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Stefano CERONI - 753605 Sara TOIA - 753606 Università degli Studi di Milano Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Dipartimento di Informatica.

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Presentazione sul tema: "Stefano CERONI - 753605 Sara TOIA - 753606 Università degli Studi di Milano Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Dipartimento di Informatica."— Transcript della presentazione:

1 Stefano CERONI Sara TOIA Università degli Studi di Milano Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Dipartimento di Informatica e Comunicazione Corso di Laurea in Tecnologie dellInformazione e della Comunicazione e Informatica SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER

2 RICHIAMI SUI FLUIDI FLUIDO: sostanza che si deforma con continuità sotto lapplicazione di una forza di taglio.

3 RICHIAMI SUI FLUIDI FLUIDO: sostanza che si deforma con continuità sotto lapplicazione di una forza di taglio. Gli strumenti disponibili per lo studio di un fluido sono: 1.Conservazione della massa 2.Leggi di Newton 3.Principi della termodinamica

4 RICHIAMI SUI FLUIDI FLUIDO: sostanza che si deforma con continuità sotto lapplicazione di una forza di taglio. Gli strumenti disponibili per lo studio di un fluido sono: 1.Conservazione della massa 2.Leggi di Newton 3.Principi della termodinamica N.B.: nel nostro lavoro andremo ad utilizzare le leggi di Newton

5 DINAMICA DEI FLUIDI Le grandezze di base sono: ESTENSIVE (proporzionali alla massa del sistema) Massa scalare Momento linearevettoriale Momento angolarevettoriale Energiascalare INTENSIVE (indipendenti dalla massa del sistema) Pressionescalare Velocità vettoriale

6 FISICA: MOTO ONDOSO Le onde sono provocate dallattrito del vento con la superficie dacqua

7 FISICA: MOTO ONDOSO Le onde sono provocate dallattrito del vento con la superficie dacqua CARATTERISTICHE DI UNONDA lunghezza: distanza fra cresta e cresta oppure fra ventre e ventre altezza: distanza verticale tra cresta e cavo velocità di propagazione: spazio percorso da una cresta nellunità di tempo

8 FISICA: MOTO ONDOSO Il moto del liquido viene espresso tramite le equazioni di Navier-Stokes:

9 FISICA: MOTO ONDOSO Il moto del liquido viene espresso tramite le equazioni di Navier-Stokes:

10 dove: u,v e w = componenti della velocità rispettivamente lungo le coordinate spaziali x,y,z p = pressione ν = coefficiente di viscosità del fluido ρ = densità del fluido f x,f y e f z = componenti forze esterne lungo le coordinate x,y,z FISICA: MOTO ONDOSO Il moto del liquido viene espresso tramite le equazioni di Navier-Stokes:

11 Per il nostro fluido deve essere soddisfatta anche lequazione di continuità:

12 Assicurando cioè che, preso un volume infinitesimale di liquido, la quantità di flusso entrante nella superficie che racchiude il volume, sarà uguale alla quantità di flusso uscente Per il nostro fluido deve essere soddisfatta anche lequazione di continuità:

13 SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER acqua in computer grafica = COMPLESSA DA SIMULARE

14 SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER riflessione delle onde, movimento delle acque, comportamenti di oggetti immersi, ecc. … acqua in computer grafica = COMPLESSA DA SIMULARE

15 SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER riflessione delle onde, movimento delle acque, comportamenti di oggetti immersi, ecc. … acqua in computer grafica = COMPLESSA DA SIMULARE DISPENDIO COMPUTAZIONALE

16 SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER questo metodo permette la simulazione del movimento ondoso in maniera veloce stabile facilmente implementabile senza un eccessivo dispendio computazionale

17 Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes.

18 Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni:

19 Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes. Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni: 1.il fluido è una superficie con valori di altezza

20 Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes. Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni: 1.il fluido è una superficie con valori di altezza 2.la componente verticale della velocità va ignorata

21 Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes. Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni: 1.il fluido è una superficie con valori di altezza 2.la componente verticale della velocità va ignorata 3.la componente orizzontale della velocità è costante

22 NO A ONDE CHE SI INFRANGONO NO A CORRENTI VERTICALI Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes. Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni: 1.il fluido è una superficie con valori di altezza 2.la componente verticale della velocità va ignorata 3.la componente orizzontale della velocità è costante

23 Sapendo che: b(x) = altezza del suolo h(x) = altezza dellacqua La profondità dellacqua d (x) sarà data da: d (x) = h(x) – b(x)

24 Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del moto ondoso diventano:

25 dove u(x) = velocità orizzontale dell'onda g = accelerazione di gravità

26 Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del moto ondoso diventano: dove u(x) = velocità orizzontale dell'onda g = accelerazione di gravità Legge di Newton (F = ma)

27 Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del moto ondoso diventano: dove u(x) = velocità orizzontale dell'onda g = accelerazione di gravità Legge di Newton (F = ma) Legge di Conservazione del volume

28 Differenziando la prima rispetto a x, e la seconda rispetto a t si ottiene:

29 Sostituendo avremo:

30 che è l'equazione che esprime la legge del moto di un'onda di velocità v = (gd) Differenziando la prima rispetto a x, e la seconda rispetto a t si ottiene: Sostituendo avremo: ½

31 Per risolvere lequazione è necessario costruire una rappresentazione discreta dellequazione continua. Ovvero, bisogna procedere con una discretizzazione, ottenendo:

32 Per risolvere lequazione è necessario costruire una rappresentazione discreta dellequazione continua. Ovvero, bisogna procedere con una discretizzazione, ottenendo:

33 Il risultato acquisito va integrato. Ci sono diversi modi per procedere. Kass e Miller suggeriscono di utilizzare un metodo implicito di primo ordine.

34 Si ottiene:

35 che, con i dovuti ri-arrangiamenti, diventa:

36 Linearizzando lultima equazione si ottiene:

37 dove A è una matrice quadrata, così composta:

38 A questo punto è possibile procedere con limplementazione dellalgoritmo.

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