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SCHEMA DEL SEMINARIO* Notizie Storiche Legame tra dinamica e metrica Stima geometrica dellesponente di Lyapounov Esp. di Lyapounov, curvatura e Transizioni.

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Presentazione sul tema: "SCHEMA DEL SEMINARIO* Notizie Storiche Legame tra dinamica e metrica Stima geometrica dellesponente di Lyapounov Esp. di Lyapounov, curvatura e Transizioni."— Transcript della presentazione:

1 SCHEMA DEL SEMINARIO* Notizie Storiche Legame tra dinamica e metrica Stima geometrica dellesponente di Lyapounov Esp. di Lyapounov, curvatura e Transizioni di fase Transizioni Topologiche Funzioni di Morse LIpotesi Topologica (TH): formulazione ed evidenze Modello mean-field XY ** : soluzione analitica del modello verifica analitica diretta di TH Transizioni di fase a N finito: ruolo di TH*** (*) Phys. Rep. 337, 237 (2000) (**) Phys. Rev. Lett 82, 4160 (1999) (***) pre-print, cond-mat/ (2001)

2 Notizie Storiche Ponicaré: instabilità hamiltoniana e caos deterministico Teorema di Poincaré-Fermi: fondamento dinamico della meccanica statistica (ergodicità) Krylov: instabilità dinamica e mixing Krylov e Levi-Civita: connessione tra varietà differenziabili e dinamica Sp. Fasi Microscopico Sp. Fasi MacroscopicoTeoria delle Catastrofi Problema della curvatura negativa Teoria delle funzioni di Morse IPOTESI TOPOLOGICA

3 Metriche di Jacobi e di Eisenhart Principio variazionale (Maupertuis) (Jacobi) Teorema generale (trasformazione conforme) Problema della dimensione temporale Metrica di Eisenhart Geodetiche-Traiettorie fisiche: proiezione canonica + condizione

4 Sistemi Dinamici Geometria Differenziale Scelta di una Metrica Metrica di Jacobi Metrica di Eisenhart...due linguaggi a confronto

5 Curvature e stabilità Traiettoria perturbata Eq. dinamica tangente Geodetica perturbata Eq. di Jacobi Soluzione al problema della Curvatura Negativa Assunzioni sulla regolarità e isotropia dello sp. conf. Utilizzo curvatura effettiva come processo stocastico Stima geometrica dellesponente di Lyapounov per: modello F.P.U. modello XY 1-d

6 Comportamento Statistico di un Sistema Caoticità: Exp. Lyapounov positivi (ergodicità e mixing) (1) Andamento Exp. Lyapunov (2) Proprietà geometriche dello spazio delle fasi Fenomeni Critici: Proprietà Geometriche dello spazio delle configurazioni 2d XY Model (KT)3d XY Model (O(2)) Fenomeni Critici ed Exp. di Lyapunov 2d Model 3d Model

7 Conclusioni: Exp. Lyapunov è sensibile alle Transizioni di fase Le curve (T) sono dipendenti dal modello (mancanza di Universalità) Exp. Lyapunov non è sensibile a Rotture di Simmetria Fluttuazioni della curvatura scalare 2d XY Model (KT)3d XY Model 2d O(2)-Model 3d O(n)-Model Tr. Fase con rottura di simmetria Tr. Fase senza rottura di simmetria (es. KT) Smooth Cusp-like

8 Curvatura media = buon indicatore Esistenza transizione nella TOPOLOGIA TRANSIZIONI TOPOLOGICHE Sing. Fluttuazione curvatura: Equazione:

9 Sing. Equazione: Fluttuazioni della curvatura per funzioni di Morse con N grande: CUSP-LIKE...inoltre:

10 Teoria Delle Funzioni di Morse Definizione di Funzione di Morse : Punti Critici (df(X c )=0) Isolati Insiemi di livello: Teoremi Significativi: Terorema del Collo non-critico non contiene punti critici gli insiemi di livellonon subiscono variazioni topologiche f -1 [a,b] subisce variazioni topologiche solo in corrispondenza di punti critici e in modo determinato dalle proprietà dellHessiano (indici dei punti critici, i.e. # autovalori <0 di H) La caratteristica di Eulero della varietà è determinata dai numeri di Morse k (# di p. critici di indice k)

11 2d Supporto Indiretto a TH* Necessità di provare che la transiz. topologica prescinde dalla singolarità della misura nellensemble statistico al limite termod. Si considera per il modello scalare 2-d K= curvatura scalare Si equipaggia lo sp. delle configurazioni con una metrica (che possibilmente prescinda dalla dinamica) Si verifica la presenza, nel caso di tr. di fase fisica, di una transizione topologica (cusp) Si verifica lindipendenza dalla metrica usata (*) Phys. Rev. E 60 R5009 (1999)

12 Si verifica che il punto critico (cusp) corrisponde al valore di u(T)= punti: medie sullinsieme canonico linea: media temporale del potenziale Metrica #1 in 1d e 2d Metrica #2 in 1d e 2d

13 Conclusioni: Transizioni topologiche sono presenti anche in assenza di transizioni di fase Il segno distintivo della transizione di fase fisica è una variazione brusca della topologia 2d Conferma Diretta di TH via calcolo di Teorema di Gauss-Bonne-Hopf: K= Curvatura di Gauss-Kronecker g= metrica sulla varietà Si confronta landamento di nei casi 1d e 2d:

14 Mean-Field XY: Conferma Diretta di TH 1) Il modello Spin associato (HEISENBERG, long range) (Mean-Field) 2) Calcolo analitico dei minimi di F Via trucco di Hubbard-Stratonovich si ottiene da cui si ricava leq. per i minimi:

15 Dallespressione di F si ricava, per la magnetizzazione media: Espandendo si trova: che fornisce il valore dellesponente critico Si ha transizione di fase di seconda specie per 3) Esponente critico Valore critico dellenergia per particella:

16 Poichè solo per h non nullo le V sono f. di Morse, ci si pone a T=T c e si fa il limite h=0 I punti critici sono tali che: Notiamo che Configurazione a energia pot. minima: Configurazioni con il numero di tali configurazioni è Configurazioni con energia pot. massima il numero di tali configurazioni va come N!

17 Si ha transizione fisica solo se il numero di punti critici corrispondenti al valore critico è almeno esponenzialmente crescente con N Il valore a cui sussistono le transizioni topologiche e fisiche coincidono (=1/2) Ad ogni valore critico corrisponde una tr. topologica Studiamo la proiezione di campo medio ad h=0 v=00

18 Rilevanza di TH per sistemi a N finito Esempi di transizioni di fase con N<

19 IPOTESI TOPOLOGICA: le transizioni di fase fisiche sono originate da transizioni topologiche nel supporto della misura statistica che descrive il sistema. 2) Formulazione Microcanonica In tutti i casi gli oggetti rilevanti sono: Teorema: condizione necessaria per transizione di fase: subiscano, per v=v c, transizioni topologiche


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