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APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti MENU NUMERI REALI Insiemi numerici Criteri di divisibilità Addizione Sottrazione Moltiplicazione Divisione Potenza.

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1 APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti MENU NUMERI REALI Insiemi numerici Criteri di divisibilità Addizione Sottrazione Moltiplicazione Divisione Potenza Radice POLINOMI Prodotti notevoli Divisioni Scomposizioni FRAZIONI ALGEBRICE Semplificazione Moltiplicazione e divisione Potenza Somma Algebrica Sviluppo Espressioni frazionarie Espressioni con radicali EQUAZIONI Principi di equivalenza Equazioni lineari Equazioni fratte Equazioni letterali Equazioni di 2° grado Equazioni parametriche Equazioni di grado superiore al 2° Equazioni irrazionali SISTEMI Sistemi lineari Metodo di sostituzione Metodo di addizione Metodo di confronto Metodo di Cramer Metodo grafico Sistemi letterali DISEQUAZIONI Studio del segno di primo grado Studio del segno di 2° grado Principi di equivalenza Dis. di 1° grado Dis. di 2° grado Dis. fratte Sistemi di dis. Dis. di grado superiore al 2° Dis. con valori assoluti GEOMETRIA Definire e dimostrare Principali teoremi Algebra applicata alla geometria

2 1. Numeri Numeri 2. Polinomi Polinomi 3. Frazioni algebriche Frazioni algebriche Frazioni algebriche 4. Equazioni Equazioni 5. Sistemi Sistemi 6. Disequazioni Disequazioni 7. Geometria Geometria MENU

3 1. NUMERI Insiemi numerici Insiemi numerici Insiemi numerici Insiemi numerici Criteri di divisibilità Criteri di divisibilità Criteri di divisibilità Criteri di divisibilità Addizione Addizione Addizione Sottrazione Sottrazione Sottrazione Moltiplicazione Moltiplicazione Moltiplicazione Divisione Divisione Divisione Potenza Potenza Potenza Radice Radice Radice MENU

4 INSIEMI NUMERICI 1. Naturali ={0,1,2,3,4…} 2. Interi ={…-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3…} 3. Razionali ={interi, decimali finiti, decimali illimitati periodici} ={x|x=p/q, p e q * } 4. Reali ={razionali, irrazionali} (irrazionali: decimali illimitati non periodici) 5. Complessi ={reali, i} i=-1 unità immaginaria

5 +positivi -negativi es. - ={-1,-2,-3…} *escluso lo zero *escluso lo zero es. * ={…-3,-2,-1,+1,+2,+3…} aassoluti es. a ={0,1,2,3…}= es. a ={0,1,2,3…}= 0con laggiunta dello zero es. - o ={0,-1,-2,-3…} es. - o ={0,-1,-2,-3…}

6 CRITERI DI DIVISIBILITA 2: ultima cifra multipla di 2 (0,2,4,6,8) 5: ultima cifra multipla di 5 (0,5) 4: ultime due cifre multiplo di 4 (00,04,16,52,76…sono 25) 25: ultime due cifre multiplo di 25 (00,25,50,75) 8: ultime tre cifre multiplo di 8 (000,432,520…sono 125) 125: ultime tre cifre multiplo di 125 (000,125,250,375,500,625,750,875)

7 3:somma delle cifre multiplo di 3 (357,84…) 9:somma delle cifre multiplo di 9 (927,801…) 11:la differenza tra la somma delle cifre di posto pari con la somma delle cifre di posto dispari, multiplo di 11 (71533…) Nota: 7 e 13 esiste ma non è utilizzata

8 ADDIZIONE 1. Operazione interna 2. Commutativa 3. Associativa 4. Esiste 0 elemento neutro 5. Esiste il simmetrico di a: -a (opposto)

9 SOTTRAZIONE 1. Invariantiva: se si somma o si sottrae uno stesso numero sia al minuendo che al sottraendo, la differenza non cambia

10 MOLTIPLICAZIONE 1. Operazione interna 2. Commutativa 3. Associativa 4. Distributiva rispetto alladdizione e alla sottrazione 5. Esiste 1 elemento neutro 6. Esiste il simmetrico di a (se a0): 1/a (reciproco) 7. Esiste 0 elemento assorbente 8. Legge di annullamento del prodotto

