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Quattordicesima Lezione Le Equazioni di Maxwell nel dominio dei fasori, polarizzazione onde piane, onde piane in direzione arbitraria, onde em in buoni.

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1 Quattordicesima Lezione Le Equazioni di Maxwell nel dominio dei fasori, polarizzazione onde piane, onde piane in direzione arbitraria, onde em in buoni conduttori

2 Riassunto della lezione precedente n Teorema di Poynting: relazioni energetiche n Condizioni al contorno per equazioni di Maxwell n Teorema di unicità per problemi interni

3 Regime permanente armonico Immaginiamo un semplice circuito LR, con un generatore di corrente n Vogliamo calcolare la tensione misurata ai capi del generatore L R i VRVR VLVL V?V?

4 Regime permanente armonico Legge di K. alle Maglie: n quindi L R i VRVR VLVL V?V? La corrente che scorre è sempre i data (Legge di K. per le correnti), per cui: Legge di Ohm Relazione per gli induttori n In generale, per un circuito lineare, a sorgenti armoniche corrisponderanno risposte armoniche con la stessa frequenza, con fasi diverse

5 Regime permanente armonico: i fasori Un espediente utile: luguaglianza di Eulero n oppure n Allora potremo scrivere, per esempio n REGOLA 1: In pratica, invece delle funzioni armoniche, useremo la parte reale dellesponenziale complesso n Il vantaggio: integrazioni e differenziazioni banali, e le equazioni integrodifferenziali nel tempo che descrivono circuiti con memoria, divengono algebriche n Di fatto, useremo nei conti tutto lesponenziale, recuperando la parte reale solo alla fine

6 Regime permanente armonico: i fasori infatti Notiamo che in qualunque operazione ci ritroviamo exp(j t) a fattore: perché non sottintenderlo? Questa sarà la nostra REGOLA 2: sottintendiamo lesponenziale nel tempo (così il tempo non compare più da nessuna parte esplicitamente) n Quel che rimane, lo chiamiamo Fasore ed è generalmente un numero complesso: per esempio Il fasore corrispondente a Acos( t) è A Quindi, quando rivogliamo la grandezza nel tempo, moltiplichiamo il fasore per exp(j t) e prendiamo la parte reale del risultato. Vediamolo per il nostro semplicissimo esempio Il fasore corrispondente a Asin( t) è

7 Regime permanente armonico: i fasori In termini fasoriali la corrente che scorre nel circuito è semplicemente i 0 e n … il cappelletto solo per ricordare che sto usando il trucco dei fasori e che le quantità possono essere complesse. n Se vogliamo recuperare lespressione nel tempo? Semplice! n Quindi

8 Equazioni di Maxwell in regime armonico permanente Basta rimpiazzare le derivate nel tempo con prodotti per j Lequazione di Helmholtz La quantità /c si definisce numero donda, e si indica con k; si definisce anche un vettore donda, come un vettore di modulo k e direzione corrispondente al vettore di Poynting Diventa (nota, non usiamo il cappelletto per semplificare le notazioni…)

9 Onde piane in regime armonico permanente n Vediamo di nuovo il caso dellonda piana: immaginiamo di avere un campo elettrico tutto in x e che dipende solo dalla coordinata z x z n Lequazione donda per il campo elettrico diventa semplicemente n La soluzione è una combinazione di esponenziali in k n Volendo recuperare lespressione nel tempo, per esempio della componente progressiva (assumiamo E + reale (E 0 ) per semplificare) n CVD

10 Polarizzazione onde piane n Fin qui abbiamo visto onde piane con una sola componente di campo E, e che quindi oscillano sempre in uno stesso piano: queste si dicono polarizzate linearmente (anche ovviamente se con due componenti di campo E, purché loscillazione avvenga in un piano) n Un insieme di onde piane propagantesi nella stessa direzione, ma con orientazioni e fasi arbitrarie dei campi, generano unonda non polarizzata n Due onde piane, stessa freq, ma diverse ampiezze fasi ed orientazioni (ma con relazioni prefissate) producono un onda polarizzata ellitticamente

11 Polarizzazione onde piane n Infatti, se per esempio abbiamo n Notiamo che, mettendoci in un punto (es z=0) Che è lequazione parametrica di una ellisse. Se è /2 ed E 1 =E 2 è proprio una circonferenza: polarizzazione circolare

