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A lezione di: Tecnologie Chimiche ˝ LE FORMULE NON SONO LA FISICA, MA SOLO UNA SUA RAPPRESENTAZIONE SINTETICA. ˝ Prof. S. Consoli Prof. S. Consoli © Copyright.

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1 A lezione di: Tecnologie Chimiche ˝ LE FORMULE NON SONO LA FISICA, MA SOLO UNA SUA RAPPRESENTAZIONE SINTETICA. ˝ Prof. S. Consoli Prof. S. Consoli © Copyright - Consoli – Trinaistich - Astorina

2 per i liquidi ideali si scrive: z 1 + p 1 / y + v 1 2 / 2 g = z 2 + p 2 / y + v 2 2 / 2 g = H (costante) S I M B O L I E I N T E R P R E T A Z I O N I a) z = quota geometrica o energia potenziale; b) p = pressione; c) v = velocità; d) H = carico idraulico; y = peso specifico; g = accelerazione di gravità; p / y = quota piezometrica o energia di pressione; v 2 / 2 g = quota cinetica o energia cinetica.

3 per i liquidi reali si scrive: z 1 + p 1 / y + v 1 2 / 2 g = z 2 + p 2 / y + v 2 2 / 2 g + Σ Y i = H (costante) S I M B O L I E I N T E R P R E T A Z I O N I a) z = quota geometrica o energia potenziale; b) p = pressione; c) v = velocità; d) H = carico idraulico; e) Σ Y i = somma delle perdite di carico. y = peso specifico; g = accelerazione di gravità; p / y = quota piezometrica o energia di pressione; v 2 / 2 g = quota cinetica o energia cinetica;

4 C O N D I Z I O N I D I V A L I D I T A : C O N D I Z I O N I D I V A L I D I T A : z 1 + p 1 / y + v 1 2 / 2 g = z 2 + p 2 / y + v 2 2 / 2 g + Σ Y i = H (costante) i pedici 1 e 2 si riferiscono a 2 sezioni della stessa corrente liquida; fra le sezioni 1 e 2 non devono esserci macchine; fra le sezioni 1 e 2 non devono esserci ingressi o uscite di liquido; fra le sezioni 1 e 2 non devono esserci forniture o sottrazioni di calore; il liquido deve essere incomprimibile; la condotta deve essere indeformabile; il regime deve essere permanente. Sez. 1Sez. 2

5 Dal punto di vista dimensionale, il teorema di Bernoulli si può interpretare in due modi: come quota da misurare in metri; come energia da misurare in Joule (per ogni chilogrammo massa di liquido nel sistema internazionale); o in chilogrammi peso per metro (per ogni chilogrammo peso di liquido nel sistema pratico). Ricordiamo che 1 [ kg p m ] = 9,81 [ J ].

6 come quota: quota o altezza geometrica: [z] = [m]; quota o altezza piezometrica: [p / y] = [(kg p / m 2 ) / (kg p / m 3 )] = [m]; quota o altezza cinetica: [v 2 / g] = [(m 2 / s 2 ) / (m / s 2 )] = [m].

7 come energia: come energia: nell'esposizione ci serviremo di alcuni artifici aritmetici che non influenzano né la filosofia né il calcolo. a) Energia potenziale o di posizione: moltiplichiamo e dividiamo z per m g ottenendo: z m g / m g ; la quantità z m g non è altro che l'energia potenziale di una massa m che si trova alla quota z in un campo gravitazionale g: nel sistema pratico si misura in [kg p m]; la quantità m g non è altro che il peso di una massa m che si trova in un campo gravitazionale g, e nel sistema pratico si misura in [kg p ]; se noi ci riferiamo ad 1 kg p di liquido sull'asse del tubo, la quantità m g vale 1 e quindi si ottiene: [z] = [z m g / m g] = [kg p m / 1] = [kg p m];

8 Fasi successive: b) Energia di pressione: usando le definizioni elementari di pressione e di peso specifico (F forza; A area; P peso; V volume; h altezza), si ottiene: [p / y] = [(F / A) / (P / V)] = [(F / A) / (P / A h)] = [F h / P]; ricordando che F h è il lavoro compiuto da una forza F per effetto di uno spostamento h e che P vale 1 kg p, possiamo scrivere: [p / y] = [(kg p m) / 1] = [kg p m];

