La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Elettromagnetismo per la Trasmissione dellInformazione Prof. Marco Farina Dipartimento di Bioingegneria, Elettronica e Telecomunicazioni.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Elettromagnetismo per la Trasmissione dellInformazione Prof. Marco Farina Dipartimento di Bioingegneria, Elettronica e Telecomunicazioni."— Transcript della presentazione:

1 Elettromagnetismo per la Trasmissione dellInformazione Prof. Marco Farina Dipartimento di Bioingegneria, Elettronica e Telecomunicazioni

2 Modalità Esami Prova scritta Auto-correzione Prova orale

3 Testi consigliati Ramo-Whinnery-Van Duzer: Campi e Onde nellelettronica delle Telecomunicazioni R. Feynman, La Fisica di Feynman, vol 2: Elettromagnetismo e Materia, Zanichelli

4 Un po di storia... n William Gilbert ( ): De Magnete; la terrella; distinzione fenomeni elettrici e magnetici; n Otto Von Guericke ( ): ingegnere; studi sul vuoto; primo generatore con sfera di zolfo n Stephen Gray ( ): conduttori ed isolanti n Charles Dufay ( ): chimico; elettricità vetrosa e resinosa n Pieter Van Musschenbroek ( ) di Leida: fisico; il primo condensatore n John Canton ( ): induzione elettrica n Benjamin Franklin ( ): tipografo, giornalista, inventore, politico… Conservazione della carica, proprietà dei corpi appuntiti n Charles Augustine de Coulomb ( ): ingegnere; legge quantitativa

5 Un po di storia... n Henry Cavendish ( ): più famoso per contributi in chimica; analogo di Coulomb, e studi su capacità di condensatori di forme diverse (definizione di capacità) n Joseph Louis Lagrange ( ): il concetto di potenziale n Pierre Simon De Laplace ( ) n Siméon Denis Poisson ( ) n George Green ( ) n Carl Friederich Gauss ( ) n Alessandro Volta ( ): elettroforo, elettrometro, eudiometro, pila… n Hans Christian Oersted ( ): effetti magnetici delle correnti n André-Marie Ampère ( ): leggi dellazione meccanica tra correnti elettriche n Michael Faraday ( ): attività colossale (leghe dellacciaio, rotazioni elettromagnetiche, liquefazione dei gas, vetri ottici, scoperta del benzene, induzione elettromagnetica, decomposizione elettrochimica, scariche nei gas, benzene, elettricità e magnetismo, diamagnetismo…. Il più grande fisico sperimentale del XIX secolo

6 Un po di storia... n James Clerk Maxwell ( ):teoria dellelettromagnetismo (Treatise on electricity and Magnetism), termodinamica e meccanica statistica. Maxwell intuì che la luce era una manifestazione del campo elettromagnetico Da una lettera di Faraday a Maxwell nel 1857:...Cè qualcosa che mi piacerebbe chiederle. Quando un matematico impegnato sulla ricerca delle azioni e sugli effetti fisici è giunto alle sue conclusioni, non è possibile che queste ultime siano esposte nel linguaggio di tutti i giorni, con la pienezza, chiarezza e precisione che esse hanno nelle formule matematiche? E, in caso affermativo, il farlo non sarebbe un gran dono verso uno come me? Tradurle dal linguaggio dei geroglifici in cui sono espresse, così che anche uno come me vi possa lavorar su per mezzo di esperimenti…. n Heinrich Hertz ( ):Generazione/rivelazione onde EM: prove della teoria di Maxwell

7 Struttura dellatomo Negli anni 30 J.J. Thomson, Ernest Rutherford, Niels Bohr e James Chadwick sviluppano il modello di tipo planetario, con un nucleo di protoni e neutroni circondato di una nube di elettroni Z = numero atomico A = numero di massa Nel Nucleo: Z protoni A – Z neutroni Z elettroni esterni m m

