Francesca Ferrara Università di Torino Mirko Maracci

Presentazione sul tema: "Francesca Ferrara Università di Torino Mirko Maracci"— Transcript della presentazione:

1 Controrelazione su: Interpretazione e didattica della matematica Una prospettiva ermeneutica
Francesca Ferrara Università di Torino Mirko Maracci Università di Siena

2 Piano dell’opera Ermeneutica vs epistemologia Semiotica
Pre-supposizioni Immagini Artefatto Cultura

3 Prospettiva ermeneutica
Cosa si intende per prospettiva ermeneutica? Cosa apporta alla/comporta per la didattica della matematica? ricerca in didattica della matematica pratica didattica

4 Cosa si intende per ermeneutica?
L’ermeneutica è la dottrina del comprendere: quel processo nel quale noi conosciamo un’interiorità sulla base dei segni che ci sono dati sensibilmente dall’esterno (Jung, 2002; Dilthey, 1986). L’ermeneutica è essa stessa ‘solo interpretazione’ (Vattimo, 2002). Dunque se non si sono segni da interpretare non c’è alcunché da comprendere. Ermeneutica Semiotica

5 … verso quale semiotica?
Quale visione della matematica e dell’apprendimento della matematica si portano dietro questi approcci? Peirce? Saussure? Vygotskij? Sono tutte ugualmente compatibili/coerenti con un approccio ermeneutico? Cosa vuol dire che due teorie o approcci sono compatibili o coerenti? (CERME6, Plenary Panel on Theories, Monaghan) Non mi ritrovo con la prospettiva epistemologica di Peirce (Bagni) Assume l’esistenza di una logica oggettiva L’individuo è una sorta di astrazione Riferimento a Radford? Semiotica di Radford. Pensiero diagrammatico...

6 Epistemologia vs Ermeneutica (Rorty)
“Discorso normale” condotto all’interno di un sistema condiviso di convenzioni su cosa sia: un contibuto rilevante una risposta ad una domanda un buon argomento… “discorso anormale” condotto in assenza di un tale sistema contributi commensurabili contributi incommensurabili vs La distinzione tra epistemologia ed ermeneutica è collegata alla distinzione tra discorso “normale” e “discorso anormale”

7 Quale discorso? Qual è il tema del discorso?
La matematica (savoir à enseigner) La matematica (savoir savant) La matematica (savoir de l’élève) La didattica della matematica Chi sono gli attori? Quali sono le voci? Allievi Insegnanti Artefatti Ricercatori in didattica Matematici Policy-makers Aggiungerei forse anche le voci in verde Tema: anche la storia? Rivedere contesto… Dimensione al posto di contesto? Prospettiva ermeneutica: definita in termini generali (vaghi) ed ammette molte declinazioni. Offre elementi (costrutti) specifici? Magari specifici delle diverse declinazioni? Qual è il contesto del discorso? La classe La scuola La Scuola La ricerca

8 Assumere una prospettiva ermeneutica
Chi? In relazione a cosa? Ricercatori in didattica della matematica rispetto all’insegnamento/apprendimento della matematica Ricercatori in didattica della matematica rispetto alla matematica Ricercatori in didattica della matematica rispetto alla ricerca in didattica della matematica Insegnanti rispetto alla propria attività di insegnamento … Visione1 e 2: dall’esterno, visione 3 e 4: dall’interno.

9 Assumere una prospettiva ermeneutica
Chi? In relazione a cosa? Ricercatori in didattica della matematica rispetto all’insegnamento/apprendimento della matematica Ricercatori in didattica della matematica rispetto alla matematica Ricercatori in didattica della matematica rispetto alla ricerca in didattica della matematica Insegnanti rispetto alla propria attività di insegnamento … Diamo alcuni esempi di cosa può voler dire, di come si può declinare

10 Una prospettiva ermeneutica in/sulla ricerca in didattica della matematica
Sembra mancare “sistema condiviso di convenzioni…” che è proprio del “discorso normale”. Il discorso in ricerca della didattica della matematica è anormale. La prospettiva ermeneutica più che una scelta appare una necessità. Possiamo andare oltre? Cosa vuol dire? Riferimento alla framentazione teorica… mi sembra adeguata Possiamo andare oltre a questo livello generico di discorso? Prendiamo un problema ampiamente riconosciuto in ambito internazionale: il proliferare di quadri teorici, la conseguente frammentazione e gli sforzi profusi per superarla.