11 DIVISIONE 1. Invariantiva: se si moltiplicano o si dividono sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero diverso da zero, il quoziente non cambia mentre il resto se cè viene moltiplicato o diviso per lo stesso numero 2. Distributiva (solo da una parte) MENU

12 POTENZA Definizioni Definizioni Definizioni Proprietà Proprietà Proprietà Note Note Note

13 a n a base n esponente a n potenza n se n=0 e a0:a 0 = 1 se n=0 e a0:a 0 = 1 se n=1: a 1 = a se n=1: a 1 = a se n2: a n = aaa a (n volte) se n2: a n = aaa a (n volte) se n<0 e a0:a n = (1/a) -n se n<0 e a0:a n = (1/a) -n se n=0 e a=0:0 0 indeterminata se n=0 e a=0:0 0 indeterminata n se n=p/q e q0: a n = q a p se n=p/q e q0: a n = q a p DEFINIZIONI

14 PROPRIETA 1. Il prodotto di due o più potenze con ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti 2. Il quoziente di due potenze con ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti

15 3. Il prodotto di due o più potenze con ugual esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente Oppure Proprietà distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazione: la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori. 4. Il quoziente di due potenze con ugual esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente Oppure Proprietà distributiva della potenza rispetto alla divisione: la potenza di un quoziente è uguale al quoziente delle potenze del dividendo e del divisore

16 5. La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti

17 NOTE 1. In una espressione si applicano prima le proprietà delle potenze o si calcolano con la definizione, poi si eseguono le moltiplicazioni e le divisioni, così come si presentano, e infine le addizioni e le sottrazioni Se nelle espressioni ci sono delle parentesi bisogna cominciare a risolvere da quelle più interne

18 2. Le proprietà delle potenze sovvertono le priorità delle operazioni. Bisogna dare sempre la precedenza alle proprietà piuttosto che alle definizioni 3. Se non cè la parentesi lesponente è riferito solo al numero immediatamente alla sua sinistra 4. Una potenza con esponente pari è sempre positiva; una potenza con esponente dispari conserva il segno della base

19 RADICE Definizioni Definizioni Definizioni Proprietà Proprietà Proprietà Note Note Note

20 DEFINIZIONI n a a radicando n indice n a radicale n a = b se e solo se b n = a a,b n * radicali algebrici a,b n * radicali algebrici a,b a n * radicali aritmetici a,b a n * radicali aritmetici

21 se n=0: 0 apriva di significato se n=0: 0 apriva di significato se n=1: 1 a= a se n=1: 1 a= a se n=2: 2 a=a radice quadrata se n=2: 2 a=a radice quadrata se n=3: 3 aradice cubica se n=3: 3 aradice cubica se n>0: n 0=0 se n>0: n 0=0

22 PROPRIETA 1. Proprietà invariantiva: il valore di un radicale aritmetico non cambia se si moltiplicano o si dividono lindice della radice e lesponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da 0 2. Il prodotto di due o più radicali aventi lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi Oppure Proprietà distributiva della radice rispetto alla moltiplicazione: la radice di un prodotto è uguale al prodotto dei singoli radicali

23 3. Il quoziente di due o più radicali aventi lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi Oppure Proprietà distributiva della radice rispetto alla divisione: la radice di un quoziente è uguale al quoziente dei singoli radicali 4. La potenza di un radicale è uguale a un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando la potenza del radicando 5. La radice di una radice è una radice che ha per indice il prodotto degli indici e per radicando lo stesso radicando

24 NOTE 1. Sviluppare lespressione sotto radice Lavorare con il radicale Operare tra i radicali 2. Non si lasciano radici al denominatore e denominatori sotto radice MENU

25 2. POLINOMI Prodotti notevoli Prodotti notevoli Prodotti notevoli Prodotti notevoli Divisioni Divisioni Divisioni Scomposizioni Scomposizioni Scomposizioni MENU

26 PRODOTTI NOTEVOLI 1. Prodotto somma per differenza (A+B)(A-B)=A 2 -B 2 2. Quadrato di binomio (A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 (A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 3. Quadrato di trinomio (A+B+C) 2 =A 2 +B 2 +C 2 +2AB+2AC+2BC (A+B+C) 2 =A 2 +B 2 +C 2 +2AB+2AC+2BC 4. Cubo di binomio (A+B) 3 =A 3 +3A 2 B+3AB 2 +B 3 (A+B) 3 =A 3 +3A 2 B+3AB 2 +B 3

