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È possibile misurare la fortuna? È possibile misurare la fortuna? LABORATORIO SCIENTIFICO Classi III LABORATORIO SCIENTIFICO Classi III Scuola edia Rainerum.

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Presentazione sul tema: "È possibile misurare la fortuna? È possibile misurare la fortuna? LABORATORIO SCIENTIFICO Classi III LABORATORIO SCIENTIFICO Classi III Scuola edia Rainerum."— Transcript della presentazione:

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2 È possibile misurare la fortuna? È possibile misurare la fortuna? LABORATORIO SCIENTIFICO Classi III LABORATORIO SCIENTIFICO Classi III Scuola edia Rainerum

3 Un po di storia … Un po di storia …

4 Il gioco dei dadi ha sempre affascinato lumanità: era una sfida alla fortuna. Giocavano a dadi gli Egiziani nel 5000a.C., i Greci, gli Etruschi, i Romani … Si giocava a dadi nelle più diverse parti del mondo e in tutte le epoche: nel Medioevo, nel Rinascimento … sempre.

5 Il matematico G. Cardano ( ) scrive il Liber de ludo aleae (Libro sul gioco dei dadi), che verrà pubblicato solo 87 anni dopo la sua morte. X V I

6 il cavaliere De Méré si pose questo quesito: È preferibile, scommettere sulluscita di ALMENO un 6 lanciando 4 volte un dado oppure ALMENO un doppio 6 lanciando 24 volte due dadi? X V II

7 De Meré chiese a Blaise Pascal e Pierre De Fermat di studiare il problema Dagli studi dei due matematici scaturì la moderna Teoria delle Probabilità (1650 circa) X V II

8 1656 Lolandese C. Huygens, prendendo spunto dal carteggio tra Pascal e Fermat, pubblica De ratiociniis in ludo aleae (Ragionamenti nel gioco dei dadi) X V II

9 Nel 1713 viene pubblicato postumo il volume Ars conjectandi (Larte di congetturare) dello svizzero J. Bernoulli. Nel volume si propone luso della probabilità nel campo della medicina e della meteorologia. X V III

10 Il tedesco C.F. Gauss utilizza la probabilità nello studio della geodesia e topografia. Labate G. Mendel pone le basi della genetica usando metodi probabilistici. X I X

11 Linglese K. Pearson introduce lindagine statistica nella medicina e nella biologia. Nel 1944 lamericano di origine ungherese J.Von Neumann pubblica Theory of Games end Economic Behavior (Teoria dei giochi e comportamento economico), dando inizio alle applicazioni della teoria dei giochi nelle scienze sociali, nelle strategie elettorali, nelleconomia. X X

12 Un po di terminologia … Un po di terminologia …

13 TERMINOLOGIA EVENTO (E) Ogni possibile risultato dellesperimento Esperimento: lancio di una moneta Evento (Risultati possibili) : Testa, Croce Esperimento: lancio di un dado Evento (Risultati possibili) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, # pari, # dispari, 3 o 5, 1 o 2 o 6, …, # < 2, # <4, …, # > 1, # >3, …,

14 SPAZIO DEGLI EVENTI (S) lINSIEME di tutti i risultati dellesperimento Esperimento: lancio di una moneta Esperimento: lancio di un dado Spazio degli Eventi : {1,2,3,4,5,6,#pari,#dispari,3o5, 1o2o6,# 1,#>3, …} {Testa, Croce} Spazio degli Eventi : S T C S < 2 < 5 pari dispari < 6 < 3 > 6 > 3 … TERMINOLOGIA

15 EVENTO CERTO Evento che SICURAMENTE si verificherà Esperimento: lancio di una moneta EVENTO CERTO: Esce TESTA o CROCE Esperimento: lancio di un dado EVENTO CERTO: Esce un numero compreso tra 1 e 6 TERMINOLOGIA

16 EVENTO POSSIBILE Evento che PUÒ verificarsi Esperimento: lancio di una moneta EVENTI POSSIBILI: Esce TESTA Esce CROCE Esperimento: lancio di un dado EVENTI POSSIBILI: Esce 1 Esce 2 Esce un # 3 Esce numero pari … TERMINOLOGIA

17 EVENTO IMPOSSIBILE Evento che NON PUÒ verificarsi Esperimento: lancio di una moneta EVENTI IMPOSSIBILI: Esce 1 Esce Giallo … Esperimento: lancio di un dado EVENTI IMPOSSIBILI: Esce 0 Esce un # 7 Esce Testa … TERMINOLOGIA