8 Struttura dellatomo …non prendete troppo sul serio lidea planetaria... …nessuna possibilità di trovarci sopra dei lillipuziani... Del resto: perché un elettrone non cade nel nucleo? Non cè spiegazione nella meccanica classica La spiegazione è nel principio di indeterminazione della meccanica quantistica, che stabilisce che alcune quantità (coniugate) non sono misurabili simultaneamente con precisione arbitraria; lincertezza nella misura di grandezze coniugate è tale che il loro prodotto non può essere migliore di una costante (legata alla costante di Plank) (a meno di qualche fattore 2 e …) Se elettrone e protone in un atomo di idrogeno finissero lun laltro, la quantità di moto tenderebbe a crescere fino ad infinito: il raggio dellidrogeno è un compromesso tra la forza attrattiva e lenergia cinetica imposta dal principio di indeterminazione

9 Struttura dellatomo supponete che a sia il raggio dellatomo la quantità di moto sarebbe dellordine e lenergia cinetica La forza elettrica attrattiva darà allelettrone unenergia potenziale Lenergia totale è la somma dei due: vediamo a che distanza a lenergia è minimizzata raggio di Bohr….

10 Struttura dellatomo Negli anni 50 Reines e Cowan dimostrano lesistenza di un ulteriore tipo di particella, predetta da Wolfgang Pauli negli anni 30: il Neutrino Alla fine degli anni 30 nei raggi cosmici si identifica un cugino pesante dellelettrone, il Muone (200 volte più pesante, per il resto identico allelettrone) e più tardi, negli accelleratore di particelle, un altro cugino, Tau Nelle collisioni ad altissime energie, volte riprodurre condizioni successive al Big Bang, si identificano due parenti del neutrino, denominati muon-neutrino e tau-neutrino Neutrini, muoni e tau non sono costituenti della materia, e quelli ottenuti negli accelleratori sono di solito particelle effimere.

11 Struttura dellatomo Nel 68 a Stanford si scopre che protoni e neutroni NON sono fondamentali: essi sono composti da combinazioni di QUARK (QUestion mARK) denominati SU e GIU (Up/Down), che hanno carica elettrica +2/3 e -1/3 rispetto alla carica dellelettrone rispettivamente ci sono 2 UP ed 1 Down in un protone e viceversa in un neutrone Particelle non elementari composte da combinazioni di Quark vengono anche definiti Adroni, che si distinguono dai Leptoni (elettrone, muone, tau) che non hanno altri costituenti e non sono sensibili alla Forza Forte

12 Zoologia delle particelle Particelle elementari (Fermioni) +antiparticelle (identiche con carica opposta)

13 Combinazioni di Quark danno origine a: - Barioni, composti da 3 quark (come neutrone e protone) - Barioni esotici (4, 5 quark) - Mesoni (quark+anti-quark): pioni, kaoni….. Zoologia delle particelle

14 Le Forze Ad oggi tutte le interazioni sembrano ricondursi a 4 forze fondamentali n Interazione Elettromagnetica n Interazione Gravitazionale n Interazione Nucleare Forte n Interazione Nucleare Debole

15 Le Forze e i quanti Cera un tempo in cui i giornali scrivevano che solo 20 persone avevano capito la teoria della relatività. Non credo che tale tempo sia mai esistito. Potrebbe essere esistito un tempo in cui un solo uomo laveva capita perché lunico a concepirla, prima di scrivere il suo articolo. Ma dopo aver letto larticolo molti capirono la teoria della relatività, in un modo o nellaltro, sicuramente più di venti. Daltro canto posso affermare con sicurezza che nessuno capisce la meccanica quantistica Richard Feynman

16 Il paradosso alla fine del 1800 n Data una cavità metallica, si valutano le soluzioni dellinsieme equazioni di Maxwell+condizioni al contorno Si verifica che solo un numero discreto di modi sono possibili, ovvero onde che hanno in ciascuna direzione un numero donda pari ad un multiplo discreto di /L, se L è la dimensione in tale direzione della cavità n Tuttavia il numero di modi possibili, sebbene discreto, è infinito n Luso della termodinamica classica (Rayleigh e Jeans) portava a prevedere che, ad una data temperatura, tutti i modi venissero eccitati con la stessa ampiezza: lenergia totale del sistema (integrale su tutti i modi)=infinito!