27 5. Prodotto somma (differenza) per il suo falso quadrato (A+B)(A 2 -AB+B 2 )=A 3 +B 3 (A+B)(A 2 -AB+B 2 )=A 3 +B 3 (A-B)(A 2 +AB+B 2 )=A 3 -B 3 (A-B)(A 2 +AB+B 2 )=A 3 -B 3 6. Potenza di binomio il polinomio consta di n+1 termini, ciascuno è il prodotto del coefficiente (preso dal triangolo di Tartaglia) per le potenze decrescenti del primo termine (da n a 0) per le potenze crescenti del secondo (da 0 a n)

28 DIVISIONI Divisione tra due polinomi Divisione tra due polinomi Divisione tra due polinomi Divisione tra due polinomi Divisione con la regola di Ruffini Divisione con la regola di Ruffini Divisione con la regola di Ruffini Divisione con la regola di Ruffini

29 DIVISIONE TRA DUE POLINOMI 1. Il dividendo deve essere ordinato e completo 2. Il divisore ordinato 3. Il grado del quoziente è uguale alla differenza dei gradi del dividendo e del divisore 4. Il grado del resto è minore del grado del divisore 5. La divisione termina quando il grado del resto diventa minore del grado del divisore 6. Prova B. Q+R=A A dividendoB divisore Q quozienteR resto

30 DIVISIONE CON RUFFINI 1. Il dividendo A(x) deve essere ordinato e completo 2. Il divisore (x-a) deve essere un binomio ordinato di primo grado con il primo coefficiente uguale a 1 3. Il resto R è un termine di grado 0 4. Nella regola di Ruffini si utilizzano solo i coefficienti 5. Teorema del resto: R=A(a) (il resto è il valore che il dividendo assume in a, cioè il valore che si ottiene sostituendo a al posto di x) 6. Se il primo coefficiente non è 1 è possibile effettuare la divisione con Ruffini dopo averla opportunamente modificata applicando la proprietà invariantiva

31 SCOMPOSIZIONI Definizioni Definizioni Definizioni Uso Uso Uso

32 DEFINIZIONI 1. Raccoglimento a fattor comune AM+BM+CM=M(A+B+C) Regola. Si individua il MCD; si mette in evidenza e si moltiplica per il polinomio ottenuto divedendo ciascun termine per il MCD. È linverso della proprietà invariantiva. 2. Raccoglimenti successivi AM+BM+AN+BN=M(A+B)+N(A+B)=(A+B)(M+N) Regola. Si effettua quando non è possibile raccogliere a fattor comune ma solo a 2 a 2 oppure a 3 a 3. Ci deve essere un numero pari di termini o 9. Il secondo passaggio è sempre il raccoglimento a fattor comune.

33 3. Differenza di due quadrati A 2 -B 2 =(A+B)(A-B) Regola. Si moltiplica la somma delle basi per la loro differenza. 4. Trinomio quadrato di binomio A 2 +2AB+B 2 =(A+B) 2 5. Quadrinomio cubo di binomio A 3 +3A 2 B+3AB 2 +B 3 =(A+B) 3 6. Polinomio quadrato di trinomio A 2 +B 2 +C 2 +2AB+2AC+2BC=(A+B+C) 2

34 7. Somma o differenza di due cubi A 3 +B 3 =(A+B)(A 2 -AB+B 2 ) A 3 -B 3 =(A-B)(A 2 +AB+B 2 ) 8. Trinomio notevole X 2 +(A+B)X+AB=(X+A)(X+B) Regola. È un trinomio ordinato in cui il primo termine ha grado doppio del secondo e il terzo è noto. Il primo coefficiente è 1; il secondo è la somma di due termini e il terzo è il prodotto degli stessi.

35 9. Ruffini. Si applica in presenza di un polinomio ordinato. E la prova di una divisione di cui si conosce solo il dividendo A(x) (il polinomio da scomporre); il divisore (x-a) si cerca per tentativi; il quoziente Q(x) si trova con la regola di Ruffini; il resto R deve essere zero. prova: A(x)=Q(x)(x-a)+R, R=0 a: si cerca tra i divisori del termine noto o tra le frazioni aventi al numeratore i divisori del termine noto e al denominatore i divisori del primo coefficiente in modo che R=0

36 1. Due termini: - raccoglimento a fattor comune - differenza di due quadrati - somma o differenza di due cubi - Ruffini 2. Tre termini: - raccoglimento a fattor comune - trinomio quadrato di binomio - trinomio notevole - Ruffini USO

