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DEFINIZIONE CLASSICA DI PROBABILITA Questa definizione è attribuibile a Laplace. Dato un Evento E si definisce probabilità il rapporto tra il numero di.

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1 DEFINIZIONE CLASSICA DI PROBABILITA Questa definizione è attribuibile a Laplace. Dato un Evento E si definisce probabilità il rapporto tra il numero di casi favorevoli allevento ed il numero di casi possibili nellipotesi che tutti i casi siano possibili p = n/M = numero casi favorevoli / numero casi possibili

2 la probabilità è sempre compresa tra o e 1 o tra 0 e 100% 0 p 1 Se p=0 evento impossibile Se p=1 evento certo Se 0 p 1 evento casuale

3 Se per esempio lanciando un dado si vuole calcolare la probabilità che esca il numero 5: p = 1(numero casi favorevoli) / 6(numero casi possibili)

4 DEFINIZIONE FREQUENTISTICA DI PROBABILITA Alcune volte non è possibile calcolare a priori la probabilità utilizzando la definizione secondo Laplace

5 Supponiamo di avere unurna sigillata contenente alcune palline colorate rosse blu nere e verdi Come si può calcolare la probabilità di estrarre una pallina di un certo colore? Bisogna ricorre ad un esperimento cioè estrarre tante volte una pallina e calcolare la frequenza per ogni colore

6 Supponiamo di fare 80 estrazioni e di ottenere questi risultati: coloren.pallinefrequenza Rosso55/80=1/16 Blu1818/80=9/40 Nero2222/80=11/40 verde3535/80=7/16 totale80

7 Queste frequenze calcolate sulla base dei risultati dellesperimento sono tutti valori compresi tra 0 e 1 0 frequenza 1 Quindi queste frequenze possono essere considerate delle stime della probabilità

8 Però per essere precisi ed ottenere un valore vero di probabilità dovrei ripetere lesperimento tantissime volte LEGGE EMPIRICA DEL CASO Dato un Evento E, sottoposto a n prove tutte nelle stesse condizioni, il valore della frequenza tende al valore della probabilità allaumentare del numero n di prove effettuate

9 Ci sono moltissimi eventi per i quali è impossibile calcolare la probabilità a priori utilizzando la definizione di Laplace: Per questi eventi si usa la definizione frequentistica di probabilità: La probabilità di incidenti automobilistici; La probabilità di vita o di morte La probabilità di furti

10 PeriodoSperanza di vitaRiferimento bibliografico anniMF ,235,6Gini C. e Galvani, L., Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica, serie VI, vol. VIII, Roma – 0242,643,0Gini C. e Galvani, L.,Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica, serie VI, vol. VIII, Roma – 1246,647,3Gini C. e Galvani, L., Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica, serie VI, vol. VIII, Roma – 2249,350,7Gini C. e Galvani, L., Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica, serie VI, vol. VIII, Roma – 3253,856,0Galvani L., Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica, Serie VII, vol. 1, Roma – 37-57,5Mirri A., Tavole di mortalità della popolazione femminile italiana , Istat, Roma – 5363,767,2Giusti F., Angeloni R., Tavole di mortalità della popolazione italiana e , Istat, Annali di Statistica, serie VIII, vol. 10, Roma – 5765,770,0Giusti F., Angeloni R., Tavole di mortalità della popolazione italiana e , Istat, Annali di Statistica, serie VIII, vol. 10, Roma – 6267,272,3Giusti F., Tavole di mortalità per regioni e cause di morte della popolazione italiana , Istat, Annali di Statistica, serie VIII, vol. 19, Roma – 6767,973,4Angeloni R., Tavole di nuzialità ( ) e tavole di mortalità ( ) della popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica, serie VIII, vol. 25, Roma – 7268,974,9De Simoni A., Tavole di mortalità della popolazione italiana , Istat, Suppl. al Bollettino Mens. di Statistica n. 6, 1976

11 IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA DELLA PROBABILITA Tale impostazione si basa sulla teoria degli insiemi Ad ogni esperimento si può associare un insieme U detto universo o spazio degli eventi i cui elementi sono tutti i possibili risultati dellesperimento.