9 Fasi successive: c) Energia cinetica: moltiplichiamo e dividiamo v 2 / 2 g per m ottenendo: v 2 m / 2 m g; ricordando che la quantità v 2 m / 2 non è altro che l'energia cinetica di una massa m che si muove alla velocità v, che la quantità m g non è altro che il peso e vale 1 kg p e che la massa nel sistema pratico si trova come rapporto fra il peso e l'accelerazione di gravità, si ottiene: [v 2 / 2 g] = [v 2 m / 2 m g] = [v 2 P / 2 g P] = [v 2 P / g 1] = [(m 2 / s 2 ) kg p / (m / s 2 )] = [kg p m] ;

10 NOTA BENE: Σ Y i J NOTA BENE: anche le perdite di carico Σ Y i saranno misurate in metri oppure in J.

11 SE UNA FORMA DI ENERGIA CRESCE, UN'ALTRA DIMINUISCE. E', questa, una immediata conseguenza del principio di conservazione dell'energia applicato all'idraulica. Vediamo alcuni casi riferiti a due sezioni di una condotta percorsa da un liquido ideale(*), nelle condizioni di validità del teorema di Bernoulli. rosso blu Nelle figure il verso di percorrenza è da sinistra a destra; la linea dei carichi totali è in rosso; la linea piezometrica è in blu ; tutte le quote vanno prese dall'asse del tubo (*) Nel caso del liquido reale, valgono le stesse considerazioni e quasi le stesse figure, purché si ricordi che la linea dei carichi e la piezometrica sono inclinate verso il basso nel senso del moto.

12 1) tubo orizzontale, sezione costante: 1) tubo orizzontale, sezione costante: in questo caso le tre forme di energia sono assolutamente costanti lungo la condotta e le linee rappresentative sono entrambe orizzontali (fig. 1); figura 1 12 infatti: z 1 = z 2 ; v 1 2 / 2 g = v 2 2 / 2 g essendo v 1 = v 2 ; quindi p 1 / g = p 2 / g. Carichi totali Linea piezometrica Verso di percorrenza

13 2) tubo orizzontale, sezione variabile: in questo caso l'energia cinetica cresce dove il diametro è minore e diminuisce dove il diametro è maggiore, per cui la linea piezometrica assume l'aspetto di una spezzata, più distante dalla linea dei carichi totali (che è sempre e solo orizzontale!) dove il diametro diminuisce, più vicina dove il diametro aumenta (fig. 2); figura 2 z 1 = z 3 ; ma v 1 2 / 2 g > v 3 2 / 2 g ; essendo v 1 > v 3 ; quindi p 1 / g < p 3 / g. Il contrario accade fra le sezioni 4 e Carichi totali Linea piezometrica Verso di percorrenza

14 3) tubo in salita, sezione costante: in questo caso l'energia cinetica è costante e quindi la linea piezometrica è orizzontale; diminuisce però la sua distanza dall'asse del tubo per cui l'energia di pressione diminuisce di quanto aumenta l'energia potenziale. Possiamo scrivere infatti (fig. 3): figura 3 z 1 p 2 / g. L'aumento di quota si è verificato a spese della pressione. 12 Carichi totali Linea piezometrica Verso di percorrenza

15 4) tubo in salita, sezione variabile: in questo caso (come nel caso 2) l'energia cinetica cresce dove il diametro è minore e diminuisce dove il diametro è maggiore, per cui la linea piezometrica assume l'aspetto di una spezzata, più distante dalla linea dei carichi totali dove il diametro diminuisce, più vicina dove il diametro aumenta ; inoltre (come nel caso 3) diminuisce la sua distanza dall'asse del tubo per cui l'energia di pressione diminuisce di quanto aumenta l'energia potenziale. Possiamo scrivere quindi (fig. 4): figura 4 z 1 v 3 2 / 2 g essendo v 1 > v 3 ; quindi p 1 / g > p 3 / g. Il contrario accade fra le sezioni 4 e 2. Per effetto della diminuzione della velocità, fra le sezioni 3 e 4 si ha un recupero parziale di pressione Verso di percorrenza Carichi totali Linea piezometrica