37 NOTE 1. Se ci sono delle frazioni spesso conviene fare il denominatore comune e poi scomporre il numeratore 2. Si raccoglie il primo segno che si incontra 3. Le parentesi quadre diventano tonde e le tonde si eliminano facendo i calcoli 4. Per iniziare e per finire una scomposizione è necessario scomporre i polinomi dentro le parentesi

38 3. Quattro termini: - raccoglimento a fattor comune - raccoglimenti successivi - quadrinomio cubo di binomio - misto - Ruffini 4. Cinque o più termini: - raccoglimento a fattor comune - raccoglimenti successivi (solo con sei, otto, nove termini …) nove termini …) - polinomio quadrato di trinomio - misto - Ruffini MENU

39 3. FRAZIONI ALGEBRICHE Semplificazione Semplificazione Semplificazione Moltiplicazione e divisione Moltiplicazione e divisione Moltiplicazione e divisione Moltiplicazione e divisione Potenza Potenza Potenza Somma algebrica Somma algebrica Somma algebrica Somma algebrica Sviluppo espressioni Sviluppo espressioni Sviluppo espressioni Sviluppo espressioni Espressioni frazionarie Espressioni frazionarie Espressioni frazionarie Espressioni frazionarie Espressioni con i radicali Espressioni con i radicali Espressioni con i radicali Espressioni con i radicali MENU

40 SEMPLIFICAZIONE 1. Scomporre il numeratore e il denominatore 2. Individuare il dominio della frazione (cioè escludere quei valori che annullano ciascun fattore del denominatore: C.E. condizioni di esistenza) 3. Semplificare i fattori

41 MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE 1. Scomporre tutti i numeratori e tutti i denominatori 2. Individuare il dominio della frazione (…) 3. Semplificare un qualsiasi fattore al numeratore con un qualsiasi fattore al denominatore

42 POTENZA 1. Scomporre il numeratore e il denominatore 2. Indicare il dominio della frazione (…) 3. Semplificare 4. Applicare la proprietà distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazione e alla divisione

43 SOMMA ALGEBRICA 1. Scomporre i denominatori sotto 2. Indicare il dominio della frazione (…) 3. Scomporre i numeratori sopra solo se si vede la possibilità di semplificare la frazione 4. Individuare il m.c.m. dei denominatori 5. Fare il denominatore comune 6. Fare i calcoli al numeratore 7. Scomporre il numeratore 8. Semplificare la frazione MENU

44 SVILUPPO ESPRESSIONI 1. Eseguire prima le operazioni dentro parentesi 2. Ordine delle operazioni: - potenze - moltiplicazioni e/o divisioni - somme e/o sottrazioni 3. Proprietà delle potenze e/o prodotti notevoli hanno la precedenza

45 ESPRESSIONI FRAZIONARIE 1. Sviluppare ogni espressione presente in ciascun numeratore e in ciascun denominatore 2. Moltiplicare il numeratore per il reciproco del denominatore 3. E possibile semplificare tra loro i numeratori o i denominatori prima del punto 2. se, scomposti, contengono fattori uguali

46 ESPRESSIONI CON I RADICALI 1. Sviluppare lespressione sotto radice 2. Lavorare con il radicale 3. Operare tra i radicali N.B. Non si lasciano radici al denominatore e denominatori sotto radice MENU

47 4. EQUAZIONI Principi dequivalenza Principi dequivalenza Principi dequivalenza Principi dequivalenza Equazioni lineari in una incognita Equazioni lineari in una incognita Equazioni lineari in una incognita Equazioni lineari in una incognita Equazioni fratte Equazioni fratte Equazioni fratte Equazioni fratte Equazioni letterali Equazioni letterali Equazioni letterali Equazioni letterali Equazioni di secondo grado Equazioni di secondo grado Equazioni di secondo grado Equazioni di secondo grado Equazioni parametriche Equazioni parametriche Equazioni parametriche Equazioni parametriche Equazioni di grado superiore al secondo Equazioni di grado superiore al secondo Equazioni di grado superiore al secondo Equazioni di grado superiore al secondo Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali MENU

48 PRINCIPI DEQUIVALENZA 1. 1° Principio delladdizione: sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione lo stesso valore o espressione si ottiene una equazione equivalente alla data. Conseguenze: a) principio del trasporto b) legge di cancellazione c) riduzione di un membro a zero P(x)=0

