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GEOMETRIA EUCLIDEA PROF. VINCENZO LO PRESTI. CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI.

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Presentazione sul tema: "GEOMETRIA EUCLIDEA PROF. VINCENZO LO PRESTI. CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI."— Transcript della presentazione:

1 GEOMETRIA EUCLIDEA PROF. VINCENZO LO PRESTI

2 CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI

3 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti GEOMETRIA Letteralmente geometria significa misura (metron) della terra (geo). Lo scopo principale della geometria è quello di studiare e descrivere le forme che luomo riscontra nella natura.

4 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti GEOMETRIA Ricostruire i confini dei campi cancellati dalle inondazioni dei fiumi; Conoscere la capacità di un vaso; Misurare il volume delle costruzioni. Nelle civiltà primitive la geometria aveva un carattere empirico e veniva utilizzata per scopi esclusivamente di ordine pratico:

5 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti STORIA DELLA GEOMETRIA Nella cultura della civiltà greca la geometria nel corso dei secoli venne sottoposta ad un processo di astrazione per opera di matematici e filosofi greci come Talete, Pitagora, Eudosso. Presso la civiltà Assiro-Babilonese la geometria cominciò ad assumere un significato astratto indipendentemente dalla sua funzione pratica.

6 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti GEOMETRIA EUCLIDEA Il processo di astrazione della geometria venne profondamente influenzato da Euclide (III secolo a.c.) che con la sua opera gli Elementi, articolata in ben 13 libri, espose in maniera sistematica e generalizzata tutte le conoscenze di geometria. Nasce quindi la geometria euclidea che per diversi secoli è rimasta il più grande esempio di teoria matematica e di costruzione strutturata delle mente umana.

7 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti STRUTTURA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA TEOREMA DI PITAGORA In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sullipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti TRIANGOLO: un poligono di tre lati POLIGONO: figura geometrica formata da una poligonale e dalla parte finita di piano da essa delimitata POLIGONALE: spezzata chiusa non intrecciata

8 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti GEOMETRIA EUCLIDEA SPEZZATA: due o più segmenti consecutivi SEGMENTO: linsieme dei punti di una retta compresi tra due punti qualsiasi della retta stessa

9 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti STRUTTURA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA CONCETTI PRIMITIVI (elementi di base) POSTULATI ( Regole fondamentali ) NUOVI ENTI Da cui si deducono mediante definizioni mediante dimostrazioni NUOVE PROPRIETA

10 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA Gli enti primitivi sono quei concetti immediati che si suppongono accettati da tutti. Gli enti primitivi della geometria euclidea sono: PUNTO RETTA PIANO

11 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati utilizzando la seguente simbologia: PUNTI: con le lettere maiuscole dellalfabeto A C P B

12 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati utilizzando la seguente simbologia: RETTE: con le lettere minuscole dellalfabeto a r s

13 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati utilizzando la seguente simbologia: PIANI: con le lettere minuscole dellalfabeto greco

14 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti POSTULATI I postulati sono delle affermazioni che si devono accettare a priori, cioè proprietà che si suppongono vere e che pertanto non si dimostrano. (Regole del gioco)

15 POSTULATI DI APPARTENENZA Primo Postulato – Per due punti distinti passa una sola retta AB Secondo postulato – Su di una retta ci sono almeno due punti AB Terzo postulato – Data una retta e un piano che la contiene esiste un punto del piano che non appartiene alla retta

16 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti POSTULATI DI APPARTENENZA DEL PIANO Postulato – Per tre punti non allineati passa un solo piano.