17 Lipotesi di Planck n Energia fornita per pacchetti interi (quanti) n Lenergia minima di unonda è proporzionale alla frequenza dellonda stessa Nella cavità alcuni modi avranno minima energia associata (il pacchetto più piccolo) troppo elevata per essere eccitati: ad una data temperatura solo un numero finito di modi è eccitato!

18 Lipotesi di Planck: applicazione alla radiazione di corpo nero n Occorreva solo stabilire sperimentalmente la costante di proporzionalità: la costante di Planck: h ~ Js Con laggiustamento di un solo parametro si aveva un accordo perfetto con lesperimento: premio Nobel 1918 Legge di Planck Legge di Rayleigh- Jeans

19 Effetto Fotoelettrico n Un metallo colpito da luce, può emettere elettroni n Se si aumenta lintensità della luce, non aumenta lenergia cinetica degli elettroni, ma il numero di elettroni emessi n Se si aumenta la frequenza della luce incidente, aumenta lenergia cinetica degli elettroni Spiegazione (Einstein; 1905): la luce ha natura corpuscolare (fotoni) che hanno energia E=h f

20 Quindi corpuscoli o onde ? Credits: Dr. Tonomura Come reinterpretare i fenomeni luminosi in termini corpuscolari: Feynman

21 Tornando alle interazioni I fotoni sono i quanti o i mediatori (particelle) delle forze elettriche (elettromagnetiche); quali per le altre forze? Il nostro corso

22 Esistono fattori comuni? n Molti fisici teorici sono alla ricerca di una TOE (Theory Of Everything) cercando una spiegazione comune a tanta varietà di particelle n Apparentemente gravità e le altre interazioni sottostanno a leggi inconciliabili (relatività generale e meccanica quantistica) n Le due teorie più promettenti sono quelle dei Twistors (Roger Penrose, 1970) e quella delle Stringhe ( circa) n Nel 2003 Edward Witten ha collegato le due teorie, e in gennaio 2005, ad Oxford, la prima conferenza dedicata alla convergenza delle due teorie… Morale: Non tutto ciò che studiate è assodato, statico, immutabile! Da ingegneri, applicherete concetti che sono consolidati da un punto di vista operativo; concetti classici (equazioni di Maxwell) o quantistici (dispositivi, laser); senso critico!

23 Carica elettrica n La carica elettrica (q) è la proprietà delle particelle sensibili alla forza (interazione) elettromagnetica, così come la massa (o carica) gravitazionale (m) è la proprietà delle particelle sensibili alla forza gravitazionale) n La carica di una particella non dipende dal suo stato di moto: essa è uno scalare invariante, indipendente dal sistema di riferimento in cui viene misurata (principio di invarianza della carica elettrica) n La carica elettrica elementare è quella dellelettrone (e): scoperta da JJ Thomson nel 1897, fu misurata da R. Millikan tra il 1909 e il 1917

24 Quantizzazione della carica n La carica elettrica osservata sperimentalmente è sempre un multiplo intero (positivo o negativo) di e n I quark (carica frazionaria) non compaiono mai da soli (principio di schiavitù asintotica) ma in combinazioni che consentono di non violare tale regola

25 Neutralità della carica In un sistema isolato la somma algebrica delle cariche elettriche è costante Benjamin Franklin [ ] La materia è macroscopicamente neutra A livello atomico le forze di attrazione tra cariche opposte sono formidabili

26 Quantificazione interazione tra cariche Charles Augustin de Coulomb [ ] n Legge di Coulomb (1785) q1 q2 r urur Nel vuoto