49 2. 2° Principio della moltiplicazione: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per lo stesso valore o espressione diversi da zero si ottiene una equazione equivalente alla data. Conseguenze: a) cambiamento del segno a) cambiamento del segno b) moltiplicazione per un multiplo comune (eliminazione denominatori) c) divisione per un divisore comune (semplificazione termine a termine)

50 EQUAZIONI LINEARI IN UNA INCOGNITA 1. Una equazione in una sola incognita è di primo grado (o lineare) quando, in Forma Normale, si riduce ad un binomio di primo grado. In questo caso la F.N. assume tale aspetto: ax=b a0 a,b costanti x variabile ax=b a0 a,b costanti x variabile a si dice coefficiente dellincognita b si dice termine noto

51 2. a0: ax=b eq. det. 1 sol. x=b/a a=0, b=0: 0=0 eq. indet. x a=0, b0: 0=b eq. imp. x 3. Per raggiungere la F.N. occorre utilizzare le regole dello sviluppo delle espressioni e i due principi di equivalenza o le loro conseguenze 4. Raggiunta la forma normale la soluzione è sempre data da: x= termine noto diviso coefficiente dellincognita

52 5. Si elimina un termine o un gruppo di termini se hanno stesso segno e parti opposte oppure stessa parte e segno opposto 6. Fare la verifica di unequazione consiste nel sostituire la soluzione trovata al posto dellincognita nel testo e controllare che soddisfi la definizione di soluzione

53 EQUAZIONI FRATTE E necessario mettere le condizioni perchè non solo bisogna indicare il dominio di una frazione algebrica ma anche il secondo principio permette di eliminare solo denominatori diversi da zero. Esse si mettono guardando i denominatori di un qualsiasi passaggio (dal testo alla soluzione). Esse si mettono guardando i denominatori di un qualsiasi passaggio (dal testo alla soluzione). Si mettono solo sui fattori letterali non scomponibili (*) di primo grado (**). Trovata la soluzione bisogna fare il controllo dellaccettabilità. (*) Infatti se un polinomio di grado superiore al primo non è scomponibile non si annulla in alcun numero razionale (se esistesse tale numero sarebbe scomponibile con Ruffini!). (**) inoltre una potenza è zero solo se la sua base è zero.

54 EQUAZIONI LETTERALI In queste equazioni oltre allincognita compare anche unaltra lettera (costante o parametro) al cui variare varia anche la natura dellequazione (determinata, indeterminata, impossibile) e della soluzione (accettabile, non accettabile).

55 1. Raggiungere la F.N. mettendo le condizioni su tutti i fattori letterali presenti al denominatore (*) 2. Nella F.N. scomporre sia il coefficiente della x che il termine noto 3. Mettere le condizioni sul coefficiente della x (**) 4. Risolvere lequazione x=b/a

56 5. Fare la discussione (*) condizioni sui denominatori a) solo sul parametro (C.E.): eq. perde significato b) sullincognita (C.A.): sol. non accettabile (**) condizioni sul coefficiente dellincognita a) annulla anche il termine noto: eq. indeterminata b) non annulla il termine noto: eq. impossibile

57 6. C.A. Bisogna confrontare la soluzione ottenuta con i valori che la rendono non accettabile. Si tratta di risolvere piccole equazioni in cui lincognita è il parametro a) Se leq. sul parametro è di grado superiore al primo, si scrive nella forma P(a)=0, si scompone e si applica la legge di annullamento del prodotto b) Se leq. sul parametro è impossibile: soluzione sempre accettabile c) Se leq. sul parametro è indeterminata: soluzione mai accettabile 7. Doppioni: perde significato: vince sempre eq. indet. / sol. non acc. : tutte e due eq. imp. / sol. non acc. : impossibile

58 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Una equazione in una sola incognita è di secondo grado quando ridotta a Forma Normale assume tale aspetto: ax 2 +bx+c=0 a0 a,b,c costanti x variabile

59 1. b0, c0 ax 2 +bx+c=0 eq. completa discriminante: =b 2 -4ac >0due soluzioni reali e distinte >0due soluzioni reali e distinte =0due soluzioni reali e coincidenti =0due soluzioni reali e coincidenti <0nessuna soluzione reale <0nessuna soluzione reale