16 5) tubo in discesa, sezione costante: in questo caso (come nel caso 3) l'energia cinetica è costante e quindi la linea piezometrica è orizzontale; aumenta però la sua distanza dall'asse del tubo per cui l'energia di pressione aumenta di quanto diminuisce l'energia potenziale (l'inverso del caso 3). Possiamo scrivere infatti (fig. 5): figura 5 z 1 > z 2 ; v 1 2 / 2 g = v 2 2 / 2 g essendo v 1 = v 2 ; quindi p 1 / g < p 2 / g. La diminuzione di quota si è trasformata in aumento di pressione. 1 2 Carichi totali Linea piezometrica Verso di percorrenza

17 6) tubo in discesa, sezione variabile: in questo caso (come nel caso 2) l'energia cinetica cresce dove il diametro è minore e diminuisce dove il diametro è maggiore, per cui la linea piezometrica assume l'aspetto di una spezzata, più distante dalla linea dei carichi totali dove il diametro diminuisce, più vicina dove il diametro aumenta; però (come nel caso 5) aumenta la sua distanza dall'asse del tubo per cui l'energia di pressione aumenta di quanto diminuisce l'energia potenziale. Possiamo scrivere quindi (fig. 6): figura 6 z 1 > z 3 ; v 1 2 / 2 g > v 3 2 / 2 g essendo v 1 > v 3 ; quindi: p 1 / g < p 3 / g. Il contrario accade fra le sezioni 4 e 2. Per effetto della diminuzione della velocità, fra le sezioni 3 e 4 si ha un ulteriore aumento di pressione Carichi totali Linea piezometrica Verso di percorrenza

18 E' questo uno dei teoremi fondamentali dell'idraulica moderna, insieme a quello di Bernoulli. Il teorema vale però solo in regime permanente, cioè se non ci sono variazioni nel tempo di nessuno dei parametri. E' ovvio infatti che se per esempio la pompa di servizio accelera e decelera continuamente, fornisce quantità variabili di energia e quindi la portata e tutto il resto varia di conseguenza. Se conosciamo la legge di variazione dell'energia comunicata dalla pompa al liquido, possiamo ancora studiare il moto del liquido, ma certo con grandi complicazioni matematiche. Supponiamo di avere una condotta non deformabile percorsa da un liquido incomprimibile (*) in regime permanente. Supponiamo anche che non ci siano, nella parte in esame, né ingressi o uscite di liquido, né variazioni di temperatura. La condotta sia costituita di tre tronchi di diametri D 1, D 2 e D 3, come in figura. (*) Incomprimibile vuol dire con volume costante qualunque sia la pressione. Il compressore è una macchina che produce la variazione di volume dei gas

19 LA PORTATA: LA PORTATA: definizione la portata volumetrica q v è il volume di liquido, da esprimere in m 3 / s, che attraversa la sezione; la portata ponderale q p è il peso (**) di liquido, da esprimere in kg p / s, che attraversa la sezione; la portata massica q m è la massa di liquido, da esprimere in kg m / s, che attraversa la sezione. (**) Ponderale viene dal latino "pondus" che appunto vuol dire "peso".

20 Nelle ipotesi dette all'inizio è ovvio che: tutto il liquido che entra nella sezione 1 deve passare per la sezione 2 e uscire dalla sezione 3 nello stesso tempo, essendo il regime permanente (***). (***) Vedi in analogia il problema del muro di Fourier in Termodinamica

21 E quindi: q 1 = q 2 = q 3 Noi adopereremo sempre e solo la portata volumetrica e la indicheremo semplicemente con q, senza nessun pedice. Sez. 1Sez. 2Sez. 3

22 LA PORTATA: LA PORTATA: espressione q v = q = V / t = A * h / t = A * v essendo V il volume che attraversa la sezione nel tempo t, e quindi esprimibile con il prodotto fra l'area A della sezione e una altezza h; il rapporto h / t non è altro che la velocità media (****) del liquido e quindi si ottiene l'espressione q = A * v. Tenendo conto della costanza della portata nelle tre sezioni si può scrivere che : q = A 1 v 1 = A 2 v 2 = A 3 v 3 = costante Questo risultato ci assicura che quando la sezione cresce la velocità diminuisce e viceversa. Nella situazione in figura la velocità massima è v 3 nella sezione 3 e quella minima è v 2 nella sezione 2. (****) La velocità varia da punto a punto della sezione per effetto della viscosità

23 NOTA BENE: Bernoulli la portata, e quindi la velocità, dipende dalla suddivisione dell'energia iniziale posseduta dal liquido fra potenziale, di pressione e cinetica, come detto dal teorema di Bernoulli.


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