27 Legge di Coulomb q1 q2 r-rr-r O r r n Se lorigine non coincide con una delle due particelle Nota: permettività o permeabilità elettrica nel vuoto

28 Pensate ad una forza simile alla gravitazione […] ma che sia allincirca un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di volte più forte.[…] tutta la materia è una miscela di protoni positivi ed elettroni negativi che si attirano e si respingono con questa gran forza. Tuttavia la compensazione è così perfetta che stando accanto ad unaltra persona voi non risentite alcuna forza. Eppure se ci fosse anche un piccolo difetto nella composizione ve ne accorgereste subito. Se vi trovaste ad un metro di distanza da un altro ed ambedue aveste lun per cento di elettroni in più che di protoni, la forza di repulsione sarebbe incredibile. Quanto grande? Sufficiente per sollevare lEmpire State Building? No! Per sollevare il monte Everest? No! La repulsione sarebbe abbastanza grande per sollevare un peso uguale a quello della Terra! Richard P. Feynman

29 Forze in un sistema di cariche Sovrapposizione degli effetti q q 1 q 2 q 3 q 4 F 1 F 2 F 3 F 4 F q = F F 1 F 2 F 3 F 4

30 Distribuzioni continue di carica Il numero di cariche solitamente coinvolte nei fenomeni elettromagnetici è così alto che ha senso considerare campi generati da distribuzioni continue La forza su q 0 dovuta allelemento infinitesimo di carica dq vale q0q0 dqdq r-rr-r O r r

31 Densità di carica in un volume Carica totale distribuita nel volume V dVdV Volume V dq Carica Q dq = (r ) dV Integrale di difficoltà enorme!

32 Densità Superficiale di carica Densità superficiale di carica Carica Q Superficie S dSdq Carica totale sulla superficie

33 Densità Lineare di carica Densità lineare di carica Carica totale sul filo

34 Intensità del campo elettrico Nel vuoto E E Linee di Campo + F q E q +q F q E

35 In presenza di materiale dielettrico - + E -+ E Il campo elettrico allinterno di un dielettrico sarà la sovrapposizione del campo esterno e di quello indotto dalle cariche di polarizzazione: il dielettrico agisce quindi riducendo lintensità del campo. Il fattore di riduzione di tale intensità è la costante dielettrica relativa r

36 In presenza di materiale Definiamo una quantità che non dipende dal mezzo: il vettore Spostamento Elettrico o Densità di Flusso Elettrico [C/m 2 ] Per una carica puntiforme: Nota: questa espressione è vera se il materiale è lineare, cioè se la carica indotta e quindi il campo di polarizzazione è proporzionale al campo che induce la polarizzazione. Se non lineare, dipende da E

37 Legge di Gauss in forma integrale n La carica netta totale racchiusa richiede sia le cariche libere che quelle indotte, nel caso ci sia un materiale nel volume racchiuso dalla superficie di Gauss n Non importa la posizione delle cariche (purché distinguiamo quelle interne da quelle esterne alla superficie) n Il campo che compare è quello totale, cioè anche dovuto ad eventuali cariche esterne n però una carica esterna non altera il flusso totale (tanto ne entra quanto ne esce) n La legge di Gauss è una forma alternativa della legge di Coulomb: consente di sfruttare le simmetrie, ed è valida anche per cariche in moto

38 Legge di Gauss per D n Con D dobbiamo considerare solo la carica libera, visto che le cariche indotte in eventuali materiali sono contenute nella definizione di D n Legge di Gauss in forma Integrale

39 Distribuzione di carica coassiale Si supponga di avere un cavo coassiale infinitamente lungo, in cui il cilindro interno è uniformemente carico, con densità lineare di carica. Lo spazio tra i due cilindri è riempito da un mezzo con costante dielettrica. Si calcoli il campo tra i due conduttori. n Si applica Gauss ad superficie cilindrica intermedia r di lunghezza l; il campo elettrico è solo radiale a b r D n Stesso risultato in assenza di conduttore esterno