60 2. b0, c=0ax 2 +bx=0 eq. incompleta spuria due soluzioni reali di cui una uguale a zero b=0, c0ax 2 +c=0 eq. incompleta pura b=0, c0ax 2 +c=0 eq. incompleta pura a, c discordi: due soluzioni reali opposte a, c concordi: nessuna soluzione reale b=0, c=0ax 2 =0 eq. monomia b=0, c=0ax 2 =0 eq. monomia due soluzioni reali uguali a zero due soluzioni reali uguali a zero

61 5. x 1, x 2 soluzioni reali s = x 1 +x 2 = -b/a p= x 1 x 2 = c/a F.N. x 2 -sx+p=0 x 1, x 2 soluzioni reali x 1, x 2 soluzioni reali ax 2 +bx+c = a(x-x 1 )(x-x 2 ) ax 2 +bx+c = a(x-x 1 )(x-x 2 )

62 EQUAZIONI PARAMETRICHE Si chiamano parametri le lettere contenute in almeno un coefficiente di una equazione letterale ed equazioni parametriche quelle in cui i coefficienti dipendono da uno o più parametri. Nelle equazioni parametriche si cerca di risolvere il problema di determinare, se possibile, quei particolari valori da attribuire al parametro affinché le soluzioni dellequazione verifichino determinate condizioni. Generalmente ciò si risolve ricorrendo alle relazioni tra coefficienti e soluzioni, mai risolvendo lequazione.

63 EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Sono equazioni aventi una Forma Normale del tipo P(x)=0 dove P(x) è un polinomio di grado superiore al secondo. La loro soluzione si riconduce a quella di equazioni di primo o di secondo grado. 1. Eq. abbassabili di grado: F.N. P(x)=0. Si scompone P(x) in fattori di primo o di secondo grado, si risolve applicando la legge di annullamento del prodotto

64 2. Eq. binomie: F.N. ax n +b=0. n pari a,b concordi: nessuna soluzione reale a,b discordi: due soluzioni reali opposte n dispari una soluzione reale

65 3. Eq. trinomie: F.N. ax 2n +bx n +c=0. Si risolvono con un cambio di variabile y=x n. Casi particolari eq. biquadratiche: ax 4 +bx 2 +c=0 eq. del tipo: a(…) 2n +b(…) n +c=0

66 EQUAZIONI IRRAZIONALI Si dice irrazionale unequazione in cui lincognita compare sotto radice. I radicali con indice pari sono da considerarsi aritmetici, quelli con indice dispari algebrici. Teorema: elevando ad uno stesso esponente i due membri di unequazione se ne ottiene unaltra il cui insieme soluzione contiene quello dellequazione di partenza.

67 Primo caso: un radicale 1. Isolare il radicale con il segno positivo 2. Elevare a potenza entrambi i membri 3. Risolvere lequazione ottenuta 4. Verificare laccettabilità della soluzione sostituendo il valore trovato nel testo. Secondo caso: due radicali 1. Isolare un radicale con il segno positivo 2. Elevare a potenza entrambi i membri 3. Proseguire come nel primo caso

68 Terzo caso: tre o quattro radicali 1. Isolare due radicali 2. Elevare a potenza entrambi i membri 3. Proseguire come nel secondo caso MENU

69 5. SISTEMI Sistemi lineari Sistemi lineari Sistemi lineari Sistemi lineari Metodo di sostituzione Metodo di sostituzione Metodo di sostituzione Metodo di sostituzione Metodo di confronto Metodo di confronto Metodo di confronto Metodo di confronto Metodo di addizione Metodo di addizione Metodo di addizione Metodo di addizione Metodo di Cramer Metodo di Cramer Metodo di Cramer Metodo di Cramer Metodo grafico Metodo grafico Metodo grafico Metodo grafico Sistemi letterali Sistemi letterali Sistemi letterali Sistemi letterali MENU

70 SISTEMI LINEARI 1. Raggiungere la Forma Normale 2. Applicare un metodo di soluzione: tre metodi (sostituzione, addizione, confronto) hanno come scopo quello di ottenere unequazione con una sola incognita; quello di Cramer è un metodo meccanico; quello grafico consiste nel rappresentare nel piano cartesiano le equazioni e la soluzione del sistema. 3. a/a 1 b/b 1 sistema determinato a/a 1 = b/b 1 c/c 1 sistema impossibile a/a 1 = b/b 1 = c/c 1 sistema indeterminato

71 METODO DI SOSTITUZIONE 1. Raggiungere la F.N. 2. Ricavare unincognita in una delle due equazioni (a piacere) e sostituirla nellaltra 3. Risolvere lequazione in una sola incognita così ottenuta al punto Ricavare laltra incognita sfruttando laltra equazione ottenuta al punto 2.