11 Una prospettiva ermeneutica in/sulla ricerca in didattica della matematica
Proliferare di quadri teorici, di approcci… Frammentazione che mina: il nostro costituirsi in una comunità, i rapporti con altre comunità (insegnanti, matematici, policy-makers), l’impatto sul mondo della Scuola. Molti sforzi si stanno compiendo per affrontare questa frammentazione. (CERME 4, 5 e 6; ZDM, 2008; Progetti di ricerca: TELMA, ReMath) Cosa vuol dire porsi di fronte a questo problema assumendo una prospettiva ermeneutica? Cosa vuol dire? Riferimento alla framentazione teorica… mi sembra adeguata Possiamo andare oltre a questo livello generico di discorso? Prendiamo un problema ampiamente riconosciuto in ambito internazionale: il proliferare di quadri teorici, la conseguente frammentazione e gli sforzi profusi per superarla. Per Sriraman & English (2006) la varietà di teorie in didattica della matematica si lega alle differenze tra le prospettive ontologiche ed epistemologiche. La posizione ontologica di una teoria consiste nello specificare il modo in cui essa affronta la questione della natura dei propri oggetti concettuali. La posizione epistemologica consiste nello specificare il modo in cui, secondo essa, questi oggetti possono (o non possono) essere conosciuti.

12 Una prospettiva ermeneutica in/sulla ricerca in didattica della matematica
l’ermeneutica coglie le relazioni tra i vari discorsi, come tra le linee di una possibile conversazione, una conversazione che non presuppone matrici disciplinari comuni ai parlanti, ma fin che dura mantiene la speranza dell’accordo. Questa speranza non punta alla scoperta di un terreno comune esistente in precedenza, ma semplicemente all’accordo, o almeno a un disaccordo stimolante e fruttuoso. (Rorty) È necessario riconoscere l’esistenza di contributi tra loro incommensurabili, ma non necessariamente incompatibili. Detto così non sembra lasciarci molte speranze… ma invece è importante accentuare l’esistenza degli incommensurabili. L’affermazione po’ parere ovvia a posteriori, ma in realtà non mi sembra esserci una condivisione su cosa possa voler dire “integrare” o confrontare “teorie” e quale progetto ha senso (è necessario) perseguire in questa direzione.

13 Assumere una prospettiva ermeneutica
Chi? In relazione a cosa? Ricercatori in didattica della matematica rispetto all’insegnamento/apprendimento della matematica Ricercatori in didattica della matematica rispetto alla matematica Ricercatori in didattica della matematica rispetto alla ricerca in didattica della matematica Insegnanti rispetto alla propria attività di insegnamento … Quello precedente è una nostra elaborazione, veniamo ora ad un esempio di Bagni, relativo a queste due dimensioni.

14 Una prospettiva ermeneutica sulla matematica ed il suo insegnamento
“contribuirà[anno] ad allontanarci da una concezione di una matematica assolutamente “oggettiva” “da tramandare” Indipendente da: soggetti, contesto socio-culturale, momento storico Paradigma messo in discussione non da ora. Quale alternativa? Cosa vuol dire per un insegnante assumere una prospettiva ermeneutica? Contribuisce ok. A tal proposito veniamo a pag7: “allontanarci da una concezione di una matematica assolutamente “oggettiva” da tramandar” Giustamente “ contribuisce” dal momento che diversi studi vanno in quella direzione: Ma guardiamo meglio cosa è davvero in focus? La matematica “assolutamente oggettiva”? Il fatto che sia da tramandare? Assolutamente oggettiva nel senso di assoluta, vera? È affermazione di carattere fondazionale che noi guardiamo dal punto di vista didattico. Dal punto di vista didattico siamo d’accordo ed è coerente con altre posizioni (Balcheff per citare una posizione che nasce dall’ambito didattico). Ma attenzione la matematica (assoluta o meno che sia) è però istituzionalizzata. Esistono istituizioni direttamente collegate o meno all’insegnamanto (comunità dei matematici, ministero dell’educazione) che stabiliscono cosa è matematica e cosa no (con una certa approssimazione) e quale matematica vada insegnata. Non si può prescindere da questa considerazione, anche se poi rispetto a questo le posizioni interne alla comunità internazionale di didattici non sono uniformi: ad esempio Francia vs Grecia, UK (TDS+Instrumental genesis vs Costruzionismo alla papert).