17 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti Postulato – Se due punti di una retta appartengono a un piano allora la retta giace interamente sul piano A B r P POSTULATI DI APPARTENENZA DEL PIANO

18 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti POSTULATI DI ORDINAMENTO Postulato – La retta gode delle seguenti proprietà: P B AR Q la retta è un insieme ordinato di punti (si può fissare sulla retta un verso di percorrenza tra i due possibili) non esiste un primo e un ultimo punto (la retta e illimitata) fra due suoi punti esiste sempre almeno un altro punto (la retta e densa) la retta è un insieme ordinato di punti (si può fissare sulla retta un verso di percorrenza tra i due possibili) non esiste un primo e un ultimo punto (la retta e illimitata) fra due suoi punti esiste sempre almeno un altro punto (la retta e densa)

19 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti PRIME DEFINIZIONI FIGURA GEOMETRICA: Si chiama figura geometrica un qualsiasi insieme di punti. SPAZIO: Si chiama spazio linsieme di tutti i punti.

20 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Semiretta Data una retta orientata su cui viene fissato un punto P, si chiama semiretta linsieme formato da P e da tutti i punti che lo seguono o che lo precedono. P Origine

21 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Segmento Data una retta orientata e due suoi punti A e B, si chiama segmento linsieme dei punti A e B e di quelli che sono compresi tra essi. A Estremo B Estremo

22 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Segmenti consecutivi Due segmenti si dicono consecutivi se hanno un estremo in comune. A B C

23 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Segmenti adiacenti Due segmenti si dicono adiacenti se oltre ad essere consecutivi appartengono alla stessa retta A B C

24 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti Si chiama poligonale un insieme di segmenti consecutivi DEFINIZIONI Lati Vertici A B C D E

25 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti POSTULATO DI PARTIZIONE DEL PIANO Postulato- Data una retta r su un piano, presi due punti qualsiasi A e B del piano, se A e B appartengono alla stessa regione il segmento AB non interseca la retta r, se A e B appartengono a regioni diverse il segmento AB interseca la retta r. A B r A B (Per passare da una parte allaltra si deve per forza attraversare la retta che non può essere aggirata)

26 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Semipiano Data una retta r su di un piano, si chiama semipiano di origine r ciascuna delle due parti in cui il piano viene diviso dalla retta r. Origine o frontiera r

27 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Angolo Date due semirette con lorigine in comune si chiama angolo ciascuna delle due parti in cui viene diviso il piano. Angolo Angolo Lati Vertice

28 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI ab Modi per indicare un angolo a b V B A AVB

29 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Angoli consecutivi:Quando hanno il vertice e un lato in comune a b c V

30 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Angoli adiacentiQuando sono consecutivi e i lati non comuni appartengono alla stessa retta a b c V

31 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Angolo piatto Quando i lati sono semirette opposte. a b V

32 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Angolo giro Quando i lati sono semirette sovrapposte cioè coincidenti e langolo coincide con lintero piano. b V a

33 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Angolo nullo b =0 V a Quando i lati sono semirette sovrapposte cioè coincidenti e langolo comprende soltanto i punti delle semirette.

34 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti Una figura geometrica può essere: Convessa – quando il segmento che unisce due punti qualsiasi della figura appartiene per intero alla stessa figura concava convessa Concava – quando esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non appartiene per intero alla figura FIGURE GEOMETRICHE CONCAVE E CONVESSE

35 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F2F2 F1F1

36 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. V F1F1

37 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. V F1F1

38 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. V F1F1

39 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. V F1F1

40 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. V F1F1

41 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. V F1F1

42 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. V F1F1

43 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. V F1F1

44 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. V F1F1

45 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. V F 1 F 2

46 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti POSTULATO SULLA CONGRUENZA La relazione di congruenza tra figure geometriche è una relazione di equivalenza perchè gode delle proprietà: -Riflessiva – Ogni figura è congruente a se stessa; -Simmetrica – Se F 1 F 2 risulta anche F 2 F 1 -Transitiva – Se F 1 F 2 e F 2 F 3 risulta anche F 1 F 3

47 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti POSTULATO DEL TRASPORTO DEI SEGMENTI Dato un segmento AB e una semiretta di origine O esiste ed è unico il punto P sulla semiretta in modo che OP AB O A B P OP AB