72 METODO DI CONFRONTO 1. Raggiungere la F.N. 2. Ricavare la stessa incognita in entrambe le equazioni 3. Costruire un sistema avente come prima equazione quella ottenuta dal confronto delle espressioni ottenute al punto 2., come seconda una delle due equazioni del punto Risolvere lequazione in una sola incognita così ottenuta al punto Ricavare laltra incognita utilizzando laltra equazione del punto 3.

73 METODO DI ADDIZIONE 1. Raggiungere la F.N. 2. Applicando il principio della moltiplicazione fare in modo che la stessa incognita abbia coefficiente opposto nelle due equazioni (m.c.m. dei coefficienti) 3. Sommare termine a termine le due equazioni 4. Risolvere lequazione in una sola incognita così ottenuta al punto Ricavare laltra incognita utilizzando una delle due equazioni della F.N.

74 METODO DI CRAMER 1. Raggiungere la F.N. 2. Calcolare D il determinante della matrice dei coefficienti matrice 3. Calcolare D x il determinante della matrice ottenuta sostituendo la colonna dei termini noti alla colonna dei coefficienti della x 4. Calcolare D y il determinante della matrice ottenuta sostituendo la colonna dei termini noti alla colonna dei coefficienti della y 5. Risolvere:x= D x / D y= D y / D

75 METODO GRAFICO Si dimostra che una equazione di primo grado ha come rappresentazione grafica, nel piano cartesiano, una retta. piano cartesianopiano cartesiano 1. Raggiungere la F.N. 2. Disegnare le rette nel piano cartesiano 3. Individuare, se esiste, il punto di intersezione 4. rette incidenti:sistema determinato rette coincidenti:sistema indeterminato rette parallele:sistema impossibile

76 SISTEMI LETTERALI 1. Raggiungere la F.N. mettendo le condizioni su tutti i fattori letterali presenti al denominatore (*) 2. Risolvere il sistema con il metodo di Cramer mettendo le condizioni sul determinante della matrice dei coefficienti (**)

77 3. Fare la discussione (*) condizioni sui denominatori a) solo sul parametro (C.E.): sistema perde significato b) sullincognita (C.A.): sol. non accettabile (**) condizioni sul determinante della matrice dei coefficienti: sostituire nelle F.N. a) a/a 1 =b/b 1 = c/c 1 o uneq. indeterminata: sistema indeterminato b) a/a 1 =b/b 1 c/c 1 o uneq. impossibile: sistema impossibile MENU

78 6. DISEQUAZIONI Studio del segno di primo grado Studio del segno di primo grado Studio del segno di primo grado Studio del segno di primo grado Studio del segno di secondo grado Studio del segno di secondo grado Studio del segno di secondo grado Studio del segno di secondo grado Principi dequivalenza Principi dequivalenza Principi dequivalenza Principi dequivalenza Disequazioni di primo grado Disequazioni di primo grado Disequazioni di primo grado Disequazioni di primo grado Disequazioni di secondo grado Disequazioni di secondo grado Disequazioni di secondo grado Disequazioni di secondo grado Disequazioni fratte Disequazioni fratte Disequazioni fratte Disequazioni fratte Sistemi di disequazioni Sistemi di disequazioni Sistemi di disequazioni Sistemi di disequazioni Disequazioni di grado superiore al secondo Disequazioni di grado superiore al secondo Disequazioni di grado superiore al secondo Disequazioni di grado superiore al secondo Disequazioni con valore assoluto Disequazioni con valore assoluto Disequazioni con valore assoluto Disequazioni con valore assoluto MENU

79 STUDIO DEL SEGNO DI PRIMO GRADO Si dimostra che una equazione di primo grado y=ax+b ha come rappresentazione grafica, nel piano cartesiano, una retta. 1. Risolvere lequazione associata per trovare il punto di intersezione tra la retta e lasse delle x (y=0) 2. Disegnare la retta: a>0retta crescente a=0retta parallela allasse delle x a<0retta decrescente

