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Parte I: La Fisica come Scienza teorico-sperimentale e concetti di base Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)I propositi.

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2 Parte I: La Fisica come Scienza teorico-sperimentale e concetti di base Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)I propositi della Fisica 2)Le grandezze fisiche ed il concetto di misura 3)Scalari e Vettori 4)I fenomeni fisici come evoluzione spazio-temporale delle grandezze fisiche 5)Algebra dei vettori Corso di Fisica Generale

3 Chiediamoci Perché? 1)Perché il Sole sorge e tramonta? 2)Perché gli oggetti cadono? 3)Perché esistono solidi e fluidi? 4)Perché vedo? 5)Perché ci sono oggetti caldi o freddi? 6)Perché una pallina che rotola sul pavimento si fermerà? 7)Perché ci sono i fulmini? 8)Perché un oggetto esposto al sole si riscalda? 9)Perché il mare ed il cielo sono azzurri? 10)Perché posso udire e produrre suoni? 11)Perché il rosso Ferrari è diverso dal rosso della salsa di pomodoro? 12)Perché il gesso aderisce alla lavagna o una matita scrive? 13)Perché una bussola segna il nord? 14)Perché posso vedere in TV real time una partita di calcio? Milioni sono le domande possibili ed alcune di incredibile sottigliezza. Scoprire le risposte può dare una ineguagliabile gioia, come leggere una poesia o ascoltare della musica. Le domande si riferiscono a fenomeni fisici e la Fisica si occupa di cercare le risposte e di capire come sfruttare ciò che comprendiamo per il progresso dellumanità.

4 La Fisica o Filosofia Naturale Si comincia a fare Fisica nel momento in cui ci si chiede, per esempio: 1)Cosa accade attorno a me? 2)Perché e come avviene un determinato fenomeno? 3)Esistono regolarità e/o analogie fra i fenomeni che osservo? 4)Sono in grado di predire con accuratezza laccadimento di un fenomeno? La Fisica nasce nel momento in cui si cerca di capire la realtà che ci circonda e diventa Scienza nel momento in cui le risposte che si trovano alle domande di cui sopra sono attendibili, condivise e verificabili da chiunque. Delle domande di cui sopra, in particolare la no. 4 è rilevante e differenzia la Fisica da altre Scienze, in cui laspetto classificativo (no. 3) può essere preponderante, quali la Botanica o la Mineralogia.

5 Per far questo è necessario seguire delle procedure che aumentino il grado di confidenza e completezza delle risposte che troviamo, specie se ciò comporta delle predizioni, per le quali non è possibile fare prima la prova. Per esempio: 1)Come fa un ingegnere ad essere SICURO che il viadotto che ha progettato non crollerà? 2)Come si può essere SICURI che un razzo raggiungerà Marte? Per far ciò lUomo ha elaborato il metodo scientifico, la cui rigorosa applicazione pur non essendo assoluta garanzia di correttezza dei risultati è tuttavia il più sicuro metodo di indagine a tuttoggi trovato. In Fisica lapplicazione di tale metodo va sotto il nome di Paradigma

6 Il Paradigma della Fisica La Natura è scritta nel linguaggio della Matematica (G. Galilei) Galileo Galilei, il primo grande fisico sperimentale, si accorse che era possibile riassumere le regolarità osservabili nei fenomeni naturali mediante formule matematiche, a volte anche molto semplici: le Leggi della Fisica. Il suo metodo (provando e riprovando) consisteva nel ripetere, in maniera controllata, molte osservazioni (esperimenti) e dai risultati con un procedimento induttivo stabilire Principi e Leggi. Tale metodo è, per forza di cose, insufficiente: pur essendo molti i casi in cui una Legge è trovata valida, il numero di casi esplorati è comunque limitato ed è una pretesa (induzione) voler applicare tale legge a casi non ancora noti. È la Fisica una scienza sperimentale?

7 Isaac Newton si accorse che una volta postulati i Principi, tuttavia, tramite la Matematica era possibile dedurre altre leggi (a priori) e formulare delle predizioni (un po come la dimostrazione dei teoremi) di fenomeni non ancora verificati o scoperti. La verifica sperimentale (a posteriori) di questi nuovi fenomeni, qualora positiva, dà forza al metodo ed è una conferma indiretta della validità dei Principi. Qualora, al di là di ogni dubbio, il fenomeno predetto non avvenga, allora si è in presenza di un fatto nuovo che implica la necessità di formulare dei nuovi principi a PARZIALE correzione di quelli già stabiliti (falsificazione). È la Fisica è una scienza teorica? La Fisica è quindi una scienza teorico-sperimentale