12 Polarizzazione onde piane n Infatti, nella polarizzazione circolare avremo

13 Polarizzazione onde piane n In termini di fasori avremmo (pol. Ellittica) n Nota: fin qui abbiamo parlato di c come velocità di fase dellonda em nel vuoto o in aria; il discorso resta valido in generale con laccorgimento di usare la giusta velocità

14 Polarizzazione onde piane Polarizzazione Lineare Polarizzazione Circolare

15 Onde piane in direzione arbitraria n Abbiamo introdotto le onde piane pensando ad una propagazione lungo un asse (z) n Vediamo come generalizzare il discorso al caso un cui compaiono tutte le variabili spaziali: facciamolo direttamente per i fasori n Dove E 0 è un vettore che non dipende dalla posizione, ma può avere tutte le componenti

16 Onde piane in direzione arbitraria n Lequazione di Helmholtz corrisponde a 3 equazioni scalari n Concentriamoci sulla prima e sostituiamo lespressione generale per londa piana n Cioè, il vettore donda k che ha modulo k può essere diviso in 3 componenti, proprio pari a k x, k y, k z

17 Onde piane in direzione arbitraria n Quindi potremo riscrivere brevemente, per una onda piana che si propaga lungo una direzione generica:

18 Onde piane in direzione arbitraria n In generale quindi E ed H per unonda piana saranno n Si possono ricavare proprietà generali sostituendo alle equazioni di Maxwell: notate che se calcoliamo il rotore di una quantità come quelle di sopra, il risultato sarà che n Cioè il rotore diventa, grazie alla forma esponenziale, una semplice moltiplicazione vettoriale! Allo stesso modo la divergenza diventa un prodotto scalare. Le equazioni di Maxwell (fasori in assenza di sorgenti) si algebrizzano Sia E che H ortogonali a k

19 Onde piane in direzione arbitraria n Possiamo subito ricavare una relazione tra E ed H generale: dalla prima n ovvero Dove è limpedenza donda del mezzo: generalizza lespressione già trovata!

20 Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei n I conduttori sono quelli per i quali si ha movimento di cariche per un campo elettrico applicato, ovvero esiste una corrente di conduzione che soddisfa la legge di Ohm n Per cui lequazione di Ampère diventa (fasori) n Se il secondo termine (corrente di conduzione) domina sul primo (corrente di spostamento) così che la corrente di spostamento possa essere trascurata fino alle frequenze radio più alte (non ottiche), il materiale di definisce buon conduttore

21 Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei n Sappiamo che in un conduttore (anche reale) non vi sono cariche libere: infatti ricordando che la divergenza di un rotore è nulla, abbiamo dalla legge di Ampère n Per cui n Allora, per un buon conduttore: u la carica libera è zero u vale la legge di Ohm u corrente di spostamento trascurabile rispetto alla corrente di conduzione, per cui

22 Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei n Allora, dalla legge di Faraday n Usando la solita identità per il rotore di rotore, ricordando che la divergenza di E è nulla (no cariche), e sostituendo lespressione del rotore di H n Equazione donda per i conduttori n Ricordando poi la legge di Ohm n Ricaviamo lequazione per J

23 Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei n Il caso più semplice è quello monodimensionale: conduttore piano di profondità infinita su cui incida unonda piana ortogonalmente n In tal caso, J alla superficie segue landamento di E (grazie alla legge di Ohm), e vale n Lequazione donda per E diventa n Le cui soluzioni sono ancora una volta esponenziali J E H x z

24 Effetto pelle n Le condizioni al contorno impongono C 2 =0 (o il campo crescerebbe fino allinfinito per x crescenti) e C 1 =E 0 n Ora per definizione n Per cui, ricordando che x n avremo Dove è dimensionalmente una distanza (metri) e si chiama profondità di penetrazione

25 Effetto Pelle n Allora riscriviamo le nostre soluzioni in termini di tale parametro Quindi, il campo penetrando si attenua (fino a ridursi di un fattore e per x=,circa 37%) e si sfasa x Termine di attenuazione Termine di sfasamento J E H Il risultato è rigorosamente valido solo per conduttori piani, ma funziona in generale per valori di minori della curvatura della superficie

26 Effetto pelle Evoluzione temporale della soluzione calcolata Un caso vero: distribuzione di corrente su una striscia di rame di 70 micron, al variare della frequenza tra 1 e 5 GHz. Ottenuto da un metodo rigoroso


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