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Nigro Gerardina Le trasformazioni del piano. Nigro Gerardina Le Trasformazioni Geometriche Vogliamo conoscere le relazioni che sussistono tra gli oggetti.

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Presentazione sul tema: "Nigro Gerardina Le trasformazioni del piano. Nigro Gerardina Le Trasformazioni Geometriche Vogliamo conoscere le relazioni che sussistono tra gli oggetti."— Transcript della presentazione:

1 Nigro Gerardina Le trasformazioni del piano

2 Nigro Gerardina Le Trasformazioni Geometriche Vogliamo conoscere le relazioni che sussistono tra gli oggetti geometrici quando subiscono trasformazioni Si chiama trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa punti di un piano a punti dello stesso piano

3 Nigro Gerardina TRASFORMAZIONI TTRRAASSFFOORRMMAAZZIIOONNII TTRRAASSFFOORRMMAAZZIIOONNII

4 La trasformazione identica o identità è quella che associa ad ogni punto se stesso Si dice involutoria una trasformazione che, applicata due volte, coincide con la trasformazione identica Si chiamano invarianti le caratteristiche che rimangono inalterate Varianti le caratteristiche che si modificano Elementi uniti gli elementi che hanno per trasformati se stessi

5 Nigro Gerardina Invarianti Le principali caratteristiche che una trasformazione può lasciare invariate sono: La Lunghezza dei segmenti Lampiezza degli angoli Il parallelismo Le direzioni Il rapporto tra i segmenti Lorientamento dei punti del piano

6 Nigro Gerardina Trasformazioni geometriche Si possono suddividere in tre categorie: Trasformazioni che si ottengono mediante deformazioni (esempio: disegno su tela elastica) Trasformazioni che si ottengono per proiezioni (esempio: ombra di un oggetto) Trasformazioni che si ottengono mediante movimenti (esempio: immagine riflessa)

7 Nigro Gerardina La figura rappresenta unincisione di M.C.Escher ( ). Essa fornisce un esempio di riflessione sulla sfera; è interessante notare che le linee rette degli spigoli della stanza dove si trova lartista sono diventate linee curve.

8 Nigro Gerardina Classificazione delle trasformazioni basata sugli invarianti

9 Nigro Gerardina Le classificazioni rappresentate nello schema sono via via più restrittive. Vengono identificate in base a numero e tipo di proprietà mantenute dalle figure dopo una trasformazione.

10 Nigro Gerardina TOPOLOGIA Esistono altre trasformazioni che non portano rette in rette: deformazioni continue che conservano le intersezioni. I ponti di Königsberg

11 Nigro Gerardina OMEOMORFISMI Gli omeomorfismi, detti anche trasformazioni topologiche, conservano la continuità A curve chiuse corrispondono curve chiuse A curve chiuse corrispondono curve chiuse A curve aperte corrispondono curve aperte A curve aperte corrispondono curve aperte A curve intrecciate corrispondono curve intrecciate con lo stesso numero di nodi( i punti in cui le curve intersecano se stesse ) A curve intrecciate corrispondono curve intrecciate con lo stesso numero di nodi( i punti in cui le curve intersecano se stesse ) Se un punto è intersezione di due curve, il punto che gli corrisponde risulta intersezione delle curve corrispondenti Se un punto è intersezione di due curve, il punto che gli corrisponde risulta intersezione delle curve corrispondenti Una tazza ed una ciambella sono omeomorfi. Dalla "deformazione senza strappi" mostrata in figura si può infatti costruire un omeomorfismo fra i due oggetti.

12 Nigro Gerardina La proiettività avviene mediante delle proiezioni a partire da un punto detto "centro di proiezione". Un esempio noto di proiettività è lombra di un oggetto sottoposto a una lampadina, fonte di luce relativamente vicina a noi.

13 Nigro Gerardina Un esempio noto di proiettività è lombra di un oggetto sottoposto a una lampadina, fonte di luce relativamente vicina a noi. Notiamo che lombra del tavolo provocata dalla lampadina è deformata rispetto alla figura di partenza: mantiene solo lallineamento dei punti delle rette e la convessità (o la concavità) della figura La proiettività avviene mediante delle proiezioni a partire da un punto detto "centro di proiezione".