18 Iniziamo (iniziate) a lavorare … Iniziamo (iniziate) a lavorare …

19 1^ Prova Lavoro a coppie ogni coppia lancia un dado esaedrico regolare NON truccato e compila la scheda n°1, n°2, n°4, n°5 consegnatale

20 Confronta i risultati dellistogramma con quanto dichiarato inizialmente. Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione Scheda Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE. Se riesci giustifica la risposta 10 lanci di un dado ISTOGRAMMA Esegui i 10 lanci riportando ogni volta il risultato (in BLU) nellISTOGRAMMA. Evento: Numero sul dado Numero Uscite

21 Confronta i risultati dellistogramma con quanto dichiarato inizialmente. Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione Scheda Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE. Se riesci giustifica la risposta 125 lanci di un dado ISTOGRAMMA Riporta i dati dellistogramma precedente e aggiungi (in VERDE) i risultati di ulteriori 115 lanci. Evento: Numero sul dado Numero Uscite

22 TERMINOLOGIA FREQUENZA ASSOLUTA f A (E) Numero di volte che si è verificato levento E X XX XXX XXXX XXXX XXXXX XXXXXX Rappresenta lALTEZZA della colonna dellistogramma ISTOGRAMMA Evento: Numero sul dado Numero Uscite f A (E) f A (1) = 5 f A (2) = 4 f A (3) = 6 f A (4) = 1 f A (5) = 2 f A (6) = 7

23 È il rapporto tra la Frequenza Assoluta e il numero totale di lanci effettuati X XX XXX XXXX XXXX XXXXX XXXXXX ISTOGRAMMA Evento: Numero sul dado Numero Uscite f A (E) TERMINOLOGIA FREQUENZA RELATIVA f r (E)

24 Essendo la Frequenza Relativa un numero compreso tra 0 e 1, a volte si preferisce esprimerla in percentuale: ciò significa che si moltiplica per 100 il suo valore e si scrive il simbolo % TERMINOLOGIA FREQUENZA RELATIVA f r (E)

25 Relativamente allultimo istogramma (quello con i 125 lanci), ogni coppia calcoli, per ogni Evento, Frequenza Assoluta Frequenza Relativa Frequenza Relativa in percentuale Eseguiti i calcoli passare la scheda alla coppia alla propria destra per la correzione Scheda 3 calcolo frequenze

26 Due gruppi si uniscono e creano un unico istogramma di 250 dati. Confrontano i tre istogrammi (10, 125 e 250 lanci) ponendo attenzione su: Frequenze Assolute e Relative 500 lanci di un dado Due gruppi si uniscono, formandone uno di 8 persone, e creano un unico istogramma di 500 dati. Verificano se le osservazioni precedenti sono ancora valide. Porre lattenzione su: Frequenze Assolute (si osservino le differenze) Frequenze Relative (si osservino i valori) Scheda lanci di un dado

27 Creiamo un istogramma di 1000 lanci utilizzando tutti i dati che avete rilevato. Simuliamo con un foglio di calcolo (Calc o Excel) lanci di un dado. Tiriamo le conclusioni : Scheda lanci di un dado

28 OSSERVAZI O NI Osservazione Qualitativa Aumentando il numero dei lanci listogramma assume la forma di un rettangolo (distribuzione rettangolare) 100 Lanci Lanci

29 Aumentando il numero dei lanci le differenze tra i valori delle f A di ogni evento si riducono avvicinandosi a zero, ossia Frequenza ASSOLUTA: Frequenza RELATIVA: Aumentando il numero dei lanci OSSERVAZI O NI Osservazione Qualitativa

30 OSSERVAZI O NI Osservazione Qualitativa Abbiamo un dado NON truccato con 6 facce uguali tra di loro, allora non vi è alcun motivo di pensare che una faccia debba mostrarsi più volte di unaltra. Si può quindi ipotizzare che ogni faccia debba comparire un numero di volte pari a 1/6 del numero dei lanci totale 1/6 perché: 1 è il numero dei casi favorevoli 6 è il numero dei casi possibili Definiamo PROBABILITÀ Matematica dellevento E il numero

31 CONCLUSIONI Abbiamo fatto vedere che lespressione Matematica indicante la PROBABILITÀ che esca un valore sul dado è nota prima del lancio ed è confermata dallesperienza se vengono effettuate un numero estremamente elevato di prove PROBABILITÀ Matematica dellevento E