80 STUDIO DEL SEGNO DI SECONDO GRADO Si dimostra che una equazione di secondo grado y=ax 2 +bx+c ha come rappresentazione grafica, nel piano cartesiano, una parabola. 1. Risolvere lequazione associata per trovare il punto di intersezione tra la parabola e lasse delle x (y=0) 2. Disegnare la parabola: >0due punti di intersezione >0due punti di intersezione =0un punto di intersezione =0un punto di intersezione <0nessun punto di intersezione <0nessun punto di intersezione a>0 concavità verso lalto a<0 concavità verso il basso

81 PRINCIPI DEQUIVALENZA 1. Principio delladdizione: sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una disequazione lo stesso valore o espressione si ottiene una disequazione equivalente alla data. Conseguenze: principio del trasporto legge di cancellazione secondo membro=0

82 2. Principio della moltiplicazione: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per lo stesso valore o espressione maggiore di zero si ottiene una disequazione equivalente alla data. Conseguenze: cambiare i segni solo cambiando verso eliminare i denominatori senza variabile dividere tutti i termini per valori positivi

83 DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO 1. Per risolvere occorre utilizzare le regole dello sviluppo delle espressioni e i due principi di equivalenza o le loro conseguenze 2. Casi particolari. Se giunti a F.N. non compare più la x, è sufficiente chiedersi se la relazione è vera o falsa: V x F x

84 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO 1. Raggiungere la F.N. 2. Risolvere lequazione associata 3. Disegnare la parabola 4. Decidere la soluzione confrontando il disegno con il verso della disequazione

85 DISEQUAZIONI FRATTE 1. Raggiungere la F.N. (secondo membro=0) 2. Fare lo studio del segno del numeratore 3. Fare lo studio del segno del denominatore 4. Riportare i segni in uno stesso grafico 5. Fare il prodotto dei segni 6. Decidere la soluzione confrontando i segni del punto 5. con il verso della F.N. del punto 1.

86 SISTEMI DI DISEQUAZIONI 1. Raggiungere la F.N. di ciascuna disequazione 2. Preparare il sistema per le soluzioni 3. Risolvere direttamente le disequazioni di primo grado 4. Risolvere separatamente le disequazioni di secondo grado o fratte 5. Riportare le soluzioni nel sistema del punto Riportare le soluzioni nello stesso grafico 7. Fare lintersezione delle soluzioni 8. Scrivere la soluzione

87 DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO 1. Raggiungere la F.N. (primo membro polinomio o frazione) 2. Fare lo studio del segno di ciascun fattore 3. Riportare i segni in uno stesso grafico 4. Fare il prodotto dei segni 5. Decidere la soluzione confrontando i segni del punto 4. con il verso della F.N. del punto 1.

88 DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI 1. Tenendo conto della definizione di valore assoluto a, a>0 a, a>0 |a| =[ -a, a<0 -a, a<0 trasformare la disequazione in due o quattro sistemi di disequazioni 2. Risolvere separatamente i sistemi 3. Fare lunione delle soluzioni MENU

89 7. GEOMETRIA Definire e dimostrare Definire e dimostrare Definire e dimostrare Definire e dimostrare Principali teoremi Principali teoremi Principali teoremi Principali teoremi Algebra applicata alla geometria Algebra applicata alla geometria Algebra applicata alla geometria Algebra applicata alla geometria MENU

90 DEFINIRE E DIMOSTRARE DEFINIREPAROLE (si dice…) DIMOSTRARE PROPOSIZIONI IMPLICAZIONI (scende…) no CONCETTI PRIMITIVI punto-retta-piano movimento rigido insieme-appartenenza POSTULATI O ASSIOMI (scendono dallintuizione) siDEFINIZIONITEOREMI-LEMMI-COROLLARI (scendono da definizioni, postulati, teoremi, ecc.)

91 PRINCIPALI TEOREMI DELLA GEOMETRIA Principali teoremi della geometria Principali teoremi della geometria (documento word)

92 ALGEBRA APPLICATA ALLA GEOMETRIA 1. Fare disegno, hp, th 2. Attribuire la x ad un elemento della figura 3. Mettere le condizioni geometriche 4. Individuare lequazione che risolve lesercizio 5. Sostituire in funzione di x o dei dati delle hp le misure degli elementi dellequazione

93 6. Risolvere lequazione mettendo anche eventuali condizioni algebriche 7. Verificare laccettabilità delle soluzioni confrontandole sia con le condizioni geometriche sia con le condizioni algebriche 8. Continuare lesercizio MENU


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