14 Nigro Gerardina Le trasformazioni affini sono particolari proiettività che mantengono anche il parallelismo tra rette. Se consideriamo ancora lesempio comune dellombra, unaffinità è una trasformazione che può derivare da una fonte di luce molto lontana, tendente allinfinito, come il sole, i cui raggi sembrano essere paralleli tra loro.

15 Nigro Gerardina OMBRE: AFFINITA e PROIETTIVITA Le ombre generate dal sole sono trasformazioni affini (conservano il parallelismo). Quelle generate da una sorgente di luce sono proiettive (conservano lallineamento).

16 Nigro Gerardina Lomotetia è una particolare affinità che conserva la forma delle figure e, in particolare, la congruenza fra gli angoli; inoltre fra i segmenti esiste un rapporto costante, detto rapporto di similitudine. Il triangolo rosso è stato trasformato con lomotetia in quello blu, un triangolo simile. Si può applicare lo stesso procedimento anche a figure più complesse. A C B A B C Detto k il rapporto di similitudine: diretta se k > 0 l'omotetia si dice diretta. inversa se k < 0 l'omotetia si dice inversa. identità se k =1 si ha l'identità; simmetria se k = 1 si ha la simmetria rispetto all'origine.

17 Nigro Gerardina Una trasformazione che consiste in un ingrandimento o riduzione ha come invariante globale la FORMA delle figure. Sono suoi invarianti : Lampiezza degli angoli Il parallelismo Il rapporto tra segmenti

18 Nigro Gerardina Le isometrie sono trasformazioni che conservano le distanze tra i punti, perciò le figure trasformate risultano congruenti a quelle di partenza. Sono isometrie le traslazioni, le rotazioni e le simmetrie.

19 Nigro Gerardina L' identità è la trasformazione di ogni punto del piano associato a se stesso. In uniti un' identità tutti i punti sono uniti.

20 Nigro Gerardina LE ISOMETRIE Trasformazioni geometriche: LE ISOMETRIE Sono trasformazioni geometriche nelle quali la figura trasformata rimane congruente alla figura iniziale, conservandone sia la forma e sia la dimensione. Le trasformazioni isometriche si ottengono mediante movimenti rigidi delle figure, che cambiano unicamente la loro posizione nel piano.

21 Nigro Gerardina ISOMETRIE Una trasformazione geometrica si chiama isometria o congruenza quando, comunque si scelgano due punti A e B del piano, se A e B sono i loro corrispondenti, il segmento AB risulta congruente al segmento AB

22 Nigro Gerardina CONGRUENZA Una particolare famiglia di trasformazioni del piano Le congruenze sono le trasformazioni del piano che conservano le distanze tra i punti

23 Nigro Gerardina LE ISOMETRIE In matematica, e in particolare in geometria, si definisce isometria (o trasformazione rigida) una trasformazione che non modifica le distanze tra i punti (e, di conseguenza, le ampiezze degli angoli). A B C A' B' C' F F

24 Nigro Gerardina Le isometrie Le isometrie Le principali isometrie sono: Traslazioni Traslazioni Rotazioni Rotazioni Simmetria assiale Simmetria assiale Simmetria centrale Simmetria centrale

25 Nigro Gerardina Proprietà delle isometrie In una isometria: a una retta corrisponde una retta a rette incidenti corrispondono rette incidenti a retta parallele corrispondono rette parallele a ogni triangolo corrisponde un triangolo ad esso congruente ad ogni angolo corrisponde un angolo ad esso congruente

26 Nigro Gerardina Identita Lidentità è una trasformazione geometrica che fa corrispondere a ogni punto il punto stesso e quindi a ogni figura la figura stessa Poiché a un segmento corrisponde lo stesso segmento, lidentità è una ISOMETRIA. Inoltre un identità è una trasformazione involutoria in cui tutti gli elementi sono uniti

27 Nigro Gerardina La traslazione La figura F con un lato appoggiato sulla retta r è stata spostata con un movimento rigido ottenendo F. Il movimento che ha portato F in F è una traslazione: ogni punto di F si è spostato della stessa lunghezza (6 cm), nella stessa direzione (parallelo ad r) e nello stesso verso ( a destra) dando origine ad F. F F r Destro destro