48 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti POSTULATO DEL TRASPORTO DEGLI ANGOLI Dato un angolo ab e un fascio orientato di semirette con origine nella semiretta c, esiste ed è unica la semiretta d tale che cd ab a b O c d cd ab

49 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Lunghezza di un segmento Si chiama lunghezza di un segmento la caratteristica comune che hanno un insieme di segmenti congruenti fra loro

50 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI Ampiezza di un angolo Si chiama ampiezza di un angolo la caratteristica comune che hanno un insieme di angoli congruenti fra loro

51 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti CONFRONTO TRA SEGMENTI C B D Il confronto tra due segmenti viene eseguito sovrapponendoli luno sullaltro in modo da far coincidere un estremo. A C B D A ABCD C B D A AB CD

52 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti SOMMA DI SEGMENTI Dati due segmenti la loro somma è il segmento che si ottiene disponendoli uno adiacente allaltro A B C D A B D C AB+CD=AD

53 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DIFFERENZA DI SEGMENTI Dati due segmenti AB e CD con AB>CD la differenza AB-CD è il segmento DB che si ottiene sovrapponendo i due segmenti facendo coincidere gli estremi A e C. B A C D C D B A AB-CD=DB

54 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti MULTIPLO DI UN SEGMENTO Dato un segmento AB e un numero naturale n>1 si chiama multiplo di AB secondo il numero n la somma di n segmenti congruenti con AB. B A n.AB = AF n=3 B CD E FA

55 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti SOTTOMULTIPLO DI UN SEGMENTO Il seguente postulato (Eudosso-Archimede) ci assicura la divisibilità di un segmento in un numero qualsiasi di segmenti congruenti. B A AC = AB/3 n=3 D C Dato un segmento AB e un numero naturale n>1 esiste ed è unico il sottomultiplo di AB rispetto al numero n B A n=5 E C DF AC = AB/5

56 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO B A Punto medio del segmento AB M Dato un segmento AB esiste ed è unico il punto che divide il segmento in due parti congruenti. Questo punto prende il nome di punto medio. AM MB

57 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti CONFRONTO TRA ANGOLI P a b Q c d R f e S g h b a c d O abef a g b h O ab=gh a a a b

58 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti SOMMA TRA ANGOLI P a b Q c d b b c d O ad= ab+cd a

59 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DIFFERENZA TRA ANGOLI P a b Q c d b a c d O db= ab-cd a

60 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti MULTIPLO DI UN ANGOLO Dato un angolo ab e un numero naturale n>1 si chiama multiplo di ab secondo il numero n la somma di n angoli congruenti con ab. n=3 P a b b d O ad= 3 ab a c

61 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti SOTTOMULTIPLO DI UN ANGOLO Il seguente postulato (Eudosso-Archiemde) ci assicura la divisibilità di un angolo in un numero qualsiasi di angoli congruenti. Dato un angolo ab e un numero naturale n>1 esiste ed è unico il sottomultiplo dellangolo ab rispetto al numero n n=3 P a b ac= ab/3 c n=5 P a b ac= ab/5 c

62 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti BISETTRICE DI UN ANGOLO O a b c Dato un angolo ab esiste ed è unica la semiretta che divide langolo in due parti congruenti. Questa semiretta prende il nome di bisettrice. Bisettrice dellangolo ab ac cb

63 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI O a b c bisettrice Si chiama angolo retto ciascuno dei due angoli in cui la bisettrice divide langolo piatto. Angolo retto

64 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è un angolo piatto P c d Q a b b b c d O Se ab+cd = π gli angoli ab e cd si dicono supplementari a

65 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è un angolo retto P c d Q a b b b c d O Se ab+cd = π/2 gli angoli ab e cd si dicono complementari a

66 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è un angolo giro O Se ab+cd = 2π gli angoli ab e cd si dicono esplementari a d b c

67 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI Un angolo si dice acuto se è minore dellangolo retto Q a b Se ab< π/2 ab è acuto Un angolo convesso si dice ottuso se è maggiore dellangolo retto Q a b Se ab>π/2 ab è ottuso π/2


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