (forti) Per Z>6 a > X 0 X0X0 a X 0, a [cm] a and X 0 in cm Z

40 Rivelatori di Particelle40 Lezione 8 Interazioni nucleari (forti) Cascate adroniche Molti processi coinvolti molto più complicate che gli sciami e.m. P T ~ 350 MeV sciami adronici molto più larghi di quelli e.m. (95% in un cilindro di raggio I ) (Grupen)

41 Rivelatori di Particelle41 Lezione 8 Interazioni nucleari (forti) Larghe fluttuazioni dellenergia risoluzione in energia limitata neutral pions 2 electromagnetic cascade charged pions, protons, kaons …. Breaking up of nuclei (binding energy), neutrons, neutrinos, soft s muons …. invisible energy example 100 GeV: n( 0 ) 18 Adronica + Componente e.m.

42 Rivelatori di Particelle42 Lezione 8 Interazioni nucleari (forti) Sviluppo longitudinale dello sciame Ferro: a = 9.4, b=39 a =16.7 cm E =100 GeV t 95% 80 cm (C. Fabjan, T. Ludlam, CERN-EP/82-37)

43 Rivelatori di Particelle43 Lezione 8 Interazioni nucleari (forti) Trasversalmente lo sciame consiste in un nocciolo + un alone. Il 95% e contenuto in un cilindro di raggio I. Gli sciami adronici sono molto più lunghi e più larghi di quelli elettromagnetici

44 Rivelatori di Particelle44 Lezione 8 Conclusioni Abbiamo accennato a tutti i processi e.m. o forti che avvengono quando una particella carica (o no) attraversa la materia (escludendo il neutrino), tutti processi utili per costruire i rivelatori. Da un punto di vista puramente strumentale possiamo suddividere i processi in non distruttivi e distruttivi: Distruttivi: produzione di sciami elettromagnetici e adronici. Questi processi sono utili per misurare lenergia della particella (e ±, calorimetri elettromagnetici); (adroni e calorimetri adronici). È ovvio che la parte distruttiva dellapparato sperimentale deve stare alla fine del rivelatore. Non distruttivi: oPerdita di energia per collisione (Bethe-Block) (misuro il o il della particella carica). oEffetto Čerenkov (misuro il della particella carica). oRadiazione di transizione ( misuro il della particella carica). Tutti e tre i processi non distruttivi possono essere usati per identificare la particella, ed il primo (perdita di energia per collisione) è più spesso usato per misurare la posizione della particella carica


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