8 Possiamo quindi individuare la seguente procedura: 1)Osservazione sperimentale di un numero grande ma limitato di fenomeni per postulare la validità generale di Principi e/o Leggi 2)Deduzione teorica di possibili fenomeni dai principi (tesi) 3)Verifica sperimentale delle deduzioni (antitesi) 4)Eventuale correzione dellinsieme dei Principi (sintesi). Osservazioni Principi Predizioni Sì conferma Principi No elaborazione nuovi Principi Verifica Induzione Deduzione

9 I fenomeni fisici e le approssimazioni fatte per descriverli Lo Spazio e il Tempo sono il dominio geometrico in cui avvengono i fenomeni fisici Un fenomeno fisico è caratterizzato dal fatto che alcune grandezze fisiche cambieranno durante il fenomeno. P.es. durante il moto di un corpo, uno dei fenomeni fisici più semplici, la sua posizione cambierà, cioè assumerà posizioni differenti in differenti istanti. Però il moto potrebbe essere complicato dal fatto che il corpo è esteso, e durante il moto esso ruoterà, p.es. come una palla di biliardo. Ancora, potrebbe cambiare forma durante il moto, come un palloncino o una bolla di sapone o lacqua in un bicchiere. In realtà, spesso per comprendere e descrivere un fenomeno (capire cioè perché e come avviene) bisogna ricorrere a modelli idealizzati come il punto materiale od il corpo rigido. Il primo fornisce esaurienti spiegazioni se non siamo interessati alle rotazioni ma solo alle traslazioni dei corpi; il secondo se non siamo interessati alle deformazioni che il corpo subisce durante il suo moto I risultati, cioè le leggi che si troveranno una volta stabilito un modello, varranno rigorosamente solo per esso: i risultati che troveremo per un punto materiale non si potranno estendere al caso di un corpo esteso, se le eventuali rotazioni e deformazioni di questo giocano un ruolo predominante. Larte del fisico o dellingegnere sta nel capire quanto i risultati di un dato modello sono applicabili ai casi reali.

10 Le grandezze fisiche Esempi di grandezze fisiche sono il volume di un corpo, la sua massa, la sua temperatura, la velocità del suo centro di massa, la sua energia, etc.. Levoluzione spazio-temporale delle grandezze fisiche sono i fenomeni fisici Tutte le possibili grandezze fisiche hanno un comune requisito: devono essere misurabili Ciò implica che per definire una grandezza fisica qualsivoglia sia necessario individuare un esperimento che consenta di assegnare un numero (reale) alla grandezza in esame, consenta cioè di effettuare la misura. La lunghezza di un tavolo è una grandezza fisica: posso definire una unità di misura, e.g. il metro (m), e per confronto diretto determinare il rapporto fra la lunghezza e lunità stessa. Tale metodo di misura si dice diretto. Un procedimento analogo può essere usato per misurare i tempi (cronometro) o le masse (bilancia). Le grandezze Lunghezza, Massa e Tempo si dicono grandezze fondamentali: tutte le altre grandezze fisiche possono essere espresse come prodotti o rapporti di potenze (dimensioni) di queste tre grandezze. Spessissimo, ma non sempre, le grandezze fisiche hanno dimensioni

11 Per moltissime grandezze fisiche spesso non è possibile individuare un esperimento che consenta una misura diretta Per esempio, per misurare una velocità (che è il rapporto fra una distanza ed il tempo impiegato a percorrerla) è necessario, in linea di principio, eseguire due misurazioni (lunghezza e tempo). Ovvero ciò può essere effettuato da uno strumento di misura (il tachimetro) opportunamente tarato. Un tale metodo di misura si dice indiretto. La seconda equazione si chiama equazione dimensionale e precisa quale combinazione delle grandezze fondamentali fornisce le dimensioni della velocità: lunghezza per tempo a –1. In Fisica, in qualunque equazione le dimensioni del primo membro devono essere le stesse del secondo membro, ovvero gli addendi di una somma devono avere tutti le stesse dimensioni: se ciò non accade la formula è semplicemente sbagliata. Si noti come il prodotto (o il rapporto) di due grandezze fisiche estenda il significato della operazione di moltiplicazione (divisione)