40 Teorema di Gauss in forma differenziale x y z n=xn=-x E E dx dy dv

41 Teorema della Divergenza n Integriamo a destra e a sinistra il teorema di Gauss in forma differenziale n Confrontiamo con il teorema di Gauss in forma integrale e otteniamo

42 Nota n Con gli operatori differenziali descriviamo ciò che succede in un punto: se in un certo punto la densità di carica è zero, in quel punto la divergenza è nulla n Loperatore divergenza è lespressione del flusso attraverso una superficie chiusa infinitesima: quanto più il campo diverge da quel punto, tanto maggiore è la densità di carica, sorgente del campo, in tale punto

43 Potenziale n Per un campo conservativo è sempre possibile definire un POTENZIALE, ovvero una grandezza che dipende solo dalla posizione nello spazio n Se esiste una ddp tra due punti, siamo in presenza di un campo n si misura in Volt [V]=[J/C]; nota che E è misurato in N/C cioè V/m

44 Superfici Equipotenziali n Sono definiti come luogo dei punti a potenziale costante n sono sempre ortogonali alle linee di forza Campo uniforme Carica puntiforme dipolo

45 Il concetto di Gradiente n Calcoliamo il prodotto scalare di E ed elemento infinitesimo di spostamento, per esempio lungo x n Il campo elettrico diviene funzione di uno scalare!! dxdx E Ex

46 Promemoria Fin qui abbiamo definito due operatori differenziali: n La Divergenza (indicata con Div oppure) u essa associa ad un campo vettoriale una funzione scalare n Il gradiente (indicato con Grad oppurenabla) u essa associa ad una funzione scalare un campo vettoriale

47 Promemoria Notate come il simbolo della divergenza sia molto informativo: Nel calcolarefacciamo effettivamente un prodotto scalare tra loperatore gradiente ed il campo: infatti il gradiente è una sorta di vettore speciale (un operatore appunto…) che ha bisogno di avere qualcosa alla sua destra su cui operare: ha tre componenti che sono in realtà derivate

48 Alcune note n Gli operatori differenziali che abbiamo introdotto, sono stati scritti in coordinate rettangolari (x,y,z) n Essi assumono forme diverse nei diversi sistemi di riferimento (cilindrico, sferico ecc.) n In generale li trovate tabellati, da usare alloccorrenza, o ve li fate spiegare da un professore di analisi n Gli operatori sono potenti strumenti matematici, con unalgebra simile a quella delle matrici

49 Potenziale per una carica puntiforme n Hanno senso solo differenze di potenziale n Uno dei due potenziali è preso come riferimento n In questo caso un riferimento comodo è B allinfinito

50 Calcolo del campo di un dipolo usando i potenziali n Se vogliamo il campo elettrico in coordinate sferiche (come determinato in una precedente lezione) occorre calcolare il Grad(V) in coordinate sferiche

51 Campo Elettrico del dipolo a partire dal potenziale Il gradiente in coordinate sferiche è (come da appendice Ramo-Whinnery) Poiché V non dipende da Quanto avevamo ottenuto in precedenza…... Nota: mentre il campo elettrico di una carica decresce con r come r -2, il dipolo, a causa della seconda carica ha campo che decresce come r -3

52 Potenziale di una distribuzione continua di cariche Distribuzione di cariche V P r r r-r dV

53 Lapprossimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche n Distribuzione arbitraria di cariche: il potenziale in P in prima approssimazione, a grande distanza: P r r riri didi n Ma se ci sono cariche positive e negative in ugual quantità? Lapprossimazione è chiaramente insufficiente

54 Lapprossimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche P r r riri didi n Per cui il potenziale diventa n Approssimiamo meglio r i

