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Disequazioni lineari Disequazioni lineari Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo.

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Presentazione sul tema: "Disequazioni lineari Disequazioni lineari Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo."— Transcript della presentazione:

1 Disequazioni lineari Disequazioni lineari Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo

2 2 è una disuguaglianza Unespressione nella quale figurino i simboli minore di es. 2² < 2³ (2² minore di 2³) maggiore di es. 24 > 23 (24 maggiore di 23) minore o uguale a es. a b (a minore o uguale a b) maggiore o uguale a es. 2b c (2b maggiore o uguale a c)

3 3 Disuguaglianza Il simbolo tra due espressioni corrisponde alla seguente coimplicazione logica: a b ab a=b

4 4 Principi delle disuguaglianze Sommando o sottraendo ai due membri di una disuguaglianza lo stesso numero, il senso della disuguaglianza non cambia: a>b a+c>b+c a>b a-c>b-c 12 > > > > > > < < < < < < -3-2 a,b,c R

5 5 Moltiplicando o dividendo i due membri di una disuguaglianza per lo stesso numero positivo, il senso della disuguaglianza non cambia: a>b c>0 ac>bc a>b c>0 a/c>b/c 12 > > > 4 12/2 > 4/2 -5 > > < < < 9 6/3 < 9/3 -8 < -4 -8/2 < -4/2 Principi delle disuguaglianze a,b,c R c>0

6 6 Moltiplicando o dividendo i due membri di una disuguaglianza per lo stesso numero negativo, cambia il senso della disuguaglianza: a>b c<0 acb c<0 a/c 5 12 (-3) < 5 (- 3) 12 > 4 12/(-2) < 4/(-2) -5 > (-2) <-7 (-2) 5 7 (-2) 6 9/(-3) -8 -4/(-2) Principi delle disuguaglianze a,b,c R C<0

7 7 Sommando membro a membro due disuguaglianze dello stesso senso, si ottiene una disuguaglianza dello stesso senso. a>b c>d a+c>b+d a5 7> > >4 4> > 4+(-2) 7>4 5>2 7-5 = 4-2 5<7 3<6 5+3 < <-5 -2<-1 -6+(-2) < -5+(-1) Principi delle disuguaglianze a,b,c,d R Sottrarre membro a membro due disuguaglianze dello stesso senso, produce invece risultati imprevedibili !!!

8 8 Sottraendo due numeri disuguali da uno stesso numero, le differenze sono disuguali in senso contrario alla disuguaglianza dei sottraendi: a>b c-a < c-b a c-b 8 > 5 9-8< > < 8-(-4) -5 > (-5)<-2-(-7) (-4) Principi delle disuguaglianze a,b,c R

9 9 Il prodotto membro a membro di due disuguaglianze dello stesso senso tra numeri positivi, dà una disuguaglianza dello stesso senso. a>b c>d ac>bd a5 7>3 6 x 7 > 5 x 3 5<7 3<6 5 x 3 < 7 x 6 Principi delle disuguaglianze a,b,c,d R +

10 10 Se due numeri positivi sono disuguali la disuguaglianza dei loro reciproci ( o inversi ) ha senso contrario. a>b 1 < 1 a b a 1 a b 4 > 2 1 < Principi delle disuguaglianze a,b R

11 11 La potenza con lo stesso esponente intero positivo dei due membri di una disuguaglianza tra numeri positivi, dà una disuguaglianza dello stesso senso. a > b a n > b n a < b a n < b n 4 > > 2 2 Principi delle disuguaglianze a,b R + n No 3 < 4 3

12 12 La potenza con esponente intero positivo dei due membri di una disuguaglianza tra numeri negativi, cambia il senso della disuguaglianza se lesponente è pari, lo conferma se lesponente è dispari. a>b a 2n b a 2n+1 >b 2n+1 -4 > -5 (-4) 2 < (-5) 2 Principi delle disuguaglianze a,b R - n No -3>-4 (-3) 3 > (-4) 3 a b 2n a

13 13 La potenza con esponente positivo dispari dei due membri di una disuguaglianza tra numeri di segno opposto, conserva il senso della disuguaglianza; con lesponente pari, non è certo in generale il senso. a>b a 2n ?>=b a 2n+1 >b 2n+1 4 > -5 (4) 2 < (-5) 2 Principi delle disuguaglianze a,b R a>0 b<0 n No 4 > -4 (4) 2 = (-4) 2 4 > -3 (4) 2 > (-3) 2 3>-4 (3) 3 > (-4) 3 3>-3 (3) 3 > (-3) 3 3>-2 (3) 3 > (-2) 3