12 I Sistemi di Unità di Misura Una misurazione diretta di una grandezza fisica, ovvero il confronto diretto fra la grandezza che si vuol misurare ed una unità di misura è possibile solo per le tre grandezze fondamentali, lunghezza, massa e tempo. La scelta delle unità di misura è ovviamente arbitraria. Tuttavia un requisito fondamentale delle leggi fisiche è il fatto che esse si riferiscono a fenomeni riproducibili. Di conseguenza è altamente desiderabile che in differenti parti del mondo uno stesso esperimento dia lo stesso risultato anche dal punto di vista numerico. Questo è il motivo per cui si è deciso di usare il cosidetto Sistema Internazionale (SI), nel quale le unità di misura scelte sono il Metro, il Kilogrammo ed il Secondo (MKS) Una scelta equivalente, basata sempre su un sistema decimale, è il Centimetro, il Grammo ed il Secondo (CGS) Esistono naturalmente molti altri sistemi, specie per le lunghezze, i volumi e le masse, spesso usati nei paesi anglosassoni. P.es.: 1 Pollice(inch)= m; 1 Piede(foot)= m; 1 Miglio(mile)=1609,3 m; 1 anno luce(ly)=9.46 x m; 1 raggio di Bohr(a 0 )= x m 1 Libbra(lb o pound)=0.454 Kg; 1 Oncia(oz)=75,666 g 1 Pinta (pint)=0.564 Litri=0.564 dm 3 (i numeri indicati in rosso si chiamano COSTANTI UNIVERSALI)

13 Alcune classificazioni delle grandezze fisiche Una prima classificazione per le grandezze fisiche le divide in grandezze fisiche ESTENSIVE ed INTENSIVE Lunghezze, aree, volumi, massa sono ovviamente estensive: sono una misura della estensione dei corpi Altre grandezze, invece non dipendono dalla estensione di un corpo, p.es. la densità, la pressione, la temperatura, e si chiamano intensive. Unaltra possibile differenziazione fra le grandezze fisiche è la loro natura SCALARE, VETTORIALE O TENSORIALE. Una grandezza scalare è individuata da un solo numero. La massa di un corpo è, ovviamente una grandezza scalare. Così la temperatura o la densità, o ancora lenergia.

14 Palermo Catania Messina Molte altre grandezze sono caratterizzate da almeno tre quantità. P.es. dire che una una automobile viaggia a 100Km/ora non è abbastanza: bisogna pure dire se viaggia, p.es. sulla Messina-Palermo o sulla Messina-Catania o ancora sulla Palermo-Catania. Ma non basta ancora: bisogna dire se viaggia da Messina verso Palermo o viceversa. Ciascuno dei casi precedenti, infatti corrisponde ad un fenomeno fisico diverso. Questa la velocità è un vettore diversità può essere tenuta in conto dicendo che la velocità è un vettore: essa è caratterizzata da tre quantità 1)modulo (100 Km/ora), 2)direzione (la retta, i questo caso lautostrada lungo la quale lautomobile viaggia) 3)verso (Palermo-Catania o Catania-Palermo)

15 Naturalmente se lautomobile non viaggia in linea retta (e.g. in curva) la sua velocità è diversa istante per istante, anche se il tachimetro segna sempre lo stesso valore: infatti la direzione della velocità (la tangente alla linea curve percorsa dalla automobile) è diversa in ogni istante, quindi in ogni istante la velocità è un vettore diverso. La natura tensoriale di altre grandezze sta nelle seguenti considerazioni: Se applico una sollecitazione ad un corpo, lungo un verso ed una direzione arbitrari, la maniera con cui il corpo reagisce potrebbe avvenire lungo una direzione diversa da quella della sollecitazione. Vedremo come la sollecitazione (causa) ed il comportamento del corpo (effetto) siano legati da una funzione che le accoppia: spesso questa funzione, detta funzione di risposta, ha una natura tensoriale. Nei corsi di Geometria e Meccanica Razionale vedrete come un vettore è un tensore di Rango 1, mentre i tensori propriamente detti sono tensori di rango 2,3,…etc.. Gli scalari sono tensori di Rango 0 È possibile fare delle operazioni algebriche con i vettori, e.g. somma, prodotto etc., ma il significato di queste operazioni è profondamente diverso da quello delle operazioni fra scalari Dobbiamo discutere velocemente lalgebra dei vettori che ci serviranno prestissimo per comprendere il significato di molte grandezze fisiche.

16 Si definisce somma di due vettori(prop.commutativa) Visto che i due vettori addendi possono avere due direzioni differenti la somma si effettua con la regola del parallelogramma La differenza fra due vettori è analoga alla somma, basta cambiare il verso al secondo vettore Algebra dei vettori: somma e differenza Clicca per esercitazione

17 È possibile moltiplicare uno scalare per un vettore. In tal caso il risultato sarà un vettore parallelo a quello di partenza ed il cui modulo è il semplice prodotto dello scalare per il modulo del vettore Ne segue che è sempre possibile rappresentare un vettore come prodotto di uno scalare pari al suo modulo ed un vettore di modulo unitario detto versore Algebra dei vettori: prodotto di un vettore per uno scalare