32 La PROBABILITÀ P(E) è una stima numerica del verificarsi di un determinato evento

33 2^ Prova Si vuole studiare cosa avviene se anziché lanciare 1 dado se ne lancino 2. Questo studio avverrà confrontando i risultati del lancio di 2 dadi esaedrici con il lancio di 1 dado dodecadrico Confronteremo poi il risultato anche con un secondo esperimento che preveda la somma di 2 numeri casuali: il gioco del pari o dispari

34 Lavoro: 5 coppie e 2 terne 4 coppie: lancio di due dadi esaedrici regolari NON truccati e compilazione della scheda n°6, n°7 e n°8 1 coppia: lancio di 1 dado dodecaedrico regolare NON truccato e compilazione della scheda n°8a terna: due elementi giocano a pari e dispari, il terzo segna i risultati; viene compilata la scheda n°6b e n°8b 2^ Prova

35 Confronta i risultati dellistogramma con quanto dichiarato inizialmente. Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE. Se riesci giustifica la risposta Esegui i 50 lanci riportando ogni volta il risultato (in BLU) in un ISTOGRAMMA. Scheda 6 50 lanci di due dadi

36 Confronta i risultati dellistogramma con quanto dichiarato inizialmente. Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE. Se riesci giustifica la risposta Riporta i dati dellistogramma precedente e aggiungi (in VERDE) i risultati di ulteriori 150 lanci. Scheda lanci di due dadi

37 Creiamo un istogramma di 1000 lanci utilizzando tutti i dati che avete rilevato. E simuliamo al calcolatore di lanci Scheda lanci di due dadi

38 Creiamo un istogramma di 1000 lanci. E simuliamo al calcolatore di lanci Scheda 8a 1000 lanci di un dado dodecaedrico

39 Confronta i risultati dellistogramma con quanto dichiarato inizialmente. Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione Prima di iniziare a giocare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE. Se riesci giustifica la risposta Esegui i 500 scambi riportando ogni volta il risultato (in BLU) in un ISTOGRAMMA. IMPORTANTE: NON giocare per vincere Scheda 6b 500 scambi a pari/dispari

40 Creiamo un istogramma di 1000 scambi utilizzando tutti i dati che avete rilevato. Scheda 8B 1000 scambi a pari/dispari

41 OSSERVAZI O NI Lancio di 1 dado dodecaedrico Avete (abbiamo) ottenuto un risultato analogo al lancio di un dado esaedrico in quanto ogni evento (uscita di un numero compreso tra 1 e 12) è equivalente agli altri. Aumentando il numero dei lanci listogramma assume la forma di un rettangolo (distribuzione rettangolare)

42 Aumentando il numero dei lanci listogramma assume la forma di un triangolo (distribuzione triangolare) OSSERVAZI O NI Lancio di 2 dadi esaedrici

43 Confrontiamo come si formano gli eventi che analizziamo 1 dado 2 dadi OSSERVAZI O NI Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici

44 1 dado2 dadi OSSERVAZI O NI Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici

45 Ogni determinazione ha un UNICO modo per potersi verificare: (Evento ELEMENTARE) Le determinazioni hanno un numero di modi diversi per potersi verificare: (Evento COMPOSTO) OSSERVAZI O NI Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici

46 Per mostrare lesito del lancio di 2 dati è anche possibile utilizzare una TABELLA A DOPPIA ENTRATA TERMINOLOGIA TABELLA A DOPPIA ENTRATA

47 Come si legge la Tabella a doppia entrata determinazioni 1° dado determinazioni 2° dado Ci sono 2 casi favorevoli all 11 Determinazioni 1°+ 2° dado: 36 casi possibili Ci sono 4 casi favorevoli al 9 Ci sono 6 casi favorevoli al 7 TERMINOLOGIA

48 ESERCIZIO A questo punto, utilizzando la tabella a doppia entrata, calcola la probabilità di uscita di ogni determinazione ottenibile con il lancio di 2 dadi

49 T C T CTTCTC CTCTC 1ª moneta 2ª moneta Determinazioni 2 monete: TT, TC, CC ESERCIZIO Consideriamo il lancio di 2 monete: - individua le possibili determinazioni - compila la relativa tabella a doppia entrata - calcola la probabilità di ogni determinazione

50 2 dadi Per il gioco del pari dispari" mi aspetto qualcosa di analogo al lancio di 2 dadi. Prima confrontiamo le due tabelle a doppia entrata Poi verifichiamo lipotesi osservando listogramma ottenuto dai due gruppi OSSERVAZI O NI Confronto: 2 dadi esaedrici e pari dispari