55 Lapprossimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche n Se definiamo momento di dipolo per una distribuzione di cariche n Vediamo che il secondo termine dellespansione è n Cioè esattamente il potenziale di dipolo calcolato nella scorsa lezione n Questo è importante in quanto stabilisce che qualunque distribuzione di cariche, globalmente neutra, ad una certa distanza ha un potenziale (e quindi un campo) che dipende dal momento di dipolo

56 Esempio: approssimazioni a grande distanza n Supponiamo di avere una distribuzione di cariche piuttosto complicata: Q 1 = 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m Q 2 = 3nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m Q 3 = 12nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m Q 4 = 8nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m n Qual è il potenziale in P (3,0,4) m? P

57 Esempio: approssimazioni a grande distanza n Le cariche sono tutte vicine allorigine, da cui P dista circa 5m n Sappiamo quindi che il risultato sarà con buona approssimazione n Se avessimo fatto il conto in modo esatto avremmo ottenuto n ….la distanza in questo caso non è poi così grande...

58 Esempio2: approssimazioni a grande distanza n Modifichiamo lievemente i dati (le cariche) del problema precedente: Q 1 = 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m Q 2 = 5nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m Q 3 = -4nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m Q 4 = -2nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m n Qual è il potenziale in P(3,0,4) m? P

59 Esempio 2: approssimazioni a grande distanza n Le cariche sono ancora tutte vicine allorigine, da cui P dista circa 5m n Però se calcoliamo come prima n Ovvero lapprossimazione è insufficiente: conta il contributo di dipolo (che sappiamo decrescere come r 2 ) n Calcoliamo il termine di dipolo:

60 Esempio 2: approssimazioni a grande distanza n Se avessimo calcolato in modo rigoroso avremmo ottenuto

61 Metodo delle Immagini n Se sostituiamo una superficie equipotenziale con una superficie conduttrice (o un conduttore pieno) avente il corretto potenziale, il campo rimane identico! n IDEA: studiare i campi di distribuzioni di cariche in prossimità di conduttori rimpiazzando i conduttori con distribuzioni di carica appropriate, o viceversa, a seconda della difficoltà del problema

62 Metodo delle Immagini n Tale procedura, ovvero sostituire ad un problema, un problema equivalente più semplice, è molto generale. Più avanti affronteremo il problema da un punto di vista matematico ( unicità di una soluzione di un sistema di equazioni integro-differenziali con condizioni al contorno) n Ovviamente il problema è equivalente per tutto quanto è al di fuori del conduttore equivalente n Il caso più semplice: un conduttore piano a potenziale zero (massa) in prossimità di una carica. Basta sostituire con un dipolo.

63 Carica in prossimità di un piano conduttore n Il campo dovuto alla carica sola è n Sul piano, il campo è tutto ortogonale, con direzione -x, e la componente di r lungo x di r è -a, ovvero P r n Aggiungiamo leffetto della carica immagine raddoppiando il campo a

64 Carica in prossimità di un piano conduttore n La densità di carica indotta (Gauss) è Notate che, se integriamo su tutto il piano (nota: ( ) individuano un punto in coordinate polari) P a r n Come deve essere. La forza che subisce la carica è ovviamente (forza tra due cariche uguali e opposte…) Lo stesso risultato poteva essere ottenuto integrando i contributi di forza dovuti a (molto più laborioso!!)

65 ATTENZIONE n Lequivalenza è valida solo per la regione al di fuori del conduttore equivalente: es. appello luglio 2007 n Flusso attraverso la sfera? NON E ZERO come potreste immaginare mettendo la carica immagine n Usiamo il teorema della immagini per calcolare la carica sul piano n Integrata nel cerchio di 1 m n Quindi per Gauss:

66 Equazione di Poisson Se il mezzo è omogeneo (costante dielettrica indipendente dalla posizione) In assenza di cariche (eq. Di Laplace) Teorema di Gauss +Conservatività campo elettrostatico