12 Ad esempio, se lesperimento è il lancio di un dado, lo spazio degli eventi contiene gli elementi U={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ogni evento può essere visto come un sottoinsieme dellinsieme U tenendo conto che P(E) >=0 e P(U) = U

13 Per esempio levento lanciando un dado esce un numero pari può essere rappresentato in questo modo U Il calcolo della probabilità dellevento può comunque essere calcolato con la definizione classica di probabilità.

14 PROBABILITA TOTALE O DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI Dati due eventi E1 ed E2 si chiama EVENTO TOTALE O SOMMA quello che si verifica quando si verifica E1 o E2. E2 E1 P (E1 U E2 ) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2) SE E1 ED E2 SONO INCOMPATIBILI ALLORA P (E1 U E2 ) = P(E1) + P(E2)

15 Esempi: Unurna contiene 90 numeri da 1 a 90. Calcolare la probabilità che estraendo un numero: esca un numero dispari o multiplo di 4 esca un numero dispari o multiplo di 5 Si estrae una carta da un mazzo di 52 carte. Calcolare la probabilità che la carta sia: un re o un sette un re o una carta di picche un asso o una carta di picche Unurna contiene 4 palline gialle, 2 verdi, 7 bianche. Si estraggono contemporaneamente 2 palline. Calcolare la probabilità che: siano dello stesso colore almeno una sia verde.

16 4. Si lanciano due dadi. Calcolare la probabilità che: la somma sia sette o il prodotto 12 la somma sia 6 o la somma sia divisibile per In una scatola ci sono 12 dischetti numerati da 1 a 12. Si estrae un dischetto. Calcolare la probabilità che esca: un numero pari o un numero maggiore di 7 un numero multiplo di 5 o un numero multiplo di Unurna contiene 15 palline numerate da 1 a 15. si estraggono contemporaneamente due palline. Calcolare la probabilità che escano due numeri pari escano due numeri dispari escano due numeri pari o due numeri dispari escano due numeri dispari o due numeri multipli di 3.

17 PROBABILITA COMPOSTA O DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI Dati due eventi E1 ed E2 si chiama EVENTO COMPOSTO O PRODOTTO quello che si verifica quando si verificano E1 e E2. P(E1 E2) = P(E1) · P(E2) SE GLI EVENTI SONO INDIPENDENTI P(E1 E2) = P(E1) · P(E2/E1) PROBABILITA DI E2 NELLIPOTESI CHE E1 SI SIA VERIFICATO

18 In un urna sono presenti 5 palline bianche e 4 nere. Si estraggono contemporaneamente tre palline. Calcolare la probabilità di avere: –tre palline bianche –due palline nere e una bianca. In uno scaffale sono presenti 8 cd di musica classica, 9 cd di musica rock e 7 cd di musica leggera. Si prendono consecutivamente due cd dallo scaffale. Calcolare la probabilità che: –siano entrambi di musica rock –siano il primo di musica classica e il secondo di musica leggera. –siano uno di musica classica ed uno di musica leggera

19 Unurna contiene 8 palline rosse e 4 gialle. Si estraggono consecutivamente due palline senza rimettere la prima pallina estratta nell urna. Calcolare la probabilità che esse siano: due palline rosse due palline gialle la prima rossa e la seconda gialla una pallina rossa e laltra gialla. Nel portamonete di Luca ci sono 6 monete da 1 euro, 4 monete da 50 centesimi, 5 monete da 20 centesimi. Prendendo tre monete a caso, uno dopo laltra (senza reimmissione), calcolare la probabilità di avere: tre monete da 50 centesimi la prima moneta da 1 euro, la seconda e la terza da 20 centesimi la prima moneta da 1 euro, la seconda da 50 centesimi, la terza da 20 centesimi.


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