15 Una prospettiva ermeneutica sulla matematica
allontanarci da una concezione di una matematica assolutamente “oggettiva”, cioè di una matematica indipendente da: soggetto, contesto socio-culturale, momento storico. Non esiste una conoscenza “intrinsecamente corretta”; ogni conoscenza in quanto tale ha un carattere provvisorio (Balacheff). La matematica esiste come oggetto istituzionalizzato (o istituzionale) (Chevallard) Assolutamente oggettiva nel senso di assoluta, vera? È affermazione di carattere fondazionale che noi guardiamo dal punto di vista didattico. Dal punto di vista didattico siamo d’accordo ed è coerente con altre posizioni (Balcheff per citare una posizione che nasce dall’ambito didattico). Non esiste una conoscenza “intrinsecamente corretta”; o globale. Ogni conoscenza in quanto tale ha un carattere provvisorio, nel senso che è soggetta a revisioni, aggiustamenti, riorganizzazioni, ampliamenti Ma attenzione la matematica (assoluta o meno che sia) è però istituzionalizzata. Esistono istituizioni direttamente collegate o meno all’insegnamanto (comunità dei matematici, ministero dell’educazione) che stabiliscono cosa è matematica e cosa no (con una certa approssimazione) e quale matematica vada insegnata. Non si può prescindere da questa considerazione, anche se poi rispetto a questo le posizioni interne alla comunità internazionale di didattici non sono uniformi: ad esempio Francia vs Grecia, UK (TDS+Instrumental genesis vs Costruzionismo alla papert).

16 Una prospettiva ermeneutica sulla matematica
M dei Test: PISA, TIMSS, INVALSI M dei manuali e delle case editrici Matematica come oggetto istituzionalizzato M dei policy-makers M degli educatori Ma attenzione la matematica (assoluta o meno che sia) è però istituzionalizzata. Esistono istituizioni direttamente collegate o meno all’insegnamanto (comunità dei matematici, ministero dell’educazione) che stabiliscono cosa è matematica e cosa no (con una certa approssimazione) e quale matematica vada insegnata. Non si può prescindere da questa considerazione, anche se poi rispetto a questo le posizioni interne alla comunità internazionale di didattici non sono uniformi: ad esempio Francia vs Grecia, UK (TDS+Instrumental genesis vs Costruzionismo alla papert). M dei matematici

17 Una prospettiva ermeneutica sulla matematica
Non si può prescindere da questa considerazione. Non esiste una scelta obbligata. Non c’è identità di vedute nella ricerca internazionale: (TDS+IA+ATD vs Costruzionismo alla Papert) M dei Test: PISA, TIMSS, INVALSI M dei manuali e delle case editrici Matematica come oggetto istituzionalizzato M dei policy-makers M degli educatori Ma attenzione la matematica (assoluta o meno che sia) è però istituzionalizzata. Esistono istituizioni direttamente collegate o meno all’insegnamanto (comunità dei matematici, ministero dell’educazione) che stabiliscono cosa è matematica e cosa no (con una certa approssimazione) e quale matematica vada insegnata. Non si può prescindere da questa considerazione, anche se poi rispetto a questo le posizioni interne alla comunità internazionale di didattici non sono uniformi: ad esempio Francia vs Grecia, UK (TDS+Instrumental genesis vs Costruzionismo alla papert). M dei matematici

18 Quali costrutti specifici?
Quale discorso? Qual è il tema del discorso? La matematica (savoir à enseigner) La matematica (savoir savant) La matematica (savoir de l’élève) La didattica della matematica Chi sono gli attori? Quali sono le voci? Allievi Insegnanti Artefatti Ricercatori in didattica Matematici Policy-makers Quali costrutti specifici? Specifici di un approccio ermeneutico Strumento per un’analisi ”più fine” Aggiungerei forse anche le voci in verde Tema: anche la storia? Rivedere contesto… Dimensione al posto di contesto? Prospettiva ermeneutica: definita in termini generali (vaghi) ed ammette molte declinazioni. Offre elementi (costrutti) specifici? Magari specifici delle diverse declinazioni? Qual è il contesto del discorso? La classe La scuola La Scuola La ricerca

19 Emergenza di costrutti specifici
Incompatibilità Incommensurabilità Irriducibilità Circolo ermeneutico Presupposizione

20 Pre-supposizioni e circolo ermeneutico
L’individuo deve essere considerato in un dato momento in un dato contesto socio culturale ed è caratterizzato da proprie pre-supposizioni. Tali pre-supposizioni guidano il rapportarsi dell’individuo con il mondo. Pre-supposizioni non sono definitive ma possono essere arricchite, approfondite, trasformate dal rapporto con il mondo. Si mette in moto un circolo

21 Pre-supposizioni conoscenze anteriori:
si apprende con e contro le proprie conoscenze anteriori (Castela, Bachelard) concezioni (ck¢ Balacheff), any knowing has a provisional character, or rather, any knowing could be revisited, its domain of validity can be modified as a result of some perturbation intuizioni (Fischbein), discorso matematico ed elementi del discorso che acquisiscono significato uno dall’altro discorso della matematica come sistema autopoietico (Sfard)