67 Esercizio Data una carica q posta nellorigine, verificare che tutti i punti a distanza r verificano lequazione di Laplace z x y q r

68 Esercizio (Continuo)

69 Come risolvere le equazioni di Laplace e Poisson? Digressione sui numeri complessi n Una variabile complessa è definita da una coppia di variabili reali Z=x+jy essendo j=(-1) 1/2 Gerolamo Cardano [ ] n Le coppie individuano un piano complesso o piano di Gauss n In coordinate polari n Possiamo definire una funzione complessa di variabile complessa:

70 Digressione sui numeri complessi n La derivata di una tale funzione è definita dal limite del rapporto incrementale n Una funzione complessa è analitica (o regolare) se tale limite esiste ed è unico n Condizione necessaria, è che il risultato che si ha derivando lungo dx o lungo jdy sia lo stesso, ovvero n Uguagliando parte reale ed immaginaria si ha Condizioni di Cauchy-Riemann In realtà tali condizioni risultano anche sufficienti

71 Funzioni analitiche e potenziali n Derivando la prima delle condizioni di CR rispetto a x, la seconda rispetto ad y e sommando si ha n cioè lequazione di Laplace in 2 dimensioni n Analogamente, invertendo lordine della derivazione si ottiene n Quindi parte reale e parte immaginaria di una funzione analitica possono essere usate come funzioni di potenziale in problemi 2D n Non solo: se per esempio u è usato come potenziale ( e quindi u=cost individua superfici -anzi curve- equipotenziali), v=cost individua curve perpendicolari proporzionali al flusso n Quindi: fissate delle condizioni al contorno per il potenziale, se troviamo una funzione analitica la cui parte reale (o immag) le soddisfa, abbiamo il potenziale e quindi il campo dappertutto!

72 Esempio n Una funzione analitica n Se tracciamo per esempio su mathcad la parte immaginaria, al variare della costante n otteniamo n Che sono le mappe di campo in prossimità di una lamina di metallo sottile. La parte reale infatti rappresenta le superfici equipotenziali Potenziale nullo

73 Esempio n Se quindi assumiamo che la parte reale è il potenziale per la lamina, possiamo calcolare n Ex in particolare è la componente di campo ortogonale allo spigolo della lamina: sappiamo che i campi ortogonali agli spigoli tendono ad infinito n Se calcoliamo la prima derivata, vedremo che in x=0, per r 0 il campo tende ad infinito come r -1/2 n Quindi abbiamo anche uninformazione quantitativa della singolarità di campo in prossimità di uno spigolo a lama di coltello: diremo che lordine della singolarità è -1/2 In modo analogo (trovando opportune funzioni analitiche che siano in grado di soddisfare le condizioni al contorno) si possono calcolare gli andamenti di campo in prossimità di spigoli diversi. In generale si ottiene che per uno spigolo metallico con angolo il campo tende ad infinito come r con = /(2 - )-1

74 I potenziali governati dalleq. Di Poisson (o da Laplace) in regioni con dati potenziali al contorno sono unici Dimostrazione per assurdo (Laplace): siano 1 e 2 soluzioni Contorno: =0 Applichiamo il th.della divergenza a Introduciamo lidentità: Unicità soluzioni Eq. Poisson

75 Primo integrale nullo per eq Laplace Ultimo integrale nullo per ipotesi =0 sul contorno reale Gradiente reale Quadrato >=0 Integrale nullo argomento nullo Condizione al contorno costante nulla

76 Sovrapposizione degli Effetti Dividere un problema in più problemi più semplici Combinare le soluzioni per ottenere la risposta:LINEARITA EQ. LAPLACE E POISSON