51 RISULTATI STUDENTI …. OSSERVAZI O NI Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici

52 Levento certo ha probabilità 1: ABB I AMO VISTOCHE La PROBABILITÀ dellevento E è un numero compreso tra 0 e 1 È possibile determinare la PROBABILITÀ dellevento E tramite la relazione

53 E ora alcuni calcoli … E ora alcuni calcoli …

54 Esistono situazioni in cui lespressione è di difficile utilizzo perché è complesso il calcolo di - Numero dei casi favorevoli - Numero dei casi possibili Vediamo alcune situazioni in cui il calcolo della probabilità può essere eseguito con semplici calcoli Eventi EQUIPROBABILI Eventi che SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTE Eventi che NON SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTE Eventi INDIPENDENTI

55 Lancio di un dado esaedrico: 6 eventi identici Lancio di una moneta: 2 eventi identici Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: 40 eventi identici Estrazione di un numero della tombola: 90 eventi identici La probabilità di un evento è data dalla relazione: Esperimento che genera eventi equiprobabili

56 Lancio di un dado esaedrico: uscita 3 o 5 Lancio di una moneta: uscita T o C Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: 5 o 3 Estrazione di un numero della tombola: 36 o 57 Dati gli eventi E 1, E 2 ed E 3 che si escludono vicendevolmente La probabilità P(E 1 o E 2 o E 3 ) è data da: P(E 1 o E 2 o E 3 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) + P(E 3 ) Eventi che si escludono reciprocamente

57 Eventi che NON si escludono reciprocamente Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: Re o una carta di coppe A F D A F C A F C A F C R R R R A F C R R R R R In questo modo il [R ] viene considerato 2 volte e dobbiamo tenerlo presente nel calcolo dei casi favorevoli I casi favorevoli sono dati da 10 carte di COPPE 4 carte con il RE casi favorevoli = 4 [ R ] + 10 [ ] – 1 [ R ] = 13 P([R] o [ ]) = Casi Favorevoli Numero Casi Possibili =

58 Lancio di due dadi esaedrici: numero 8 o numero multiplo 3 In questo modo abbiamo 5 valori 8 e multipli di 3 dobbiamo tenerli presente nel calcolo dei casi favorevoli I casi favorevoli sono dati da 12 valori multipli di 3 15 valori 8 casi favorevoli = 12 [ mult. 3 ] + 15 [ 8 ] – 5 [ (mult. 3) 8 ] = 22 P([mult. 3] o [ 8]) = Casi Favorevoli Numero Casi Possibili = Eventi che NON si escludono reciprocamente

59 Estrazione di un Re o una carta di coppe A F C R A F C R A F C R A F C R Casi Favorevoli = 4 [R] + 10 [ ] – 1 [R ] Lancio di 2 dadi # 8 o # multiplo 3 CF= 12 [mult. 3] + 15 [ 8] – 5 [(mult. 3) 8] Dati i 2 eventi E 1 ed E 2 che NON si escludono vicendevolmente La probabilità P(E 1 o E 2 ) è data da: P(E 1 o E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) - P(E 1 e E 2 ) Eventi che NON si escludono reciprocamente

60 Sono eventi che NON si influenzano reciprocamente Eventi INDIPENDENTI Lancio (consecutivi o contemporanei) di due dadi Lesito del 1° dado non influenza il risultato del 2° dado Lancio (consecutivi o contemporanei) di due monete Lesito della 1ª moneta non influenza il risultato della 2ª moneta Doppia estrazione di una carta da un mazzo Lesito della 1ª estrazione non influenza il risultato della 2ª

61 TC 2ª moneta TC Lancio di due monete Risultati in accordo con quanto già visto Sono eventi che NON si influenzano reciprocamente Eventi INDIPENDENTI TC 1ª moneta

62 In accordo con quanto già visto Lancio di due dadi Sono eventi che NON si influenzano reciprocamente Eventi INDIPENDENTI 1° dado 2° dado

63 Dati i 2 eventi INDIPENDENTI E 1 ed E 2 (= NON si influenzano vicendevolmente) La probabilità P(E 1 e E 2 ) è data da: P(E 1 e E 2 ) = P(E 1 ) P(E 2 ) Dati i 2 eventi INDIPENDENTI E 1 ed E 2 (= NON si influenzano vicendevolmente) La probabilità P(E 1 e E 2 ) è data da: P(E 1 e E 2 ) = P(E 1 ) P(E 2 ) n Lancio di due dadiLancio di due monete T TC C TC Eventi INDIPENDENTI


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