28 Nigro Gerardina Gli elementi che caratterizzano la traslazione sono quindi tre: 1. La sua lunghezza (6 cm) 2. La sua direzione (parallela ad r) 3. Il suo verso (da sinistra a destra) Queste tre caratteristiche definiscono un segmento orientato, chiamato vettore, indicato con v o con AB

29 Nigro Gerardina TRASLAZIONE Fissato nel piano un vettore v, se a un punto P del piano si fa corrispondere un punto P tale che PP = v si ha una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano, che si chiama Traslazione di vettore v. v P P

30 Nigro Gerardina Per individuare un vettore occorre indicare: La sua direzione, cioè la retta a cui appartiene Il suo verso, che indica il senso di percorrenza La sua intensità o modulo, che rappresenta la lunghezza del segmento AB Teorema: la traslazione è unisometria Con questo teorema affermiamo che due figure che si corrispondono in una traslazione sono congruenti.

31 Nigro Gerardina Inoltre la traslazione ha come caratteristiche invarianti: Lallineamento dei punti Lallineamento dei punti La lunghezza dei segmenti La lunghezza dei segmenti Lampiezza degli angoli Lampiezza degli angoli Il parallelismo Il parallelismo Le direzioni Le direzioni Il rapporto tra segmenti Il rapporto tra segmenti Lorientamento dei punti del piano Lorientamento dei punti del piano

32 Nigro Gerardina La rotazione Unaltra trasformazione che mantiene invariate tutte le misure lineari e angolari è la rotazione attorno ad un punto. Per definire una rotazione è necessario che siano dati: 1. Un punto, detto centro di rotazione 2. Lampiezza dellangolo di rotazione 3. Il verso di rotazione (orario o antiorario )

33 Nigro Gerardina ROTAZIONE Siano dati in un piano un punto O e un angolo α di dato verso; per ogni punto del piano, si consideri la trasformazione che associa a un punto P il punto P tale che sia OP congruente a OP e langolo POP congruente ad α Si ottiene una corrispondenza biunivoca che si dice Rotazione Rotazione di ampiezza α intorno al centro O. P α O P..

34 Nigro Gerardina Teorema: la rotazione è unisometria La rotazione quindi ha le proprietà delle isometrie ed in particolare trasforma una figura in unaltra ad essa congruente. Valgono le seguenti proprietà: Il solo punto unito è il centro di rotazione Non esistono rette unite se non quelle che si corrispondono in una rotazione pari ad un angolo piatto La rotazione di ampiezza pari ad un angolo giro coincide con la trasformazione identità

35 Nigro Gerardina La rotazione ha come caratteristiche invarianti: Lallineamento dei punti La lunghezza dei segmenti Il parallelismo Lampiezza degli angoli Il rapporto tra segmenti Lorientamento dei punti del piano

36 Nigro Gerardina Una Rotazione Particolare: La Simmetria Centrale Una rotazione di 180° attorno ad un punto C è una simmetria centrale. Il centro di simmetria è il centro della rotazione Teorema: la simmetria centrale è unisometria Questo teorema garantisce che due figure simmetriche rispetto ad un punto sono congruenti Destro va in destro

37 Nigro Gerardina SIMMETRIA CENTRALE Si dice simmetria centrale la trasformazione che fa corrispondere a un punto del piano il suo simmetrico rispetto a un dato punto 0, detto centro della simmetria P P. 0

38 Nigro Gerardina Simmetria centrale Fissato il punto O come centro di simmetria, il punto A è simmetrico di A rispetto al centro O se O è punto medio del segmento AA Fissato il punto O come centro di simmetria, il punto A è simmetrico di A rispetto al centro O se O è punto medio del segmento AA O A A

39 Nigro Gerardina Ogni retta passante per il centro è una retta unita, ma non fissa perché cambia lordinamento dei suoi punti Come in ogni rotazione lunico punto fisso è il centro Due segmenti, o rette che si corrispondono in una simmetria centrale sono paralleli La simmetria centrale è involutoria

40 Nigro Gerardina Il Ribaltamento: La Simmetria Assiale Esistono situazioni in cui le figure mantengono le loro misure, ma si ribaltano generando figure simmetriche rispetto ad un asse. Definizione: si dice simmetria assiale la trasformazione che, data una retta r, associa ad un punto P il suo simmetrico P rispetto ad r. La retta r prende il nome di asse di simmetria.