77 Metodi analitici per risolvere le equazioni di Laplace/Poisson: separazione delle variabili Proviamo a cercare

78 Osservazioni Nota: per kx=jky=0 la soluzione è n Quali soluzioni usare? Dipende dalle condizioni al contorno n La prima è periodica in y, la seconda in x n Contorni allinfinito: sostituire f. iperboliche con esponenziali reali n Le costanti di separazione vengono fuori dallimposizione delle condizioni al contorno n Le soluzioni dellequazione di Laplace si definiscono Armoniche n Una sola armonica può non essere sufficiente a soddisfare una o più delle condizioni al contorno: in tal caso si cerca la soluzione per serie di armoniche

79 x y a b =0 =Vo Scegliamo soluzioni sinusoidali in y, perché consentono di avere zero in y=0 ed in y=b Il potenziale per x=0 è nullo:A=0 Il potenziale per y=0 è nullo:C=0 Il potenziale per y=b è nullo: kb=n Un solo termine non può soddisfare la condizione in x=a Esempio n Un caso bidimensionale con potenziale 0 su 3 lati, e fissato su un quarto

80 Esempio (Cont.) I coefficienti si determinano imponendo la condizione al contorno restante (x=a) E unespansione in serie di Fourier

81 Esempio (Cont.)

82 Serie di Fourier: (richiamo) Funzioni periodiche di periodo T: T Il th. di Fourier asserisce che è possibile sostituire ad f una serie di seni e coseni di periodo multiplo di T Coefficienti: usiamo ortogonalità sinusoidi, ovvero Lintegrale del prodotto di due sinusoidi qualsiasi a diversa frequenza, nel quale siano commensurabili, è zero

83 Moltiplicando ciascun termine della sommatoria per cos(n t) ed integrando tra 0 e 2, tutti i termini a destra si annullano tranne a n a 0 media di f nel periodo Serie di Fourier: (richiamo) ortogonalità

84 Metodi numerici: differenze finite n Una tecnica di discretizzazione molto diffusa: discretizzare: sostituire a equazioni differenziali/integrali, equazioni algebriche n Costruiamo una griglia di punti, ed in alcuni dei punti il potenziale sia assegnato (condizioni al contorno). Siano i quadretti distanziati h n Possiamo espandere in serie di Taylor il potenziale in un intorno del punto (x,y) n Combinando le due si ottiene

85 Metodi numerici: differenze finite Per ogni punto della griglia (x 0,y 0 ) possiamo rimpiazzare lequazione differenziale con il suo equivalente alle differenze finite: in esse non compaiono più derivate ma solo (x 0,y 0 ), che divengono le incognite di un sistema ad n incognite ed n equazioni, n è il numero di punti considerato (x 0,y 0 ) (x 0 +h,y 0 ) n Sul sito due file Excel (versionebase e avanzata - con un metodo più veloce -) che implementano questultima strategiahttp://www.av8n.com/physics/laplace.htmlbaseavanzata n Un modo approssimato: notate che, dato un punto ed i 4 confinanti, leq di Laplace è soddisfatta se il punto centrale ha un potenziale pari alla media dei punti confinanti

86 Metodi numerici: differenze finite n Esempio: appello del 31 Luglio 2007 n Calcolare con le differenze finite il potenziale nei punti P1, P2... n Supponiamo P2=P3=P4=0: calcoliamo P1 come media ( )/4=2.25V n Aggiorniamo P2 di conseguenza ( )/4=1.813V n Ora Aggiorniamo P4 ( )/4=2.453V n P3 ( )/4=4.176 n Torniamo a P1 (7+2+P2+P3)/4=3.747: diverso dal valore precedente: iteriamo n Dopo qualche iterazione i risultati si stabilizzano P1: (7+2+P2+P3)/4=4.36 P2: (P1+2+3+P4)/4=3.364 P4: (P3+P2+3+5)/4=4.117 P3: (7+P1+P4+5)/4=5.119


Scaricare ppt "Elettromagnetismo per la Trasmissione dellInformazione Prof. Marco Farina Dipartimento di Bioingegneria, Elettronica e Telecomunicazioni."

Presentazioni simili


Annunci Google