22 Pre-supposizioni e circolo ermeneutico
Strumento di analisi di … ? Strumento di progettazione di … ? Per/da chi? Quale livello di granularità? Esempio bacchette cinesi Volutamente I puntini: abbiamo visto che l’approccio ermeneutico può essere inteso in senso molto ampio, a vari livelli. Qui ci focalizziamo sui processi di insegnamento/apprendimento, (e la ricerca ?) A quale livello di granularità? Bagni fa riferimento a questo tipo di analisi ad esempio dell’evoluzione storica, o di esperimento mentale che riguardano una segmento temporale ampio di un percorso didattico, ma non lo propone esplicitamente come strumento di analisi

23 Un esempio: le bacchette cinesi
Rispetto alla granularità, le pre-supposizioni possono essere considerate… da un punto di vista olistico : dicono qualcosa sull’intero processo di costruzione di conoscenza? da un punto di vista analitico: dicono qualcosa sui processi cognitivi in atto? MIRKO: Cosa vuol dire lente esterna per il ricercatore(insegnante) vs lente interna? Una lente è sempre esterna (direi) il problema semmai è ”esterna a cosa?” Due alternative: esterna al sistema insegnante-studente-sapere. Esterna al sistema studente sapere. Ed in questo caso è sempre lente del ricercatore/insegnante. Penso di capire meglio la distinzione olistico/analitico. In generale parlerei di quale livello di analisi consente/ono questa/e lente/i? fine-grained o globale? Per chiarire, l’esempio di Bagni nel capitolo1 (sulle serie) mi sembra un’analisi globale, quella che sviluppi ti dopo mi sembra fine-grained.

24 Le bacchette cinesi: problema 1
“bisogna toglierli, cavarne più che si può” “Va bene, sì, ne abbiamo cavati tanti” “si riesce quando due diventano uguali” Problema 1

25 Le bacchette cinesi: problema 1
“bisogna toglierli, cavarne più che si può” “Va bene, sì, ne abbiamo cavati tanti” “si riesce quando due diventano uguali” Assenza concreta delle bacchette Valutazione dell’assenza di bacchette INDICALITÀ ICONICITÀ L’iconicità e l’indicalità delle bacchette e della loro disposizione spaziale (in una matrice) stanno alla base del processo di interpretazione (potremmo dire: del circolo ermeneutico?) che si raffina attraverso successive interpretazioni in cui si susseguono segni come risultati di interpretazioni. In una prospettiva semiotica alla Radford, tuttavia, anche le parole e i gesti sono segni. Qui mi sembra che come segni, nella catena, si prendano solo rappresentazioni delle bacchette e delle loro disposizioni???

26 Una possibile interpretazione
ASSENZA DI STRATEGIA STRATEGIA EFFICACE “bisogna toglierli, cavarne più che si può” (prima presupposizione) “Va bene, sì, ne abbiamo cavati tanti” (seconda presupposizione) “Via i B, con quelli di sopra siamo a posto” (terza presupposizione - decisiva) “si riesce quando due diventano uguali” (quarta presupposizione - generalità) QUANDO FERMARSI? TANTI QUANTI? Il gioco dell’interpretazione nella ricerca della strategia corretta. Ermeneutica calata sul processo degli studenti (localmente; microanalisi; grana fine) MIRKO: (valgono anche per i lucidi dopo) Interpretazione di che cosa? Cosa riguardano le pre-supposizioni? Cosa vuol dire strategia corretta? Chi stabilisce che è corretta? Le domande cerchiate cosa voglion dire? PROBLEMA 1

27 Le bacchette cinesi: problema 2
“non si può togliere questi da quelli, non ce ne sono abbastanza lì” “stavolta ci han dato un esercizio impossibile” “però se li aumentiamo … con l’altra, si può moltiplicare questi cioè … sì … finché non diventano abbastanza” “bisogna far diventare questo uguale a questi!” Problema 2

28 Una possibile interpretazione
ASSENZA DI STRATEGIA STRATEGIA EFFICACE “non si può togliere questi da quelli, non ce ne sono abbastanza lì” (prima presupposizione) “stavolta ci han dato un esercizio impossibile” (seconda presupposizione) “però se li aumentiamo … con l’altra, si può moltiplicare questi cioè … sì … finché non diventano abbastanza” (terza presupposizione - decisiva) “bisogna far diventare questo uguale a questi!” (quarta presupposizione - generalità) COME OPERARE? IMPOSSIBILITÀ? Il gioco dell’interpretazione nella ricerca della strategia corretta. Ermeneutica calata sul processo degli studenti (localmente; microanalisi; grana fine) PROBLEMA 2