41 Nigro Gerardina Simmetria assiale Fissata una retta r come asse di simmetria, il punto A è simmetrico di A rispetto alla retta r se r è lasse del segmento AA Fissata una retta r come asse di simmetria, il punto A è simmetrico di A rispetto alla retta r se r è lasse del segmento AA A r A

42 Nigro Gerardina Teorema: la simmetria assiale è unisometria Questo teorema ci permette di dire che due figure che si corrispondono in una simmetria assiale sono congruenti. Segmenti corrispondenti sono uguali Si conservano gli angoli Triangoli corrispondenti sono congruenti Sinistro destro

43 Nigro Gerardina Una retta a perpendicolare allasse di simmetria ha per trasformata se stessa ed è quindi una retta unita; Una retta a perpendicolare allasse di simmetria ha per trasformata se stessa ed è quindi una retta unita; Attenzione però: non è una retta di punti uniti perché ciascun punto della retta non ha come trasformato se stesso. Una retta a // allasse di simmetria ha per trasformata una retta a ancora // allasse e quindi a a stessa. Una retta a // allasse di simmetria ha per trasformata una retta a ancora // allasse e quindi a a stessa. Ogni punto dellasse di simmetria è unito perché gli corrisponde se stesso Ogni punto dellasse di simmetria è unito perché gli corrisponde se stesso

44 Nigro Gerardina Se A è il trasformato di A nella simmetria di asse r, il trasformato di A è ancora A e quindi la trasformazione è involutoria; Se A è il trasformato di A nella simmetria di asse r, il trasformato di A è ancora A e quindi la trasformazione è involutoria; Se i vertici del triangolo ABC si susseguono in senso orario, i loro corrispondenti ABC si susseguono in senso antiorario e quindi lordinamento dei punti non è uninvariante (è unisometria invertente) Se i vertici del triangolo ABC si susseguono in senso orario, i loro corrispondenti ABC si susseguono in senso antiorario e quindi lordinamento dei punti non è uninvariante (è unisometria invertente)

45 Nigro Gerardina Un angolo ha come asse di simmetria la sua bisettrice Un triangolo ha un asse di simmetria solo se è isoscele Il rombo ha due assi di simmetria (diagonali) Il cerchio infiniti assi di simmetria Gli invarianti della simmetria assiale sono: Lallineamento dei punti Lallineamento dei punti La lunghezza dei segmenti La lunghezza dei segmenti Il parallelismo Il parallelismo Il rapporto tra segmenti Il rapporto tra segmenti Lorientamento dei punti del piano Lorientamento dei punti del piano

46 Nigro Gerardina ISOMETRIE IN NATURA E NELLARTE In natura si possono individuare forme geometriche interpretabili assumendo come modello le trasformazioni isometriche. Le più frequenti sono la simmetria centrale e la simmetria assiale, presenti in natura sia nelle forme più elementari quali le diatomee, i protozoi e i cristalli di neve, sia in fiori, piante, pesci, uccelli, mammiferi. Nellarte sin dallantichità le trasformazioni isometriche del piano sono state usate per creare fregi ornamentali e pavimentazioni, per decorare soffitti e pareti di palazzi, per disegnare tessuti, per costruire rosoni ed edifici monumentali, realizzare statue.

47 Nigro Gerardina La simmetria centrale e la simmetria assiale sono involutorie La simmetria centrale e la simmetria assiale sono involutorie La rotazione, in generale, non è involutoria a meno che langolo di rotazione non sia un angolo piatto o nullo. Se è piatto la rotazione è una simmetria centrale, se è nullo la rotazione coincide con lidentità La rotazione, in generale, non è involutoria a meno che langolo di rotazione non sia un angolo piatto o nullo. Se è piatto la rotazione è una simmetria centrale, se è nullo la rotazione coincide con lidentità La traslazione non è involutoria La traslazione non è involutoria

48 Nigro Gerardina fiocchi di neve medusa

49 Nigro Gerardina rosoni

50 Nigro Gerardina porta dei leoni (XV sec a.C.) Micene

51 Nigro Gerardina fregio disegno di tessuto


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