14 14 La radice n-esima con indice positivo dei due membri di una disuguaglianza tra numeri positivi, conserva il senso della disuguaglianza. 81 > > 4 16 Principi delle disuguaglianze a,b R a>0 b>0 n No 25 < 36 a>b n a> n b

15 15 Si definisce disequazione una disuguaglianza in cui figurino una o più lettere come incognite. disequazioni 2x – 8 > 0 primo membro secondo membro Se lincognita compare solo al numeratore la disequazione si dice intera, altrimenti fratta Se figurano altre lettere oltre lincognita la disequazione si dice letterale, altrimenti numerica

16 16 disequazioni frazionaria intera Intera parametrica frazionaria parametrica

17 17 disequazioni soluzione Un numero è una soluzione di una disequazione se, sostituito allincognita, la trasforma in una disuguaglianza vera 10 è una soluzione di questa disequazione 2x – 8 > 0 infatti 2 x 10–8=12 > 0

18 18 disequazioni Dominio Il dominio di una disequazione in una variabile è linsieme dei valori ( generalmente infiniti ) che, sostituiti alla variabile, trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera o falsa La disequazione a destra ha per dominio tutti i numeri reali ( è definita per qualunque valore di x ) quindi D R 2x – 8 > 0 La disequazione a sinistra non è definita per x=3 ( si annulla il denominatore ) quindi D=R- 3 2x-8 x-3 > 0

19 19 disequazioni Dominio 2x–8 > 0 2x-8 x-3 > 0 Y=2x–8 2x-8 x-3 y= x=3 La retta è definita da - a + ; esiste quindi un valore di y per qualunque valore reale di x D=R Liperbole è definita da - a +, tranne per x=3 perchè il denominatore si annulla, quindi D=R- 3

20 20 disequazioni Insieme delle soluzioni Linsieme delle soluzioni è linsieme di tutti i valori ( generalmente infiniti ) che, sostituiti allincognita, trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera Tutti i numeri reali > di 4 costituiscono linsieme delle soluzioni di questa disequazione 2x – 8 > 0 ovvero S= x R x>4 2x-8 x-3 >0 Per questa disequazione invece S= x R x>4 x<3 il grafico consente di comprendere meglio

21 21disequazioni 2x–8 > 0 2x-8 x-3 > 0 Y=2x–8 2x-8 x-3 y= x=3 Linsieme delle soluzioni è costituito da tutti i valori di x per cui le disequazioni diventano disuguaglianze vere. Graficamente ciò corrisponde ai valori di x per cui y>0 ( linea sul semipiano delle ordinate positive ) quindi: Insieme delle soluzioni S= x R x>4 S= x R x>4 x<3 Per la retta Per liperbole

22 22 Un equazione determinata ammette un numero massimo di soluzioni pari al suo grado. x²-5x+6 0 S= x R x 2 x 3 disequazioni la disequazione Ammette questo insieme di soluzioni Una disequazione determinata ammette, in generale, infinite soluzioni che fanno parte di uno o più intervalli, limitati o illimitati.

23 23 disequazioni Anche in questo caso, il significato della soluzione emerge con chiarezza dalla rappresentazione grafica. La soluzione della disequazione coincide con la soluzione del seguente sistema: y = x²-5x+6 y 0 x²-5x+6 0 Si tratta quindi di trovare i punti della parabola, rappresentata dalla prima equazione, comuni al semipiano delle ordinate maggiori o uguali a zero

24 24 disequazioni y=x²-5x+6 S= x R x 2 x 3 y = x²-5x+6 y 0 x²-5x+6 0

25 25 disequazioni S= x R x 2 x 3 y = x²-5x+6 y 0 x²-5x+6 0 Linsieme delle soluzioni si può rappresentare anche con le parentesi (- ;2] [3;+ ) 8 8 Le parentesi quadre [ ] indicano che lestremo è compreso, le tonde ( ) indicano che lestremo è escluso

26 26 Sommando o sottraendo ai due membri di una disequazione lo stesso numero o la stessa espressione algebrica definita nello stesso dominio, si ottiene una disequazione equivalente alla data. Principi di equivalenza delle disequazioni Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per lo stesso numero positivo o per la stessa espressione algebrica sempre positiva nello stesso dominio della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente alla data. Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per lo stesso numero negativo o per la stessa espressione algebrica sempre negativa nello stesso dominio, si ottiene una disequazione equivalente alla data solo se si cambia il verso del simbolo di disuguaglianza.

27 27 FFFiFiFinFinFineFine Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo


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