29 Le bacchette cinesi: riflessioni
Nell’esperienza descritta le potenzialità dell’artefatto dipendono dalle sue caratteristiche semiotiche e i dati sperimentali suggerisono che l’importanza delle bacchette da calcolo (per gli allievi considerati) è da collegarsi alla loro notevole componente iconica e a un secondario aspetto indicale. (p. 73) TUTTAVIA… Si legge nel testo… NON CONDIVIDO APPIENO QUESTA FRASE. INTANTO, NON CI SONO SOLO LE BACCHETTE MA ANCHE E SOPRATTUTTO LA LORO DISPOSIZIONE. CONTA PIU’ QUEST’ULTIMA DELLE BACCHETTE STESSE. INFATTI, LE BACCHETTE SONO IMPORTANTI PER VALUTARE IL NUMERO DI ELEMENTI PRESENTI IN UNA CASELLA MA POI CIO’ CHE DAVVERO CONTA E’ LA DISPOSIZIONE IN TUTTE LE CASELLE, DA CUI SEGUE LA STRATEGIA. LE REGOLE CHE GLI STUDENTI POSSONO SEGUIRE SONO SCHEMI D’USO RISPETTO A QUESTO SECONDO ARTEFATTO, NON RISPETTO ALLE BACCHETTE DI PER SE’. INFINE, CREDO CHE CI SIA DI PIU’ NELLA POTENZIALITA’ DELL’ARTEFATTO, VALE A DIRE IL RUOLO DI MEDIAZIONE SEMIOTICA CHE E’ ANCHE LEGATO AL RUOLO DELL’INSEGNANTE. TANT’E’ VERO CHE POI LE DOMANDE SULL’ARTEFATTO VENGONO FUORI…

30 Aspetti importanti: artefatti (disposizione matriciale - bacchette)
Qual è la trasparenza degli artefatti? (inizialmente non trasparenti) Qual è il significato delle trasformazioni considerate? (trasformazioni matematiche soggiacenti) Quale concezione di incognita algebrica e di equazione emerge? Ermeneutica dal punto di vista olistico (occhio del ricercatore e/o dell’insegnante) Tanti aspetti in gioco: artefatti, schemi d’uso degli artefatti, ecc… ruolo dell’insegnante? MIRKO: lucido da chiarire direi significato “matematico” delle trasformazioni (ma per chi?) Aggiungerei quale relazione con la matematica istituzionalizzata? Frasi cerchiate mi lasciano anche in questo caso un po’ perplesso… non vedo differenza (matematica nell’artefatto o matematica o dell’artefatto) in entrambi i casi si tratta di quale significato emerge per gli allievi dall’attività con l’artefatto

31 La trasparenza degli artefatti
the transparency of any instrumental tool is an emergent phenomenon intricately interwoven with learners’ current activities and participation in specific practices, such as collaborative inquiry within classrooms. From this perspective, artifacts become efficient, relevant, and transparent through their use and in relation to the transformations that they undergo in the hands and dialogues of users. Sulla trasparenza Meira, L. & Peres, F. (2004). A dialogue-based approach for evaluating educational software. Interacting with Computers, 16(4), Latour (1987) - Lave e Wenger (1991) - Roschelle (1996) - Ainley (2000)

32 Aspetti importanti: le regole del gioco (schemi d’uso degli artefatti)
Le possibilità creative del linguaggio vanno ricercate nel contesto del gioco Questo gioco ha un ben definito significato algebrico, per gli studenti? Lo scopo è quello di abbassare il numero delle bacchette, ma gli studenti si rendono conto del significato di ciò? Le regole del gioco sono gli schemi d’uso attivati dagli studenti in questo contesto.