18 Si definisce prodotto scalare di due vettori la quantità scalare che si ottiene moltiplicando i moduli dei due vettori ed il coseno dellangolo compreso (proprietà commutativa) Ovvero il prodotto del modulo del primo (secondo) per la proiezione del secondo (primo) lungo la direzione del primo ab 1)Se due vettori sono perpendicolari ( ab = /2) il loro prodotto scalare è nullo (cos ab =0) 2)Se langolo ab è ottuso (acuto) il loro prodotto scalare è negativo (cos ab <0) 3)Se i due vettori sono paralleli ( ab =0) il prodotto scalare è massimo (cos ab =1) 4)Il prodotto scalare di un vettore per sé stesso è pari al quadrato del modulo del vettore ab Algebra dei vettori: prodotto scalare

19 Si definisce prodotto vettoriale fra due vettori un vettore diretto perpendicolarmente al piano definito dai due vettori fattori, il cui modulo è pari allarea del parallelogramma descritto dai due fattori ed il cui verso è dato dalla regola della mano destra: immaginando di far ruotare il primo vettore verso il secondo ed orientando la mano destra nel senso di rotazione, il verso del vettore prodotto è quello del pollice (destro). (proprietà anticommutativa) ab ATTENZIONE: Non è definita loperazione di divisione fra vettori Algebra dei vettori: prodotto vettoriale

20 Un punto in un piano può essere rappresentato da una coppia di numeri reali Scegliendo unorigine e due assi perpendicolari (ortogonali), si può stabilire una corrispondenza biunivoca fra i punti e due numeri reali: le coordinate cartesiane P (x 0,y 0 ) x0x0 y0y0 x y O Ma quello stesso punto può essere individuato definendo un vettore, il cui modulo è dato dalla distanza del punto dallorigine, la cui direzione è data dalla retta congiungente lorigine con il punto ed il cui verso va dallorigine al punto Anche gli assi coordinati possono essere identificati da due vettori di modulo unitario: i versori Rappresentazione dei vettori

21 Si noti come le proiezioni del vettore sugli assi cartesiani siano appunto le coordinate. Queste sono ricavabile per mezzo del prodotto scalare con i versori P (x 0,y 0 ) x0x0 y0y0 x y O Allora usando la regola del parallelogramma si può scrivere Le quantità x 0 e y 0 si chiamano le componenti del vettore lungo i rispettivi assi e sono quantità scalari, mentre i vettori si chiamano i vettori componenti del vettore dato

22 Tecnicamente lespressioneè una combinazione lineare Abbiamo cioè rappresentato il vettorein termini dei versori E le componenti x 0 e y 0 sono i coefficienti della combinazione lineare Il motivo per cui la cosa funzione è che il set È ortonormale e completo rispetto alloperazione di prodotto scalare Ortonormalità: Completezza: non esiste nessun altro vettore che goda della proprietà di ortonormalità che non coincida con uno degli elementi del set (due sole dimensioni!!!) Naturalmente questa decomposizione è possibile per qualunque vettore, non solamente per il vettore posizione usato per lesempio precedente: lunica differenza sarà che le dimensioni fisiche delle componenti non saranno lunghezze, ma, p.es. velocità, forza, etc. Si noti che se avessimo scelto un sistema di assi differente (per esempio ruotato rispetto a quello usato, ovvero avessimo scelto unaltra origine O, la rappresentazione sarebbe stata ugualmente valida, solo che i valori di x 0 ed y 0 sarebbero stati diversi Alcune considerazioni sullo sviluppo precedente

23 P (x 0,y 0 ) x0x0 y0y0 x y O Ox y x0x0 y0y0 P (x 0,y 0 ) x0x0 y0y0 x y O y x x0x0 y0y0

24 Naturalmente, il caso più interessante per la Fisica Classica è quello dello spazio tridimensionale. La rappresentazione dei vettori è facilmente estendibile introducendo un terzo versore perpendicolare al piano individuato dai primi due (di solito il piano orizzontale) x y z P (x 0,y 0,z 0 ) y0y0 x0x0 z0z0 Si ha: Si ha inoltre:(permutazioni cicliche) Vettori in tre dimensioni (3D)

25 In termini delle componenti cartesiane le operazioni fra vettori assumono le seguenti forme Somma o differenza Prodotto Prodotto scalare Prodotto vettoriale Operazioni vettoriali in termini delle componenti

26 Invece delle coordinate cartesiane conviene spesso usare dei sistemi di coordinate diversi che possano faciltare la soluzione dei problemi, la cui scelta è spesso dettata dalla simmetria del problema Riferendoci al caso del piano (2D), una scelta alternativa alle coordinate cartesiane è quella delle coordinate polari, in cui il punto si individua dando la distanza r dallorigine, detta in questo caso polo, e langolo formato dalla congiungente lorigine col punto e lasse delle x P (x 0,y 0 ) (r, ) x y O x0x0 y0y0 Formule di trasformazione cartesiane-polari 2D Coordinate Polari

27 Coordinate polari cilindriche P z r Coordinate polari sferiche x y z r P


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