33 Artefatti, trasparenza, schemi d’uso
significati matematici MATEMATICA SOGGETTO ARTEFATTO RUOLO INSEGNANTE significati Compito / schemi d’uso Ermeneutica dal punto di vista olistico (occhio del ricercatore e/o dell’insegnante) Tanti aspetti in gioco: artefatti, schemi d’uso degli artefatti, ecc… ruolo dell’insegnante? MIRKO: lucido da chiarire direi significato “matematico” delle trasformazioni (ma per chi?) Aggiungerei quale relazione con la matematica istituzionalizzata? Frasi cerchiate mi lasciano anche in questo caso un po’ perplesso… non vedo differenza (matematica nell’artefatto o matematica o dell’artefatto) in entrambi i casi si tratta di quale significato emerge per gli allievi dall’attività con l’artefatto Il pericolo maggiore è che i significati matematici ai quali rimanda l’uso di un artefatto restino inaccessibili al soggetto

34 Artefatti, trasparenza, schemi d’uso
Trasparenza degli artefatti Trasparenza dei compiti pedagogici che coinvolgono gli artefatti (riflessioni sulla progettazione) Relazione tra i soggetti e gli artefatti (schemi d’uso) Relazione tra i soggetti e il compito/problema (scelta degli schemi d’uso) Relazione tra i soggetti e la matematica Relazione tra gli artefatti e la matematica (significati che emergono dall’uso e significati matematici) Relazione tra gli artefatti, i soggetti e i segni Mediazione semiotica (Mariotti, Bartolini Bussi)

35 Aspetti importanti: Tecnica e tecnologie
… preziosa possibilità di impiegare nuove tecnologie, sempre più efficienti. Il rischio, però, è di trovarci di fronte a una matematica “oggettificata” dalla tecnica, a una matematica che funziona e che dunque esiste in assoluto. Per parte nostra, preferiamo rivalutare una matematica “inventata”, naturalmente “inventata per uno scopo”, inventata in un contesto culturale e sociale … (p. 77)

36 Aspetti importanti: Tecnica e tecnologie
non è solo il caso delle nuove tecnologie che si porta dietro questo rischio, ma l’uso di qualsiasi tipo di artefatto la parola tecnica e la parola tecnologia si possono allargare agli artefatti in generale (in cui allora rientrano anche le bacchette cinesi dell’esempio) MI/CI SEMBRA CHE NELL’ESEMPIO DELLE BACCHETTE SI PARLI DI PROCEDURA OGGETTUALIZZATA PUR SOLLEVANDO TUTTA UNA SERIE DI DOMANDE RELATIVE ALLA TRASPARENZA DEGLI ARTEFATTI IN USO, AD ESEMPIO IL FATTO CHE NON SI SA SE GLI STUDENTI HANNO COMPRESO LE REGOLE DI TRASFORMAZIONE CHE STANNO SOTTO ALLE OPERAZIONI COMPIUTE CON LE BACCHETTE, INSOMMA SE HANNO COLTO LA MATEMATICA SOGGIACENTE. SI PUO’ ANCORA PARLARE ALLORA DI PROCEDURA OGGETTUALIZZATA? LO E’ SOLO IN TERMINI DELLA POSSIBILITA’ DI UNA SUA RIAPPLICAZIONE NELLA RISOLUZIONE DI NUOVI PROBLEMI? OPPURE LO E’ QUANDO SI E’ COLTO IL SIGNIFICATO MATEMATICO CHE ESSA NASCONDE? SORGE ALLORA ANCHE IL PROBLEMA: QUANDO UNA PROCEDURA E’ OGGETTUALIZZATA FORSE BISOGNEREBBE DISTINGUERE TRA PROCEDURA E SIGNIFICATO! ACQUISITA LA PROCEDURA NON E’ DETTO CHE SI SIA ACQUISITO IL SIGNIFICATO AD ESSA ASSOCIATO

37 Aspetti importanti: Procedura oggettualizzata
Si parla di procedura oggettualizzata. Ma come possiamo dire che la procedura è stata oggettualizzata? Si intende alla Radford? Quindi nel senso di costruzione di nuova conoscenza? Qual è il ruolo dell’insegnante rispetto a questo punto? Cruciale… almeno in fase di verifica dell’effettiva avvenuta oggettivazione (in fase di discussione successiva, ad esempio) Si aprono diversi punti di discussione

38 Aspetti importanti: Procedura oggettualizzata
Nell’esempio delle bacchette cinesi, si parla di procedura oggettualizzata Ma: la procedura è davvero oggettualizzata? Il rischio non è che sia oggettualizzata dalla tecnica acquisita grazie alle trasformazioni operate con le bacchette? MI/CI SEMBRA CHE NELL’ESEMPIO DELLE BACCHETTE SI PARLI DI PROCEDURA OGGETTUALIZZATA PUR SOLLEVANDO TUTTA UNA SERIE DI DOMANDE RELATIVE ALLA TRASPARENZA DEGLI ARTEFATTI IN USO, AD ESEMPIO IL FATTO CHE NON SI SA SE GLI STUDENTI HANNO COMPRESO LE REGOLE DI TRASFORMAZIONE CHE STANNO SOTTO ALLE OPERAZIONI COMPIUTE CON LE BACCHETTE, INSOMMA SE HANNO COLTO LA MATEMATICA SOGGIACENTE. SI PUO’ ANCORA PARLARE ALLORA DI PROCEDURA OGGETTUALIZZATA? LO E’ SOLO IN TERMINI DELLA POSSIBILITA’ DI UNA SUA RIAPPLICAZIONE NELLA RISOLUZIONE DI NUOVI PROBLEMI? OPPURE LO E’ QUANDO SI E’ COLTO IL SIGNIFICATO MATEMATICO CHE ESSA NASCONDE? SORGE ALLORA ANCHE IL PROBLEMA: QUANDO UNA PROCEDURA E’ OGGETTUALIZZATA FORSE BISOGNEREBBE DISTINGUERE TRA PROCEDURA E SIGNIFICATO! ACQUISITA LA PROCEDURA NON E’ DETTO CHE SI SIA ACQUISITO IL SIGNIFICATO AD ESSA ASSOCIATO

39 Aspetti importanti: Procedura oggettualizzata
Quando una procedura è oggettualizzata? Lo è solo in termini della possibilità di una sua ri-applicazione nella risoluzione di nuovi problemi? Oppure lo è quando si coglie la matematica ad essa soggiacente? procedura vs significato l’acquisizione di una procedura non implica l’acquisizione dei significati matematici MI/CI SEMBRA CHE NELL’ESEMPIO DELLE BACCHETTE SI PARLI DI PROCEDURA OGGETTUALIZZATA PUR SOLLEVANDO TUTTA UNA SERIE DI DOMANDE RELATIVE ALLA TRASPARENZA DEGLI ARTEFATTI IN USO, AD ESEMPIO IL FATTO CHE NON SI SA SE GLI STUDENTI HANNO COMPRESO LE REGOLE DI TRASFORMAZIONE CHE STANNO SOTTO ALLE OPERAZIONI COMPIUTE CON LE BACCHETTE, INSOMMA SE HANNO COLTO LA MATEMATICA SOGGIACENTE. SI PUO’ ANCORA PARLARE ALLORA DI PROCEDURA OGGETTUALIZZATA? LO E’ SOLO IN TERMINI DELLA POSSIBILITA’ DI UNA SUA RIAPPLICAZIONE NELLA RISOLUZIONE DI NUOVI PROBLEMI? OPPURE LO E’ QUANDO SI E’ COLTO IL SIGNIFICATO MATEMATICO CHE ESSA NASCONDE? SORGE ALLORA ANCHE IL PROBLEMA: QUANDO UNA PROCEDURA E’ OGGETTUALIZZATA FORSE BISOGNEREBBE DISTINGUERE TRA PROCEDURA E SIGNIFICATO! ACQUISITA LA PROCEDURA NON E’ DETTO CHE SI SIA ACQUISITO IL SIGNIFICATO AD ESSA ASSOCIATO

40 Aspetti importanti: Iconicità
importanza dell’iconicità per Peirce diversi tipi di icona: immagini, metafore, diagrammi L’iconicità

41 Aspetti importanti: Iconicità
Mettendo in moto il meccanismo, il suo movimento mi prova la proposizione Esempio del meccanismo di Wittgenstein: anche qui la rappresentazione è importante. Ma accanto a questa è necessaria l’immaginazione del movimento Tra il funzionamento fisico e la proposizione matematica si colloca la mediazione della rappresentazione visuale (p. 53) Da un lato c’è l’immagine della macchina, dall’altro la macchina concreta in cui è incorporato il contenuto matematico A fare la differenza è l’evocazione del meccanismo in movimento, il quale descrive fisicamente la traiettoria Transformational Reasoning (Simon, 1996) STATICITÀ Immaginazione DINAMICITÀ Metafore (Lakoff & Nunez, 2000) Torniamo all’esempio del meccanismo di Wittgenstein

42 Aspetti importanti: Iconicità
importanza dell’iconicità per Peirce diversi tipi di icona: immagini, metafore, diagrammi Secondo Radford, dato che il ruolo epistemologico del “ragionamento diagrammatico” consiste nel rendere apparenti alcune relazioni nascoste, esso si collega alle azioni di oggettualizzazione, e un diagramma può essere considerato un mezzo semiotico di oggettualizzazione (pp ) mezzo semiotico di oggettualizzazione (objectification = costruzione di nuova conoscenza) L’iconicità

43 Aspetti importanti: Iconicità
L’iconicità

44 Aspetti importanti: Iconicità
Contenuti matematici di “livello elevato” (di alto grado matematico) sembrano meno suscettibili di un efficace collegamento a segni di tipo iconico, dunque sarebbero meno iconicamente consistenti. (p. 57) Che cosa può funzionare come mezzo semiotico di oggettificazione? Gesti? Artefatti? Metafore? Altri tipi di segni? Nel caso di contenuti matematici di livello elevato si legge… Altra domanda: cosa può mediare la costruzione di significato in questo caso? Non è detto che tutti i contenuti matematici debbano avere una controparte iconica. Non è detto che tutto sia rappresentabile. Ma ci può essere comunque qualche rappresentazione/icona che media a livello più basso per fondare poi i contenuti di livello più alto.

45 Aspetti importanti: Ruolo dell’insegnante
Ogni insegnante sa bene che un allievo ha sempre un “vissuto” (culturale, ma anche affettivo) che precede l’esperienza in aula e che influenza in modo a volte decisivo l’apprendimento. La nostra conclusione è più generale: rivaluta una posizione attiva del discente, il quale nel momento interpretativo, un momento che si rinnova continuamente, costruisce un senso al sapere in gioco. E l’insegnante è una figura chiave a tale proposito: deve infatti seguire questa fase delicatissima con la necessaria consapevole prudenza.

46 Aspetti importanti: Ruolo dell’insegnante
Ogni insegnante sa bene che un allievo ha sempre un “vissuto” (culturale, ma anche affettivo) che precede l’esperienza in aula e che influenza in modo a volte decisivo l’apprendimento. La nostra conclusione è più generale: rivaluta una posizione attiva del discente, il quale nel momento interpretativo, un momento che si rinnova continuamente, costruisce un senso al sapere in gioco. E l’insegnante è una figura chiave a tale proposito: deve infatti seguire questa fase delicatissima con la necessaria consapevole prudenza. Se l’insegnate è una figura chiave non dovrebbe avere un ruolo attivo almeno nel momento della discussione / istituzionalizzazione? “In so doing the teacher will act both at the cognitive and the meta-cognitive level, both fostering the evolution of meanings and guiding pupils to be aware of their mathematical status.” (ibidem, p. 14)

47 Aspetti importanti: Ruolo dell’insegnante
nella progettazione e nell’organizzazione delle esperienze matematiche per l’allievo (positum) rispetto al processo di oggettualizzazione / oggettificazione nel rendere accessibili i significati matematici (ai quali rimanda l’uso di artefatti o più in generale) nel guidare la presa di consapevolezza da parte degli allievi dei significati emergenti nel favorire le relazioni tra i significati emergenti e i significati matematici MI/CI SEMBRA CHE NELL’ESEMPIO DELLE BACCHETTE SI PARLI DI PROCEDURA OGGETTUALIZZATA PUR SOLLEVANDO TUTTA UNA SERIE DI DOMANDE RELATIVE ALLA TRASPARENZA DEGLI ARTEFATTI IN USO, AD ESEMPIO IL FATTO CHE NON SI SA SE GLI STUDENTI HANNO COMPRESO LE REGOLE DI TRASFORMAZIONE CHE STANNO SOTTO ALLE OPERAZIONI COMPIUTE CON LE BACCHETTE, INSOMMA SE HANNO COLTO LA MATEMATICA SOGGIACENTE. SI PUO’ ANCORA PARLARE ALLORA DI PROCEDURA OGGETTUALIZZATA? LO E’ SOLO IN TERMINI DELLA POSSIBILITA’ DI UNA SUA RIAPPLICAZIONE NELLA RISOLUZIONE DI NUOVI PROBLEMI? OPPURE LO E’ QUANDO SI E’ COLTO IL SIGNIFICATO MATEMATICO CHE ESSA NASCONDE? SORGE ALLORA ANCHE IL PROBLEMA: QUANDO UNA PROCEDURA E’ OGGETTUALIZZATA FORSE BISOGNEREBBE DISTINGUERE TRA PROCEDURA E SIGNIFICATO! ACQUISITA LA PROCEDURA NON E’ DETTO CHE SI SIA ACQUISITO IL SIGNIFICATO AD ESSA ASSOCIATO

48 Aspetti importanti: Ruolo dell’insegnante
Quale tipo di analisi sul ruolo dell’insegnante può fornire un approccio ermeneutico? Ci sono elementi di analisi specifici? Le azioni dell’insegnante rispetto alla gestione del circolo ermeneutico? Se e come interviene? Con quale obiettivo? Se l’insegnate è una figura chiave non dovrebbe avere un ruolo attivo almeno nel momento della discussione / istituzionalizzazione?

49 Grazie a tutti per l’attenzione
& Grazie a Giorgio